广东省深圳市宝安区2020届高三上学期期中考试数学（理）试题

广东省深圳市宝安区2020届高三上学期期中考试数学（理）试题

宝安区2019-2020学年第一学期调研测试 高三数学（理科）‎ 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡上．‎ ‎2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．‎ ‎3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1.已知全集2，3，，集合，集合，则（ ）‎ A. B. C. D. 3，‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由补集的定义求得得，进而由交集的定义可得结果．‎ ‎【详解】因为全集，集合，‎ 则，‎ 又因为集合，‎ 所以；‎ 故选B．‎ ‎【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且不属于集合的元素的集合.‎ ‎2.已知复数满足，其中是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，从而得答案．‎ 详解】,‎ ‎,‎ 则在复平面内对应的点的坐标为，位于第一象限．‎ 故选A．‎ ‎【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.‎ ‎3.如图是一个边长为3的正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投掷1089个点，其中落入白色部分的有484个点，据此可估计黑色部分的面积为（ ）‎ A. 4 B. 5 C. 6 D. 7‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算出正方形的面积，根据几何概型的原理可求得结果.‎ ‎【详解】正方形二维码的面积为： 黑色部分的面积为：‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题考查几何概型的应用，属于基础题.‎ ‎4.已知双曲线，直线与C的两条渐近线的交点分别为M，‎ N，O为坐标原点．若为直角三角形，则C的离心率为（）．‎ A. B. C. 2 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由双曲线的对称性可得渐近线方程，从而得到关系，进而求得关系，利用求得结果.‎ ‎【详解】为直角三角形，结合对称性可知，双曲线的渐近线为：‎ 即 ‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，关键是能够根据双曲线的对称性得到渐近线方程.‎ ‎5.已知数列中，，．若数列为等差数列，则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知条件计算出等差数列的公差，然后再求出结果 ‎【详解】依题意得：，因为数列为等差数列，‎ 所以，所以，所以，故选C．‎ ‎【点睛】本题考查了求等差数列基本量，只需结合题意先求出公差，然后再求出结果，较基础 ‎6.已知，且，则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解法一：由题意求出的值，然后代入求出结果；解法二：由两角差的余弦公式求出结果 ‎【详解】解法一：由，且得，，代入得，‎ ‎=，故选C．‎ 解法二：由，且得，，‎ 所以，故选C．‎ ‎【点睛】本题考查了运用两角差的余弦公式来求出三角函数值，较为基础 ‎7.《镜花缘》是清代文人李汝珍创作的长篇小说，书中有这样一个情节：一座楼阁到处挂满了五彩缤纷的大小灯球，灯球有两种，一种是大灯下缀2个小灯，另一种是大灯下缀4个小灯，大灯共360个，小灯共1200个.若在这座楼阁的灯球中，随机选取一个灯球，则这个灯球是大灯下缀4个小灯的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设大灯下缀2个小灯为个，大灯下缀4个小灯有个，根据题意求得，再由古典概型及其概率的公式，即可求解．‎ ‎【详解】设大灯下缀2个小灯为个，大灯下缀4个小灯有个，‎ 根据题意可得，解得，‎ 则灯球的总数为个，‎ 故这个灯球是大灯下缀4个小灯的概率为，故选B．‎ ‎【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算，其中解答中根据题意列出方程组，求得两种灯球的数量是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．‎ ‎8.某中学高三文科班从甲、乙两个班各选出7名学生参加文史知识竞赛，他们取得的成绩满分100分的茎叶图如图，其中甲班学生成绩的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83，则的值为　　‎ A. 8 B. 7 C. 9 D. 168‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据平均数和中位数的定义和公式，分别进行计算即可得到结论．‎ ‎【详解】甲班学生成绩的平均分是85，‎ ‎，‎ 即．‎ 乙班学生成绩的中位数是83，‎ 若，则中位数为81，不成立．‎ 若，则中位数为，‎ 解得．‎ ‎，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题主要考查茎叶图是应用，要求熟练掌握平均数和中位数的概念和计算公式，比较基础．‎ ‎9.已知点是的重心，，若，，则的最小值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意将原问题转化为均值不等式求最值的问题，据此求解的最小值即可.‎ ‎【详解】如图所示，由向量加法的三角形法则及三角形重心的性质可得,‎ ‎，‎ 根据向量的数量积的定义可得,‎ 设，则，‎ ‎，‎ 当且仅当，即，△ABC是等腰三角形时等号成立.‎ 综上可得的最小值是.‎ 本题选择C选项.‎ ‎【点睛】本题主要考查平面向量的加法运算，向量的模的求解，均值不等式求解最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎10.对于任意实数x，y，把代数运算的值叫做x与y 的“加乘和谐数”，记作符号“”，其中a，b，c是常数，若已知，，若恒成立，则当且仅当非零实数m的值为　　‎ A. 2 B. 4 C. 6 D. 8‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析】‎ 由新定义的运算，及，，构造方程组，不难得到参数a，b，c之间的关系又由有一个非零实数m，使得对于任意实数x，都有，可以得到一个关于m的方程，解方程即可求出满足条件的m的值．‎ ‎【详解】根据题意，若已知，，‎ 则有，‎ 变形可得，．‎ 又由对于任意实数x恒成立，‎ 则有，‎ m为非零实数，则，‎ 又由，则有．‎ 又由．‎ 解可得：．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查合情推理的应用，关键是掌握“加乘和谐数”的定义，对于新定义的题目主要是认真读题，明白题意，转化为数学问题.‎ ‎11.设函数的值域为A，若，则实数a的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合对号函数的性质可求得函数的值域，根据集合的包含关系可构造不等式求得结果.‎ ‎【详解】 （当且仅当，即时取等号）‎ ‎，即 ‎ ，即 故选：‎ ‎【点睛】本题考查函数值域的求解、根据集合的包含关系求解参数范围的问题；关键是能够结合对号函数的性质准确求得函数的值域.‎ ‎12.在所有棱长都相等的三棱锥中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下列四个命题：‎ ‎（1）平面PDF；（2）平面；‎ ‎（3）平面平面；（4）平面平面．‎ 其中正确命题的序号为________．‎ A. （2）（3） B. （1）（3） C. （2）（4） D. （1）（4）‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据三角形中位线得，根据线面平行判定定理可知（1）正确；‎ ‎（2）根据位置关系可知与平面相交，（2）错误；‎ ‎（3）假设垂直关系成立，根据面面垂直的性质可证得平面，由线面垂直性质得到，根据等腰三角形三线合一可得，则，不成立可知假设错误，故（3）错误；‎ ‎（4）根据线面垂直的判定定理可证得平面，由面面垂直判定定理可证得结论，知（4）正确.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）分别为中点 ‎ 平面，平面 平面，（1）正确；‎ ‎（2），平面 平面，（2）正确；‎ ‎（3）假设平面平面 ‎，为中点 ，又 ‎ 平面平面，平面 平面 平面 ‎ ‎，为中点 ，显然不成立 故假设错误，（3）错误；‎ ‎（4）三棱锥所有棱长都相等 ‎ 又，为中点 ，‎ 平面， 平面 又平面 平面平面，（4）正确 ‎【点睛】本题考查立体几何中直线与平面、平面与平面的位置关系的判定，涉及到线面平行的判定、面面垂直的判定、线面垂直和面面垂直性质的应用等知识；考查学生对于立体几何中平行与垂直的判定与性质定理的应用情况.‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13.曲线在点处的切线方程为___．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：，时，，即切线斜率为2．‎ 考点：导数的几何意义．‎ ‎14.在平面直角坐标系xOy中，若动圆C上的点都在不等式组表示的平面区域内，则面积最大的圆C的标准方程为_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 如图：‎ 可得不等式组表示的平面区域，围成的三角形为等边三角形，则面积最大的圆为三角形内切圆，圆心为，半径为，所以圆C的标准方程为 ‎15.将函数图象向左平移个单位长度，得到一个偶函数图象，则________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据平移后关于轴对称可知关于对称，进而利用特殊值构造方程，从而求得结果.‎ 详解】向左平移个单位长度后得到偶函数图象，即关于轴对称 关于对称 ‎ 即： ‎ 本题正确结果：‎ ‎【点睛】本题考查根据三角函数的对称轴求解参数值的问题，关键是能够通过平移后的对称轴得到原函数的对称轴，进而利用特殊值的方式来进行求解.‎ ‎16.已知数列的前项和为，，且（为常数）．若数列满足，且，则满足条件的的取值集合为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用可求得；利用可证得数列为等比数列，从而得到，进而得到；利用可得到关于的不等式，解不等式求得的取值范围，根据求得结果.‎ ‎【详解】当时， ，解得：‎ 当且时，‎ ‎，即：‎ 数列是以为首项，为公比的等比数列 ‎ ‎ ‎ ‎ ，解得：‎ 又 或 满足条件的的取值集合为 本题正确结果：‎ ‎【点睛】本题考查数列知识的综合应用，涉及到利用与的关系求解通项公式、等比数列通项公式的求解、根据数列的单调性求解参数范围等知识；关键是能够得到的通项公式，进而根据单调性可构造出关于的不等式，从而求得结果.‎ 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17.若数列的前项和满足（,）.‎ ‎（1）证明：数列为等比数列，并求；‎ ‎（2）若，（），求数列的前项和．‎ ‎【答案】（1）．（2）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）已知 ，写出当时，，两式子做差，得到数列.从而得到数列是等比数列；（2）根据第一问得到，分组求和即可。‎ 解析：‎ ‎（1）∵，‎ 当时，得，‎ 当时，，‎ 故，‎ 即，‎ ‎∴，‎ ‎∴是以为首项，2为公比的等比数列，‎ ‎∴．‎ ‎（2）∵，得，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎，‎ ‎∴．‎ 点睛：这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知和的关系，求表达式，一般是写出做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等。‎ ‎18.如图，四棱柱的底面是菱形，，底面，，.‎ ‎（Ⅰ）证明：平面平面；‎ ‎（Ⅱ）若，求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】(1)见解析(2) ‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）证明平行可先证线面平行，平面，在此之前先证线线平行；（2）建立空间坐标系，求两个面的法向量，求两个法向量的夹角即可。‎ 解析：‎ ‎（Ⅰ）证明：∵平面，平面，∴.‎ ‎∵是菱形，∴.∵，∴平面.‎ ‎∵平面，∴平面平面.‎ ‎（Ⅱ）∵平面，，以为原点，，，方向为轴正方向建立如图所示空间直角坐标系.‎ ‎∵，，，‎ ‎∴，，.‎ 则，，，，‎ ‎∴，.‎ 设平面的法向量为，‎ ‎∵，，‎ ‎∴.‎ 令，得.‎ 同理可求得平面的法向量为.‎ ‎∴.‎ ‎19.P是圆上的动点，P点在x轴上的射影是D，点M满足．‎ ‎（1）求动点M的轨迹C的方程，并说明轨迹是什么图形；‎ ‎（2）过点的直线l与动点M的轨迹C交于不同的两点A，B，求以OA，OB 为邻边的平行四边形OAEB的顶点E的轨迹方程．‎ ‎【答案】（1）点M的轨迹C的方程为，轨迹C是以，为焦点，长轴长为4的椭圆（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设，根据可求得，代入圆的方程可得所求轨迹方程；根据轨迹方程可知轨迹是以，为焦点，长轴长为的椭圆；‎ ‎（2）设，与椭圆方程联立，利用求得；利用韦达定理表示出与，根据平行四边形和向量的坐标运算求得，消去后得到轨迹方程；根据求得的取值范围，进而得到最终结果.‎ ‎【详解】（1）设，则 由知：‎ 点在圆上 ‎ 点的轨迹的方程为：‎ 轨迹是以，为焦点，长轴长为的椭圆 ‎（2）设，由题意知的斜率存在 设，代入得：‎ 则，解得：‎ 设，，则 四边形为平行四边形 又 ∴，消去得：‎ ‎ ‎ 顶点的轨迹方程为 ‎【点睛】本题考查圆锥曲线中的轨迹方程的求解问题，关键是能够利用已知中所给的等量关系建立起动点横纵坐标满足的关系式，进而通过化简整理得到结果；易错点是求得轨迹方程后，忽略的取值范围.‎ ‎20.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费（单位：万元）对年销售量（单位：吨）和年利润（单位：万元）的影响．对近六年的年宣传费和年销售量（）的数据作了初步统计，得到如下数据：‎ 年份 年宣传费（万元）‎ 年销售量（吨）‎ 经电脑模拟，发现年宣传费（万元）与年销售量（吨）之间近似满足关系式（）．对上述数据作了初步处理，得到相关的值如表：‎ ‎（1）根据所给数据，求关于的回归方程；‎ ‎（2）已知这种产品的年利润与，的关系为若想在年达到年利润最大，请预测年的宣传费用是多少万元？‎ 附：对于一组数据，，…，，其回归直线中的斜率和截距的最小二乘估计分别为，‎ ‎【答案】（1）（2）当2018年的宣传费用为98万元时，年利润有最大值.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）转化方程，结合线性回归方程参数计算公式，计算，即可。（2）将z函数转化为二次函数，计算最值，即可。‎ ‎【详解】（1）对，（，），两边取对数得，‎ 令，，得，‎ 由题目中的数据，计算，，‎ 且 ，‎ ‎；‎ 则 ，‎ ‎，‎ 得出，‎ 所以关于的回归方程是；‎ ‎（2）由题意知这种产品的年利润z的预测值为 ‎ ，‎ 所以当，即时，取得最大值，‎ 即当2019年的年宣传费用是万元时，年利润有最大值.‎ ‎【点睛】考查了线性回归方程求解，考查了二次函数计算最值问题，关键结合题意，得到回归方程，第二问关键转化为二次函数问题，难度中等。‎ ‎21.设．‎ ‎（1）求证：当时，恒成立；‎ ‎（2）讨论关于x的方程根的个数．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）详见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求导后可知且不恒等于，得到的单调性，从而知，结论可证得；‎ ‎（2）将方程整理为，将问题转化为与交点个数的讨论；结合导数可得到的单调性，从而得到的图象，利用二次函数平移可确定临界状态，结合图象得到不同情况下交点的个数，进而得到结果.‎ ‎【详解】（1）由题意得：的定义域为 当时，且不恒等于 在上单调递增 当时，恒成立 ‎（2）化简方程得：，即 令，‎ 则方程根的个数等价于与图象交点个数 当时，，则在上单调递增 当时，，则在上单调递减 ‎；时，；时，‎ 又 与在同一坐标系内的大致图像如图所示：‎ 由图象可知：当时，即时，方程无实根；当时，即时，方程有一个实根；当时，即时，方程有两个不等实根 ‎【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到利用导数证明不等式、讨论方程根的个数的问题；讨论根的个数的问题常转化为两个函数的交点个数问题，利用导数求得函数的单调性，从而得到函数图象，利用数形结合的方式来进行求解.‎ 请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号后的方框涂黑．‎ ‎22.在平面直角坐标系中，以为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为为参数，直线与曲线分别交于两点.‎ ‎（1）若点的极坐标为，求的值；‎ ‎（2）求曲线的内接矩形周长的最大值.‎ ‎【答案】（1）4；（2）16.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意，将曲线C的极坐标方程变形为标准方程，将直线的参数方程与曲线C的方程联立，可得，由一元二次方程根与系数的关系计算可得答案；‎ ‎（2）写出曲线C的参数方程，分析可得以P为顶点的内接矩形周长l，由正弦函数的性质分析可得答案．‎ ‎【详解】（1）由，将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入得到+3=12,‎ 所以曲线C的直角坐标方程为+3=12，的极坐标为，化为直角坐标为（-2，0）‎ 由直线l的参数方程为：（t为参数），‎ 知直线l是过点P（-2，0），且倾斜角为的直线，‎ 把直线的参数方程代入曲线C得，．‎ 所以|PM|•|PN|＝|t1t2|＝4．‎ ‎（2）由曲线C的方程为 ，‎ 不妨设曲线C上的动点，‎ 则以P为顶点的内接矩形周长l，‎ 又由sin（θ）≤1，则l≤16；‎ 因此该内接矩形周长的最大值为16．‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的极坐标方程与普通方程的互化，考查了直线的参数方程的意义及椭圆参数方程的应用，涉及三角函数的最值问题，属于中档题．‎ ‎23.设函数，.‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）已知恒成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）或；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）通过讨论x的范围，得到关于x的不等式组，解出即可；‎ ‎（2）求出f（x）的分段函数的形式，通过讨论a的范围，求出f（x）的最小值即可．‎ ‎【详解】（1）a＝1时，f（x）＝|x+1|+|x﹣1|，‎ 若g（x）≥f（x），‎ 即x2-x≥|x+1|+|x﹣1|，‎ 故 或 或，‎ 解得：x≥3或x≤-1，‎ 故不等式的解集是{x|x≥3或x≤﹣1}；‎ ‎（2）f（x）＝|ax+1|+|x﹣a|，‎ 若0＜a≤1，则f（x）min＝f（a）＝a2+1，‎ ‎∴a2+1，解得：a或a，‎ ‎∴a=1，‎ 若a＞1，则f（x）min＝f（）＝a2，‎ ‎∴a＞1，‎ 综上，a．‎ ‎【点睛】本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值的性质以及求函数最值问题，是一道中档题．‎ ‎ ‎