2019届二轮复习第1讲　集合与常用逻辑用语学案（全国通用）

2019届二轮复习第1讲　集合与常用逻辑用语学案（全国通用）

‎　　　　　　　　　　专题二　集合、常用逻辑用语、平面向量、复数、不等式、算法、推理与证明、计数原理 ‎(这是边文，请据需要手工删加)‎ 专　　题　　　二 集合、常用逻辑用语、平面向量、复数、不等式、算法、推理与证明、计数原理 第1讲　集合与常用逻辑用语 　【p11】‎ 　【p11】‎ 年份 卷别 题号 考查内容 命题规律 ‎2018‎ Ⅰ ‎2‎ 集合的补集运算、一元二次不等式的解法 Ⅱ ‎2‎ 集合的表示与元素的个数 Ⅲ ‎1‎ 集合的交集运算、简单不等式的求解 ‎2017‎ Ⅰ ‎1‎ 集合的运算及简单不等式的求解 Ⅱ ‎2‎ 集合的交集及一元二次方程的根 Ⅲ ‎1‎ 集合的概念及运算 ‎2016‎ Ⅰ ‎1‎ 集合的交集运算、一元二次不等式的解法 Ⅱ ‎2‎ 集合的并集运算 Ⅲ ‎1‎ 集合的交集运算、一元二次不等式的解法 ‎　　主要是结合一元二次不等式，求解集与已知集合的交(并、补)；还可以在考查其他内容时，兼顾逻辑用语的使用(读懂)，以及简单逻辑关系的判断.‎ 备 考 建 议　【p11】‎ 从近几年高考题来看，涉及本节知识点的高考题型是选择题或填空题．有时在大题的条件或结论中出现，所以在复习中不宜做过多过高的要求，只要灵活掌握小型综合题型就可以了．‎ 要掌握以函数的定义域、值域、不等式的解集为背景考查集合的交、并、补的基本运算；要能够利用集合之间的关系，利用充要性求解参数的值或取值范围；要掌握命题的四种形式及命题真假的判断；还得注意以新定义集合及集合的运算为背景考查集合关系及运算．要活用“定义法”解题，重视“数形结合”，定义是一切法则和性质的基础，是解题的基本出发点，注意方法的选择，抽象到直观的转化．要体会数学语言的简洁性与明确性，发展运用数学语言交流问题的能力．体会分类讨论思想、数形结合思想、函数方程思想等数学思想在解题中的运用．‎ 典 例 剖 析　【p11】‎ 探究一　 集合的含义与表示、集合的运算 例1(1)若A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|‎2m－1≤x≤m＋1}，A∩B＝B，则实数m的取值范围是________．‎ ‎【解析】[－1，＋∞)‎ ‎∵A∩B＝B，∴B⊆A.‎ 当B＝∅时，由‎2m－1＞m＋1，解得m>2；‎ 当B≠∅时，则解得－1≤m≤2.‎ 综上，可知，m∈[－1，＋∞)．‎ ‎【点评】在解题中，若未能指明集合非空时，要考虑到空集的可能性，如A⊆B，则有A＝∅和A≠∅两种可能，此时应分类讨论．‎ ‎(2)函数f(x)的定义域为D，对给定的正数k，若存在闭区间⊆D，使得函数f(x)满足：①f(x)在内是单调函数；②f(x)在上的值域为，则称区间为y＝f(x)的k级“理想区间”．下列结论错误的是(　　)‎ A．函数f(x)＝x2(x∈R)存在1级“理想区间”‎ B．函数f(x)＝ex不存在2级“理想区间”‎ C．函数f(x)＝存在3级“理想区间”‎ D．函数f(x)＝tan x，x∈不存在4级“理想区间”‎ ‎【解析】选D.‎ 易知是f(x)＝x2的1级“理想区间”，A正确；‎ 设g(x)＝ex－2x，g′(x)＝ex－2，当xln 2时，g′(x)>0，因此g(x)min＝g＝2－2ln 2>0，即g(x)＝0无零点，因此f(x)＝ex不存在2级“理想区间”，B正确；‎ 由h(x)＝－3x＝0，得x＝0或x＝，则是f(x)＝的一个3级“理想区间”，C正确；‎ 借助正切函数图象知y＝tan x与y＝4x在内有三个交点，因此f(x)＝tan x有4级“理想区间”，D错误．‎ 故选D.‎ 探究二　常用逻辑用语 例2 (1)命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x‎2”‎的否定形式是(　　)‎ A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n1；‎ 对命题q，令2－a<0，即a>2，‎ 则綈q对应的a的范围是(－∞，2]．‎ 因为p且綈q为真命题，‎ 所以实数a的取值范围是12，条件q：x>a，且綈p是綈q的充分不必要条件，则a的取值范围是________________________________________________________________________．‎ ‎【解析】a≥1‎ ‎∵p：|x＋1|>2，∴p＝{x|x>1或x<－3}，若綈p是綈q的充分不必要条件，则q是p的充分不必要条件，则q⊆p，∴a≥1，故答案为a≥1.‎ 规 律 总 结　【p12】‎ ‎1．解答集合问题的策略：‎ ‎(1)集合的化简是实施运算的前提，等价转换是顺利解题的关键．解决集合问题，要弄清集合中元素的本质属性，能化简的要化简；抓住集合中元素的三个性质，对互异性要注意检验；‎ ‎(2)求交集、并集、补集要充分发挥数轴或韦恩图的作用；‎ ‎(3)含参数的问题，要有分类讨论的意识．注意空集的特殊性，在解题中，若未能指明集合非空时，要考虑到空集的可能性．‎ ‎2．命题真假的判定方法：‎ ‎(1)一般命题p的真假由涉及到的相关知识辨别；‎ ‎(2)四种命题的真假的判断根据：一个命题和它的逆否命题同真假，而与它的其他两个命题的真假无此规律；‎ ‎(3)p∨q、p∧q、綈p命题的真假根据p，q的真假与逻辑联结词的含义判定；‎ ‎(4)要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称命题是假命题，却只要举出集合M中的一个x＝x0，使得p(x0)不成立即可(也就是通常所说的“举一个反例”)．要判定一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中能找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可；否则，这一存在性命题是假命题．‎ ‎3．充分条件必要条件的判定方法：‎ ‎(1)定义法：分清条件和结论；找推式，判断“p⇒q”及“q ⇒ p”的真假；下结论，根据推式及定义下结论；‎ ‎(2)等价转化法：条件和结论带有否定词语的命题，常转化为其逆否命题来判断；‎ ‎(3)集合法：小范围可推出大范围，大范围不能推出小范围．‎ ‎4．解决创新题的问题常分三步：‎ ‎①信息提取，确定化归方向；‎ ‎②对所提取的信息进行加工，探求解决方法；‎ ‎③将涉及到的知识进行转换，有效地输出，其中信息的提取与化归是解题的关键，也是解题的难点．‎ 高 考 回 眸　【p12】‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 考题1[2018·全国卷Ⅰ]已知集合A＝{x|x2－x－2>0}，则∁RA＝(　　)‎ A．{x|－12}‎ D．{x|x≤－1或x≥2}‎ ‎【解析】选B.‎ ‎∵x2－x－2>0，∴(x－2)(x＋1)>0，‎ ‎∴x>2或x<－1，即A＝{x|x>2或x<－1}，‎ ‎∴∁RA＝{x|－1≤x≤2}，故选B.‎ ‎【命题意图】本题考查集合补集的运算、一元二次不等式的解法，考查学生的计算能力．‎ 考题2[2018·全国卷Ⅱ]已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为(　　)‎ A．9 B．8‎ C．5 D．4‎ ‎【解析】选A.‎ 将满足x2＋y2≤3的整数x、y全部列举出来，即(－1，－1)，(－1，0)，(－1，1)，(0，－1)，(0，0)，(0，1)，(1，－1)，(1，0)，(1，1)，共有9个．‎ ‎【命题意图】本题考查集合中元素的个数，考查了学生的理解能力与推理能力．‎ 考题3[2017·天津卷] 设θ∈R，则“<”是“sin θ<”的(　　)‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎ ‎【解析】选A.‎ 当<时，可解得0<θ<，即00，∴xsin2x<1⇔sin2x<，‎ ‎∵0n B．∀n∈N*，f(n)∉N*或f(n)>n C．∃n0∈N*，f(n0)∉N*且f(n0)>n0‎ D．∃n0∈N*，f(n0)∉N*或f(n0)>n0‎ ‎【解析】选D.‎ 全称命题的否定是特称命题，故选D.‎ B组　能力提升 ‎6．已知p：∀m∈R，x2－mx－1＝0有解，q：∃x0∈N，x02－x0－1≤0，则下列选项中是假命题的为(　　)‎ A．p∧q B．p∧(綈q)‎ C．p∨q D．p∨(綈q)‎ ‎【解析】选B.‎ 对于命题p：方程x2－mx－1＝0，则Δ＝m2＋4＞0，因此：∀m∈R，x2－mx－1＝0有解，可得：命题p是真命题．‎ 对于命题q：由x2－x－1≤0，解得≤x≤，因此存在x＝0，1∈N，使得x2－x－1≤0成立，因此是真命题．∴选项中是假命题的为p∧(綈q)，故选B.‎ ‎7．命题“∃x0∈R，asin x0＋cos x0≥‎2”‎为假命题，则实数a的取值范围是________．‎ ‎【解析】(－，)‎ 由题意，命题“∀x∈R，asin x＋cos x<‎2”‎为真命题，‎ 则<2，∴－＝，所以实数λ的取值范围为<λ≤1，应填答案<λ≤1.‎