2019-2020学年广西桂林市高一上学期期末数学试题（解析版）

2019-2020学年广西桂林市高一上学期期末数学试题（解析版）

‎2019-2020学年广西桂林市高一上学期期末数学试题 一、单选题 ‎1．设集合，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据元素与集合的关系判断即可.‎ ‎【详解】‎ ‎，，，，.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查元素与集合关系的判断，考查推理能力，属于基础题.‎ ‎2．如图在三棱柱中，下列直线与成异面直线的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据空间中直线与直线的位置关系判断出各选项中的直线与直线的位置关系，可得出结论.‎ ‎【详解】‎ 由在三棱柱中，，，与异面，.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查异面直线的判断，要理解空间中直线与直线的三种位置关系，考查推理能力，属于基础题.‎ ‎3．函数的定义域为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据分式分母不为零可得出函数的定义域.‎ ‎【详解】‎ 由题意可得，解得，因此，函数的定义域为.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查具体函数的定义域，一般结合一些常见的求函数定义域的基本原则列不等式（组）来求解，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎4．过两点，的直线的倾斜角为，则（ ）．‎ A． B． C．-1 D．1‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意知直线AB的斜率为，‎ 所以，‎ 解得．选C．‎ ‎5．下列图象中，可以表示函数的图象的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据函数定义中与之间的对应关系为一对一或多对一的形式判断即可.‎ ‎【详解】‎ A、B、D三个选项中与之间的对应关系存在一对二的情况，不符合函数的定义，C选项中与之间的对应关系为一对一或多对一，符合函数的定义.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数图象的判断，应结合函数的定义来判断，考查推理能力，属于基础题.‎ ‎6．函数的图象（ ）‎ A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于直线对称 D．关于原点对称 ‎【答案】D ‎【解析】根据定义判断函数的奇偶性，即可得出结论.‎ ‎【详解】‎ 函数的定义域为，且，‎ 因此，函数为奇函数，该函数的图象关于原点对称.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数图象对称性的判断，本质上就是判断函数的奇偶性，考查推理能力，属于基础题.‎ ‎7．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是 A． B．‎ ‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】【详解】‎ 详解：由题意知，题干中所给的是榫头，是凸出的几何体，求得是卯眼的俯视图，卯眼是凹进去的，即俯视图中应有一不可见的长方形，‎ 且俯视图应为对称图形 故俯视图为 故选A.‎ 点睛：本题主要考查空间几何体的三视图，考查学生的空间想象能力，属于基础题。‎ ‎8．方程的实数根所在的区间为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】设，利用零点存在定理即可判断出该函数零点所在的区间，由此可得出结论. ‎ ‎【详解】‎ 设，由于函数和在区间上均为增函数，‎ 所以，函数在区间上为增函数，‎ ‎，，，‎ 由零点存在定理可知，方程的实数根所在的区间为.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用零点存在定理判断方程的根所在的区间，考查计算能力与推理能力，属于基础题.‎ ‎9．已知，，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用指数函数和对数函数的单调性比较、、三个数与和的大小关系，由此可得出、、这三个数的大小关系.‎ ‎【详解】‎ 对数函数在上为增函数，所以，；‎ 指数函数为增函数，则；‎ 指数函数为减函数，则，即.‎ 因此，.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查指数式与对数式之间的大小比较，一般利用指数函数和对数函数的单调性结合中间值法来进行判断，考查推理能力，属于基础题.‎ ‎10．为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（ ）‎ A．向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度 B．向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度 C．向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度 D．向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度 ‎【答案】D ‎【解析】将所得函数解析式变形为，然后利用函数图象的平移法则可得出结论.‎ ‎【详解】‎ ‎，为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数图象的平移变换，要熟悉“左加右减，上加下减”基本原则的应用，考查推理能力，属于基础题.‎ ‎11．若表示空间中两条不重合的直线，表示空间中两个不重合的平面，则下列命题中正确的是（　　）‎ A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 ‎【答案】C ‎【解析】利用空间位置关系的判断及性质定理进行判断或举反例判断．‎ ‎【详解】‎ 对于A，若n⊂平面α，显然结论错误，故A错误； 对于B，若m⊂α，n⊂β，α∥β，则m∥n或m，n异面，故B错误； 对于C，若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β，根据面面垂直的判定定理进行判定，故C正确； 对于D，若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m，n位置关系不能确定，故D错误． 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了空间线面位置关系的性质与判断，属于中档题．‎ ‎12．设函数，则使得成立的的取值范围是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析出函数为上的偶函数，且在上为增函数，然后利用偶函数的性质得出，进而得出，解此不等式即可.‎ ‎【详解】‎ 函数的定义域为，关于原点对称，‎ 且，该函数为偶函数，‎ 当时，，‎ 由于函数在上为增函数，函数在上为减函数，‎ 所以，函数在上为增函数，‎ 由得，，即，‎ 化简得，解得.‎ 因此，使得成立的的取值范围是.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用函数的奇偶性和单调性解不等式，分析出函数的单调性和奇偶性是解答的关键，此外，在处理有关偶函数与单调性的问题时，可利用偶函数的性质来求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ 二、填空题 ‎13．，则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据分段函数的解析式即可计算出的值.‎ ‎【详解】‎ ‎，.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查分段函数值的计算，在计算时要结合自变量的取值选择合适的解析式进行计算，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎14．.直线与之间的距离是 ▲ ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据平行线间距离公式可得两直线距离为 ‎15．16/17世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，约翰 纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数.后来天才数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即 .‎ 现在已知， ，则__________.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】先根据要求将指数式转为对数式，作乘积运算时注意使用换底公式去计算.‎ ‎【详解】‎ ‎∵， ‎ ‎∴， ‎ ‎∴‎ 故答案为2‎ ‎【点睛】‎ 底数不同的两个对数式进行运算时，有时可以利用换底公式：将其转化为同底数的对数式进行运算.‎ ‎16．半径为4的球的球面上有四点A,B,C,D，已知为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为_____________________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：求出△ABC为等边三角形的边长，画出图形，判断D的位置，然后求解即可．‎ 详解：△ABC为等边三角形且面积为9，可得，解得AB=6，‎ 球心为O，三角形ABC 的外心为O′，显然D在O′O的延长线与球的交点如图：‎ O′C=，OO′=，‎ 则三棱锥D﹣ABC高的最大值为6，‎ 则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为：‎ 故答案为：．‎ 点睛：（1）本题主要考查球的内接多面体和体积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象能力转化能力. (2)本题求体积的最大值，实际上是求高的最大值，所以求高是关键.‎ 三、解答题 ‎17．设直线与相交于一点.‎ ‎（1）求点的坐标；‎ ‎（2）求经过点，且垂直于直线的直线的方程.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）将两直线方程联立，求出方程组的公共解，即可得出点的坐标；‎ ‎（2）求出直线的斜率，可得出垂线的斜率，然后利用点斜式方程可得出所求直线的方程，化为一般式即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由，解得，因此，点的坐标为；‎ ‎（2）直线的斜率为，垂直于直线的直线斜率为，‎ 则过点且垂直于直线的直线的方程为，‎ 即：.‎ ‎【点睛】‎ 本题两直线交点坐标的计算，同时也考查了直线的垂线方程的求解，解题时要将两直线的垂直关系转化为斜率关系，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎18．已知集合，集合，‎ ‎（1）当时，求，；‎ ‎（2）若，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1），；（2）.‎ ‎【解析】（1）将代入集合，利用交集和并集的定义可计算出集合，；‎ ‎（2）根据得出关于实数的不等式组，解出即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当时，集合，‎ 集合，因此，，；‎ ‎（2）集合，集合，，‎ ‎，解得，因此，实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查交集、并集的计算，同时也考查了利用集合的包含关系求参数，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎19．已知函数，.‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）用定义证明的单调性，并求出其最大值和最小值.‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析，最大值是，最小值是.‎ ‎【解析】（1）由可求出实数的值；‎ ‎（2）任取、且，作差，通分后判断差值的符号，即可证明出该函数在区间上的单调性，进而求出该函数的最大值和最小值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1），，因此，；‎ ‎（2）设、是区间上的任意两个实数，且，‎ 则，‎ 由，得，， ‎ 于是，即.‎ 所以，函数是区间上的减函数，‎ 因此，函数在区间的两个端点分别取得最大值和最小值，‎ 即在时取得最大值，最大值是，在时取得最小值，最小值是.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用定义证明函数的单调性，同时也考查了利用单调性求函数的最值，考查推理能力与计算能力，属于基础题.‎ ‎20．如图，在三棱柱中，侧棱平面，、分别是、的中点，点在侧棱上，且，，求证：‎ ‎（1）直线平面；‎ ‎（2）平面平面.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】（1）由中位线的性质得出，由棱柱的性质可得出，由平行线的传递性可得出，进而可证明出平面；‎ ‎（2）证明出平面，可得出，结合可证明出平面，再由面面垂直的判定定理即可证明出结论成立.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）、分别为、的中点，为的中位线，，‎ 为棱柱，，，‎ 平面，平面，平面；‎ ‎（2）在三棱柱中，平面，‎ 平面，，‎ 又且，、平面，‎ 平面，而平面，故.‎ 又，且，、平面，‎ 平面，又平面，平面平面.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线面平行和面面垂直的证明，考查推理能力，属于中等题.‎ ‎21．攀枝花是一座资源富集的城市，矿产资源储量巨大，已发现矿种76种，探明储量39种，其中钒、钛资源储量分别占全国的63%和93%，占全球的11%和35%，因此其素有“钒钛之都”的美称．攀枝花市某科研单位在研发钛合金产品的过程中发现了一种新合金材料，由大数据测得该产品的性能指标值y（y值越大产品的性能越好）与这种新合金材料的含量x（单位：克）的关系为：当0≤x＜7时，y是x的二次函数；当x≥7时，．测得部分数据如表：‎ ‎（1）求y关于x的函数关系式y＝f（x）；‎ ‎（2）求该新合金材料的含量x为何值时产品的性能达到最佳．‎ ‎【答案】（1）；（2）当时产品的性能达到最佳 ‎【解析】（1）二次函数可设解析式为，代入已知数据可求得函数解析式；‎ ‎（2）分段函数分段求出最大值后比较可得．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当0≤x＜7时，y是x的二次函数，可设y＝ax2+bx+c（a≠0），‎ 由x＝0，y＝﹣4可得c＝﹣4，由x＝2，y＝8，得4a+2b＝12①，‎ 由x＝6，y＝8，可得36a+6b＝12②，联立①②解得a＝﹣1，b＝8，‎ 即有y＝﹣x2+8x﹣4；‎ 当x≥7时，，由x＝10，，可得m＝8，即有；‎ 综上可得．‎ ‎（2）当0≤x＜7时，y＝﹣x2+8x﹣4＝﹣（x﹣4）2+12，‎ 即有x＝4时，取得最大值12；‎ 当x≥7时，递减，可得y≤3，当x＝7时，取得最大值3．‎ 综上可得当x＝4时产品的性能达到最佳．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数模型的应用，考查分段函数模型的实际应用．解题时要注意根据分段函数定义分段求解．‎ ‎22．已知函数.‎ ‎（1）若函数是偶函数，求实数的值；‎ ‎（2）若函数，关于的方程有且只有一个实数根，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）根据偶函数的定义建立方程关系即可求的值；‎ ‎（2）根据题意方程有且只有一个实数根，等价于只有一个实数根，等价于有且只有一个实数根，令，则需关于的方程有且只有一个大于的实数根，结合二次函数的性质来分析．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）因为是偶函数，‎ 所以对任意的成立，‎ 所以对任意的成立，‎ 所以对任意的成立，‎ 所以.‎ ‎（2）因为，，‎ 所以，‎ 所以 设，则有关于的方程.‎ 若，即，则需关于的方程有且只有一个大于的实数根.‎ 设，则，‎ 所以，‎ 所以成立，‎ 所以，满足题意；‎ 若，即时，解得，不满足题意；‎ 若，即时，，且，‎ 所以.‎ 当时，关于的方程有且只有一个实数根，满足题意.‎ 综上，所求实数的取值范围是..‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查偶函数的性质以及指数函数性质的综合应用，同时考查了化归与方程的思想的综合运用，综合性较强，涉及的知识点较多，属于难题．‎