广东省佛山市南海区2018-2019学年高二下学期期末考试数学（理）试题

广东省佛山市南海区2018-2019学年高二下学期期末考试数学（理）试题

佛山市南海区2018-2019学年高二下学期期末考试 数学（理）‎ 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ‎1.若复数满足，则的虚部为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数的乘法法则将复数表示为一般形式，可得出复数的虚部.‎ ‎【详解】，因此，复数的虚部为，故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查复数的概念与复数的乘法运算，对于复数问题，一般是利用复数的四则运算将复数表示为一般形式，进而求解，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎2.用反证法证明：若整系数一元二次方程有有理数根，那么、、中至少有一个偶数时，下列假设正确的是（ ）‎ A. 假设、、都偶数 B. 假设、、都不是偶数 C. 假设、、至多有一个偶数 D. 假设、、至多有两个偶数 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据反证法的概念，可知假设应是所证命题的否定，即可求解，得到答案。‎ ‎【详解】根据反证法的概念，假设应是所证命题的否定，‎ 所以用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程有有理根，那么中至少有一个是偶数”时，假设应为“假设都不是偶数”，故选B。‎ ‎【点睛】本题主要考查了反证法的概念及其应用，其中解答中熟记反证法的概念，准确作出所证命题的否定是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。‎ ‎3.一工厂生产某种产品的生产量（单位：吨）与利润（单位：万元）的部分数据如表所示：‎ 从所得的散点图分析可知，与线性相关，且回归方程为，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据表格中的数据计算出和，再将点的坐标代入回归直线方程可求出实数的值.‎ ‎【详解】由题意可得，，‎ 由于回归直线过样本中心点，则有，解得，故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查利用回归直线方程求原始数据，解题时要充分利用“回归直线过样本中心点”这一结论的应用，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎4.已知，，，，若（、均为正实数），根据以上等式，可推测、的值，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据前面几个等式归纳出一个关于的等式，再令可得出和的值，由此可计算出的值.‎ ‎【详解】，，‎ ‎，由上可归纳出，‎ 当时，则有，，，因此，，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查归纳推理，解题时要根据前几个等式或不等式的结构进行归纳，考查推理能力，属于中等题.‎ ‎5.甲射击时命中目标的概率为，乙射击时命中目标的概率为，则甲乙两人各自射击同一目标一次，则该目标被击中的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 记事件甲乙两人各自射击同一目标一次，该目标被击中，利用独立事件的概率乘法公式计算出事件的对立事件的概率，再利用对立事件的概率公式可得出事件的概率.‎ ‎【详解】记事件甲乙两人各自射击同一目标一次，该目标被击中，‎ 则事件甲乙两人各自射击同一目标一次，两人都未击中目标，‎ 由独立事件的概率乘法公式得，‎ ‎，故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查独立事件的概率乘法公式，解题时要弄清楚各事件之间的关系，可以采用分类讨论，本题采用对立事件求解，可简化分类讨论，属于中等题.‎ ‎6.定积分（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 找出函数的原函数，然后微积分定理可求出的值.‎ ‎【详解】，所以，，故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查简单复合函数定积分的计算，解题的关键就是要找到被积函数的原函数，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎7.甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面，不同的安排方法共有（ ）‎ A. 20种 B. 30种 C. 40种 D. 60种 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】根据题意，分析可得，甲可以被分配在星期一、二、三；据此分3种情况讨论，计算可得其情况数目，进而由加法原理，计算可得答案．‎ 解：根据题意，要求甲安排在另外两位前面，则甲有3种分配方法，即甲在星期一、二、三；‎ 分3种情况讨论可得，‎ 甲在星期一有A42=12种安排方法，‎ 甲在星期二有A32=6种安排方法，‎ 甲在星期三有A22=2种安排方法，‎ 总共有12+6+2=20种；‎ 故选A．‎ ‎8.的展开式中，的系数为（ ）‎ A. B. C. 30 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将二项式表示为，利用二项展开式通项，可得出，再利用完全平方公式计算出展开式中的系数，乘以可得出结果.‎ ‎【详解】，其展开式通项为，由题意可得，‎ 此时所求项为，‎ 因此，的展开式中，的系数为，故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查三项展开式中指定项的系数，解题时要将三项视为两项相加，借助二项展开式通项求解，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎9.一台机器在一天内发生故障的概率为，若这台机器一周个工作日不发生故障，可获利万元；发生次故障获利为万元；发生次或次以上故障要亏损万元，这台机器一周个工作日内可能获利的数学期望是（ ）万元．（已知，）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设获利为随机变量，可得出的可能取值有、、，列出随机变量的分布列，利用数学期望公式计算出随机变量的数学期望.‎ ‎【详解】设获利为随机变量，则随机变量的可能取值有、、，‎ 由题意可得，，‎ 则.‎ 所以，随机变量的分布列如下表所示：‎ 因此，随机变量的数学期望为，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查随机变量数学期望的计算，解题的关键就是根据已知条件列出随机变量的分布列，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎10.已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围为(　　)‎ A. (2，＋∞) B. (－∞，－2) C. (1，＋∞) D. (－∞，－1)‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求导后讨论、、时的单调性，结合函数只有一个零点，求出参量取值范围 ‎【详解】函数 则，令 则 ‎⑴当时，，存在两个零点，不符合题意，故 ‎⑵当时，，在，上单调递增，在上单调递减 是的极小值点，是的极大值点，且，‎ 当趋于负无穷时，函数值也趋于负无穷 此时函数必有一负零点，不符合题意 ‎⑶当时，，在，上单调递减，在上单调递增 是的极小值点，是的极大值点，‎ 要使函数仅有一正零点，结合函数图像，‎ 可知，‎ 代入可得：，解得 综上，则的取值范围为 故选 ‎【点睛】本题主要考查了利用导函数求解函数单调区间和零点，在计算过程中需要对参量进行分类讨论，有一定的计算量，属于中档题。‎ ‎11.甲、乙、丙，丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩。老师说：你们四人中有两位优秀，两位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则（ ）‎ A. 乙、丁可以知道自己的成绩 B. 乙可以知道四人的成绩 C. 乙、丁可以知道对方的成绩 D. 丁可以知道四人的成绩 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据甲的所说的话，可知乙、丙的成绩中一位优秀、一位良好，再结合简单的合情推理逐一分析可得出结果.‎ ‎【详解】因为甲、乙、丙、丁四位同学中有两位优秀、两位良好，‎ 又甲看了乙、丙的成绩且还不知道自己的成立，即可推出乙、丙的成绩中一位优秀、一位良好，‎ 又乙看了丙的成绩，则乙由丙的成绩可以推出自己的成绩，‎ 又甲、丁成绩中一位优秀、一位良好，则丁由甲的成绩可以推出自己的成绩.‎ 因此，乙、丁知道自己的成绩，故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查简单的合情推理，解题时要根据已知的情况逐一分析，必要时可采用分类讨论的思想进行推理，考查逻辑推理能力，属于中等题.‎ ‎12.已知函数定义域为，且满足（是的导函数），则不等式的解集为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 构造函数，利用导数分析函数在上的单调性，在不等式两边同时乘以化为，即，然后利用函数在上的单调性进行求解即可.‎ ‎【详解】构造函数，其中，则，‎ 所以，函数在定义域上为增函数，‎ 在不等式两边同时乘以得，即，‎ 所以，解得，‎ 因此，不等式的解集为，故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查利用构造新函数求解函数不等式问题，其解法步骤如下：‎ ‎（1）根据导数不等式的结构构造新函数；‎ ‎（2）利用导数分析函数的单调性，必要时分析该函数的奇偶性；‎ ‎（3）将不等式变形为，利用函数的单调性与奇偶性求解.‎ 二、填空题．‎ ‎13.在的展开式中，含项的系数为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用二项展开式通项，令的指数为，求出参数的值，再代入通项可得出项的系数.‎ ‎【详解】二项式展开式的通项为，‎ 令，因此，在的展开式中，含项的系数为，故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查利用二项式通项求指定项的系数，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎14.复数（为虚数单位）的共轭复数是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数的除法法则将复数表示为一般形式，由此可得出复数的共轭复数.‎ ‎【详解】，‎ 因此，复数的共轭复数为，故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查复数的除法运算以及共轭复数，解题的关键就是利用复数的四则运算法则将复数表示为一般形式，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎15.已知函数与函数的图象所围成的面积为，则实数的值为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出两函数的交点坐标，可得知当时，‎ ‎，由此得出两函数图象所围成区域的面积为，可解出实数的值.‎ ‎【详解】联立，得或，当时，由不等式的性质得.‎ 所以，函数与函数的图象所围成的面积为，‎ 即，解得，故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查利用定积分计算曲边三角形的面积，解题时要结合题意确定被积区间与被积函数，并利用定积分公式进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎16.某校高二学生一次数学诊断考试成绩（单位：分）服从正态分布，从中抽取一个同学的数学成绩，记该同学的成绩为事件，记该同学的成绩为事件，则在事件发生的条件下事件发生的概率______．（结果用分数表示）‎ 附参考数据：；；．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算出和，然后利用条件概率公式可得出的值.‎ ‎【详解】由题意可知，，事件为，，，‎ 所以，，‎ ‎，‎ 由条件概率公式得，故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查条件概率的计算，同时也考查了正态分布原则计算概率，解题时要将相应的事件转化为正态分布事件，充分利用正态密度曲线的对称性计算，考查计算能力，属于中等题.‎ 三、解答题：解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．‎ ‎17.已知函数的图象在点处的切线方程为．‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）求函数在区间上的最大值．‎ ‎【答案】（1） ；（2）最大值为.‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）将点代入直线，得出，再由解出、的值，可得出函数的解析式；‎ ‎（2）利用导数求出函数在区间上的极值，再与端点函数值比较大小，可得出函数在区间上的最大值.‎ ‎【详解】（1），，‎ 将点点代入直线，得，得，‎ 所以，解得，因此，；‎ ‎（2），.‎ 由得或，由得.‎ 函数在上单调递减，在上单调递增，‎ 当时，函数在处取得极小值，‎ 而，，函数在区间上的最大值为.‎ ‎【点睛】本题考查了导数的几何意义，同时也考查了利用导数求函数的最值，意在对导数知识点以及应用的考查，属于中等题.‎ ‎18.约定乒乓球比赛无平局且实行局胜制，甲、乙二人进行乒乓球比赛，甲每局取胜的概率为．‎ ‎（1）试求甲赢得比赛的概率；‎ ‎（2）当时，胜者获得奖金元，在第一局比赛甲获胜后，因特殊原因要终止比赛．试问应当如何分配奖金最恰当？‎ ‎【答案】（1）；（2）甲获得元，乙获得元.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）甲赢得比赛包括三种情况：前局甲全胜；前三局甲胜局输局，第局胜；前局甲胜局输局，第局胜.这三个事件互斥，然后利用独立重复试验的概率和互斥事件的概率加法公式可得出计算所求事件的概率；‎ ‎（2）设甲获得奖金为随机变量，可得出随机变量的可能取值为、，在第一局比赛甲获胜后，计算出甲获胜的概率，并列出随机变量的分布列，并计算出随机变量的数学期望的值，即可得出甲分得奖金数为元，乙分得奖金元.‎ ‎【详解】（1）甲赢得比赛包括三种情况：前局甲全胜；前三局甲胜局输局，第局胜；前局甲胜局输局，第局胜.‎ 记甲赢得比赛为事件，‎ 则；‎ ‎（2）如果比赛正常进行，则甲赢得比赛有三种情况：第、局全胜；第、局胜局输局，第局胜；第、、局胜场输局，第局胜，此时甲赢得比赛的概率为 ‎.‎ 则甲获得奖金的分布列为 ‎0‎ 则甲获得奖金的期望为元，‎ 最恰当的奖金分配为：甲获得元，乙获得元.‎ ‎【点睛】本题考查利用独立重复试验和互斥事件的概率公式计算出事件的概率，同时也考查了随机变量分布列及其数学期望，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎19.为了研究家用轿车在高速公路上的速情况，交通部门对名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在名男性驾驶员中，平均车速超过的有人，不超过的有人．在名女性驾驶员中，平均车速超过的有人，不超过的有人.‎ ‎（1）完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为平均车速超过与性别有关，（结果保留小数点后三位）‎ 平均车速超过人数 平均车速不超过人数 合计 男性驾驶员人数 女性驾驶员人数 合计 ‎（2）以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取辆，若每次抽取的结果是相互独立的，问这辆车中平均有多少辆车中驾驶员为男性且车速超过？‎ 附：（其中为样本容量）‎ ‎【答案】(1) 列联表见解析；有99.5%的把握认为平均车速超过与性别有关。(2) 4辆 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题中数据补充列联表，计算出的观测值，并利用临界值表计算出犯错误的概率，可对题中结论的正误进行判断；‎ ‎（2）记这辆车中驾驶员为男性且车速超过的车辆为，由题意得出，利用二项分布的数学期望公式计算出，即可得出结果.‎ ‎【详解】（1）列联表如下：‎ 平均车速超过人数 平均车速不超过人数 合计 男性驾驶员人数 女性驾驶员人数 合计 根据列联表中数据，计算随机变量的观测值，‎ ‎，有的把握认为平均车速超过与性别有关；‎ ‎（2）记这辆车中驾驶员为男性且车速超过的车辆为，‎ 根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取辆，驾驶员为男性且车速超过的车辆的频率为，利用频率估计它的概率为.‎ 由已知可知服从二项分布，即.‎ 所以驾驶员为男性且超过的车辆数的均值（辆）.‎ 在随机抽取的辆车中平均有辆车中驾驶员为男性且车速超过.‎ ‎【点睛】本题考查列联表，以及独立性检验思想，同时也考查了二项分布数学期望的计算，解题时要弄清楚二项分布的特点，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎20.某保险公司拟推出某种意外伤害险，每位参保人交付元参保费，出险时可获得万元的赔付，已知一年中的出险率为，现有人参保.‎ ‎（1）求保险公司获利在（单位：万元）范围内的概率（结果保留小数点后三位）；‎ ‎（2）求保险公司亏本的概率．（结果保留小数点后三位）‎ 附：.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）由题意知，总的保费为万元，分析出保险公式获利万元和万元的人数别为、，由此得出所求概率为；‎ ‎（2）由题意得出保险公式亏本时，由此可得出所求概率为.‎ ‎【详解】每个人在一年内是否遭遇意外伤害可以看成是一次随机试验，把遭遇意外伤害看作成功，则成功概率为.‎ 人参保可以看成是次独立重复试验，用表示一年内这人中遭遇意外伤害的人数，则.‎ ‎（1）由题意知，保险公司每年的包费收入为万，若获利万元，则有人出险；‎ 若获利万元，则有人出险.‎ 当遭遇意外伤害的人数时，保险公司获利在（单位：万元）范围内.‎ 其概率为.‎ 保险公司获利在（单位：万元）范围内的概率为；‎ ‎（2）当遭遇意外伤害的人数时，保险公司亏本.‎ ‎.‎ 保险公司亏本的概率为.‎ ‎【点睛】本题考查概率的计算，考查对立事件概率的计算，解题时要结合条件分析出出险人数，结合表格中的概率进行计算，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎21.已知.‎ ‎（1）求证：恒成立；‎ ‎（2）试求的单调区间；‎ ‎（3）若，，且，其中，求证：恒成立.‎ ‎【答案】(1) 证明见解析；(2) 单调递增区间为，无单调递减区间。 (3)证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）构造函数，利用导数求出函数的最小值，利用来证明所证不等式成立；‎ ‎（2）先解等式可得出函数的定义域，求出该函数的导数 ‎，利用（1）中的结论得出在定义域内恒成立，由此可得出函数的单调区间；‎ ‎（3）证法一：利用分析法得出要证，即证，利用数学归纳法和单调性证明出对任意的恒成立，再利用（1）中的不等式即可得证；‎ 证法二：利用数学归纳法证明，先验证当时，不等式成立，即，再假设当时不等式成立，即，利用函数的单调性得出，由归纳原理证明所证不等式成立.‎ ‎【详解】（1）令，则，由得，由得.‎ 函数在上单调递减，在上单调递增，‎ ‎，即恒成立；‎ ‎（2）由得或，函数的定义域为，‎ 因为，‎ 由（1）可知当时，恒成立，且，.‎ 函数单调递增区间为，，无单调递减区间；‎ ‎（3）证法一：，要证，即证，‎ 即证，即证.‎ 先证对任意，，即，即.‎ 构造函数，其中，则，‎ 则函数在上单调递增，，‎ 所以，对任意的，，即，.‎ 下面证明对任意的，.‎ ‎，.‎ 假设当时，，则当时，.‎ 由上可知，对任意的，.‎ 由（1）可知，当时，，，，‎ 因此，对任意的，；‎ 证法二：数学归纳法 ‎①当时，，，‎ ‎，，即成立；‎ ‎②假设当时结论成立，即成立.‎ 由（2）知，函数在上单调递增，，‎ 又，，，当时结论成立 综合①②，恒成立.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数证明不等式以及利用导数求函数的单调区间，同时也考查了利用数学归纳法证明不等式，证明时应充分利用导数分析函数的单调性，考查逻辑推理能力，属于难题.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，曲线：，曲线：（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系.‎ ‎（Ⅰ）求曲线，的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）曲线：（为参数，，）分别交，于，‎ 两点，当取何值时，取得最大值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）:，:;（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）利用，，将直线直角坐标方程化为极坐标方程，先根据 将曲线参数方程化为直角坐标方程，，再利用将曲线直角坐标方程化为极坐标方程.（2）先确定曲线的极坐标方程为（，），再代入曲线，的极坐标方程得，从而理二倍角公式及配角公式化简得，最后根据正弦函数性质求最值.‎ 试题解析：（Ⅰ）因为，，，‎ 的极坐标方程为，‎ 的普通方程为，即，对应极坐标方程为.‎ ‎（Ⅱ）曲线的极坐标方程为（，）‎ 设，，则，，‎ 所以 ‎ ‎，‎ 又，，‎ 所以当，即时，取得最大值.‎ ‎23.已知不等式的解集为．‎ ‎（1）求集合；‎ ‎（2）设实数，证明：．‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）对分、、三种情况讨论，去绝对值，分别解出不等式，可得出不等式的解集；‎ ‎（2）证法一：由题意得出，，将不等式两边作差得出，由此可得出所证不等式成立；‎ 证法二：利用分析法得出所证不等式等价于，由题意得出，，判断出的符号，可得出所证不等式成立.‎ ‎【详解】（1）当时，不等式化为：，解得；‎ 当时，不等式化为：，解得；‎ 当时，不等式化为：，解得.‎ 综上可知，；‎ ‎（2）证法一：因为，，所以，.‎ 而，所以；‎ 证法二：要证，只需证：，‎ 只需证：，‎ 因为，，所以，.‎ 所以成立，所以成立.‎ ‎【点睛】本题考查利用分类讨论法解绝对值不等式，以及利用分析法和比较法证明不等式，证明时可结合不等式的结构合理选择证明方法，考查分类讨论思想和逻辑推理能力，属于中等题.‎ ‎ ‎