高考数学【理科】真题分类详细解析版专题10 圆锥曲线（解析版）

高考数学【理科】真题分类详细解析版专题10 圆锥曲线（解析版）

专题10 圆锥曲线 ‎【2013高考真题】‎ ‎（2013·新课标I理）10、已知椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点。若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为 ( )‎ A、＋＝1 B、＋＝‎1‎ C、＋＝1 D、＋＝1‎ ‎【答案】D；‎ ‎【解析】设、，所以，运用点差法，所以直线的斜率为，设直线方程为，联立直线与椭圆的方程，所以；又因为，解得.‎ ‎【学科网考点定位】本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查学生的化归与转化能力.‎ ‎（2013·上海理）9．设AB是椭圆的长轴，点C在上，且，若AB=4，，则的两个焦点之间的距离为________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】不妨设椭圆的标准方程为，于是可算得，得．‎ ‎【学科网考点定位】考查椭圆的定义及运算，属容易题。‎ ‎（2013·辽宁理）（15）已知椭圆的左焦点为 ‎ .‎ ‎ 【答案】‎ ‎【解析】,‎ ‎【学科网考点定位】本题考查椭圆定义，解三角形相关知识以及椭圆的几何性质。‎ ‎（2013·福建理）14. 椭圆的左右焦点分别为,焦距为，若直线与椭圆的一个交点满足,则该椭圆的离心率等于_____‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】注意到直线过点即为左焦点，又斜率为，所以倾斜角为，即。又故，那么。，，。‎ ‎【学科网考点定位】考查离心率的算法，要求学生要有敏锐的观察力，比如直线的特征。属于难题。‎ ‎（2013·大纲理）8.椭圆C：的左右顶点分别为，点P在C上且直线斜率的取值范围是，那么直线斜率的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【学科网考点定位】直线与椭圆的位置关系 ‎（2013·北京理）19. (本小题共14分)‎ 已知A、B、C是椭圆W：上的三个点，O是坐标原点.‎ ‎(I)当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积.‎ ‎(II)当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由.‎ ‎【解析】 利用椭圆的对称性，结合图形完成第(I)小题.设出直线方程，把直线方程和椭圆方程联立，设而不求，结合菱形的特点进行判断.‎ ‎【答案】 (I) 椭圆W：的右顶点，因为四边形OABC为菱形，所以和互相垂直平分.‎ 所以可设，代入椭圆方程得，解得.‎ 所以菱形OABC的面积为.‎ ‎(II)假设四边形OABC为菱形.‎ 因为点B不是W的顶点，且直线AC不过原点，所以可设AC的方程为y=kx+m,k≠0,m≠0..‎ 由消去y并整理得.‎ 设而不求，考查了数据处理能力和整体思想的应用.‎ ‎（2013·江西理）20．（本小题满分13分）‎ 如图，椭圆经过点P（1. ），离心率e=，直线l的方程为x=4.‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为.问：是否存在常数λ，使得？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由.‎ ‎【答案】（1）（2）存在 ‎【解析】 ① ②‎ ‎②代入①得 力和计算能力.‎ ‎（2013·山东理）22.（本小题满分13分）‎ 椭圆： 的左、右焦点分别是，离心率为，过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为。‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）点是椭圆上除长轴端点外的任一点，连接，设的角平分线交的长轴于点，求的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点作斜率为的直线,使与椭圆有且只有一个公共点，设直线的斜率分别为。若，试证明为定值，并求出这个定值。‎ ‎【答案】（Ⅰ） （Ⅱ） （Ⅲ）-8‎ ‎【解析】（Ⅰ）设，过且垂直于轴的直线与椭圆相交，则其中的一个交 所以椭圆的方程为 设其中，将向量坐标代入并化简得 ‎，因为， ‎ 所以，而，所以.‎ ‎（Ⅲ）因为与椭圆有且只有一个公共点，则点为切点，设 ‎.‎ 设与联立得，‎ 由得，‎ 所以 另解：由题意可知，为椭圆的在点处的切线，由导数法可求得，切线方程，‎ 所以，而，代入中得 为定值.‎ ‎【学科网考点定位】本题通过椭圆的离心率、焦点、弦长、定义等基本知识来考查运算 ‎（2013·浙江理）9.如图，是椭圆与双曲线的公共焦点，分别是，在第二、四象限的公共点。若四边形为矩形，则的离心率是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】解决此类问题有三种思路，一是求出三个量中的任何两个，然后利用离心率的计算公式求解；二是求出或或之间关系，然后利用离心率的计算公式求解；三是构造出关于离心率的方程来求解。此题中关键是灵活的应用椭圆和双曲线的定义构造出方程即可求解；‎ 即由已知得，设双曲线实半轴为，由椭圆及双曲线的，所以选D；‎ ‎【学科网考点定位】此题考查椭圆和双曲线的定义、性质的应用，考查了离心率的求法；‎ ‎（2013·浙江理）21.如图，点是椭圆的一个顶点，的长轴是圆的直径.是过点且互相垂直的两条直线，其中交圆于两点，交椭圆于另一点 ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）求面积取最大值时直线的方程.‎ ‎【解析】此题第（Ⅰ）问根据已知条件可以得出短半轴的长为1，即然后再根据能保证得出正确的面积的表达式，进而正确求出最值；‎ ‎（Ⅰ）由已知得到，且，所以椭圆的方程是；‎ ‎（Ⅱ）因为直线，且都过点，所以设直线，直线，所以圆心到直线的距离为，所以直线被圆 所截的弦； ‎ 由，所以 ‎，所以 ‎，‎ 当时等号成立，此时直线；‎ 力；‎ ‎（2013·新课标Ⅱ理） (20)(本小题满分12分)‎ 平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：右焦点的直线交于A,B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为.‎ ‎(Ι)求M的方程；‎ ‎（Ⅱ）C,D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形面积的最大值 ‎【解析】(Ι)设则，‎ ‎，（1）－（2）得：‎ ‎，因为，设，因为P为AB的中点，且OP的斜率为，所以，即，所以可以解得，即，即，又因为，所以，所以M的方程为.‎ ‎（Ⅱ）因为CD⊥AB，直线AB方程为，所以设直线CD方程为，‎ 将代入得：，即、，所以可得 ‎；将代入得：，设则 ‎=，又因为，即，所以当时，|CD|取得最大值4，所以四边形ACBD面积的最大值为.‎ ‎【解题思路与技巧】本题第（Ⅰ）问，属于中点弦问题,运用设而不求的数学思想;第（Ⅱ）问,运用弦长公式求出弦长,然后由面积公式求出面积的最大值.‎ ‎【易错点】对第（Ⅰ）问，一部分同学想不到设而不求的思想,容易联立方程组求解而走弯路；第（Ⅱ）问,容易出现计算失误.‎ ‎【学科网考点定位】本小题考查椭圆的方程的求解、直线与椭圆的位置关系，考查数学中的待定系数法、设而不求思想 ，考查同学们的计算能力以及分析问题、解决问题的能力.圆锥曲线是高考的热点问题,年年必考,熟练本部分的基础知识是解答好本类问题的关键.‎ ‎（2013·新课标I理）(20)(本小题满分12分) 已知圆M：(x＋1)2＋y2=1，圆N：(x－1)2＋y2=9，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹 为曲线 C ‎（Ⅰ）求C的方程；‎ ‎（Ⅱ）l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|. ‎ 若直线l不垂直于x轴，设l与x轴的交点为Q，则，解得，故直线l：；有l与圆M相切得，解得；当时，直线，联立直线与椭圆的方程解得；同理，当时，.‎ ‎【解析】（1）根据椭圆的定义求出方程；（2）先确定当圆P的半径最长时，其方程为，再对直线l进行分类讨论求弦长.‎ ‎【学科网考点定位】本题考查椭圆的定义、弦长公式、直线的方程，考查学生的运算能力、化简能力以及数形结合的能力.‎ ‎（2013·新课标I理）4、已知双曲线C:－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，则C的渐近线方程为 ( )‎ A、y=±x （B）y=±x （C）y=±x （D）y=±x ‎【答案】C；‎ ‎【解析】，故，即，故渐近线方程为.‎ ‎【学科网考点定位】本题考查双曲线的基本性质，考查学生的化归与转化能力.‎ ‎（2013·天津理）5. 已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于A, B两点, O为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB的面积为, 则p = （ ）‎ ‎ (A) 1 (B) (C) 2 (D) 3‎ ‎【答案】C 识，考查分析问题与解决问题的能力.‎ ‎（2013·陕西理）10. 设[x]表示不大于x的最大整数, 则对任意实数x, y, 有 （ ）‎ ‎ (A) [－x] ＝ －[x] (B) [2x] ＝ 2[x]‎ ‎ (C) [x＋y]≤[x]＋[y] (D) [x－y]≤[x]－[y]‎ ‎【答案】D ‎【解析】取，则，所以A项错误；‎ ‎，所以B项错误；再取，则 ‎，所以C项错误. ‎ ‎【学科网考点定位】本题考查取整函数(即高斯函数)，分段函数思想。属于难题。‎ ‎（2013·湖南理）14．设是双曲线的两个焦点，P是C上一点，若且的最小内角为，则C的离心率为___。‎ ‎【答案】；‎ ‎【解析】不妨设，则，所以，因为，所以，所以.‎ ‎（2013·广东理）7．已知中心在原点的双曲线的右焦点为,离心率等于,在双曲线的方程是 ( )‎ A . B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】依题意,,所以,从而,,故选B．‎ ‎【学科网考点定位】考查双曲线方程 ‎（2013·福建理）3.双曲线的顶点到渐进线的距离等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由于对称性，我们不妨取顶点，取渐近线为，所以由点到直线的距离公式可得 故渐进性方程为.‎ ‎【学科网考点定位】本小题考查了离心率和渐近线等双曲线的性质.‎ ‎（2013·安徽理）（13）已知直线交抛物线于两点。若该抛物线上存在点，使得为直角，则的取值范围为___________。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意得：‎ ‎【学科网考点定位】抛物线与直线的关系，以及向量的简单应用和参数的取值范围.‎ ‎（2013·大纲理）21.（本小题满分12分）‎ 已知双曲线C：（a>0,b>0）的左、右焦点分别为、，离心率为3，直线y=2与C的两个交点间的距离为.‎ ‎（Ⅰ）求a,b；‎ ‎（Ⅱ）设过的直线l与C的左、右两支分别交于A、B两点，且，证明：、、成等比数列.‎ ‎.‎ 设，，则 ‎，，，.‎ 于是 ‎，‎ 由得，即.‎ 故，解得，从而.‎ 由于，‎ ‎.‎ 故，‎ ‎.‎ 因而，所以、、成等比数列.‎ ‎【解析】（1）利用待定系数法求解，利用已知条件建立含义的等量关系，进而确定曲线方程；(2)利用直线与曲线联立方程组，借助韦达定理和弦长公式将、、表示出来，然后借助证明等比中项。‎ ‎【学科网考点定位】本题考查双曲线方程与直线与双曲线的位置关系，考查舍而不求的思想以及计算能力.‎ ‎（2013·上海理）22．（3分+5分+8分）如图，已知曲线，曲线，P是平面上一点，若存在过点P的直线与都有公共点，则称P为“C1—C2型点”．‎ ‎ (1)在正确证明的左焦点是“C1—C2型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；‎ ‎(2)设直线与有公共点，求证，进而证明原点不是“C1—C2型点”；‎ ‎(3)求证：圆内的点都不是“C1—C2型点”．‎ ‎【解析】本题第(1)问只要注意到渐近线的斜率即可。第(2)带着绝对值处理较直接简洁, （2）直线与C2有交点，则 ‎，若方程组有解，则必须；‎ 直线与C2有交点，则 直线与圆内部有交点，故 化简得，。。。。。。。。。。。。①‎ 若直线与曲线C1有交点，则 化简得，。。。。。②‎ 由①②得，‎ 但此时，因为，即①式不成立；‎ 当时，①式也不成立 综上，直线若与圆内有交点，则不可能同时与曲线C1和C2有交点，‎ 即圆内的点都不是“C1-C2型点” ．‎ ‎【学科网考点定位】考查双曲线，直线，圆的位置关系，综合性较强，属难题。‎ ‎（2013·上海理）7．在极坐标系中，曲线与 的公共点到极点的距离为__________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】联立方程组得，又，故所求为．‎ ‎【学科网考点定位】考查极坐标方程及意义，属容易题。‎ ‎（2013·山东理）11.抛物线：(p＞0)的焦点与双曲线：的右焦点的连线交于第一象限的点。若在点处的切线平行于的一条渐近线。则 A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】画图可知被在点M处的切线平行的渐近线方程应为，设，则利用求导得又点共线，即点共线，所以，解得所以 ‎【学科网考点定位】本题考查了抛物线和双曲线的概念、性质和导数的意义，进一步考查了运算求解能力。根据三点共线的斜率性质构造方程，从而确定抛物线方程形式.‎ ‎（2013·江西理）14．抛物线x2=2py（p＞0）的焦点为F，其准线与双曲线 - =1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p=___________.‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】因为抛物线x2=2py的准线和双曲线 - =1相交交点横坐标为 ‎【学科网考点定位】本题主要考查抛物线的概念、标准方程、几何性质，考查分析问题解决问题的能力.‎ ‎（2013·大纲理）11.已知抛物线C：与点M（-2,2），过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若，则k=（ ）‎ A． B． C． D．2‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意知抛物线C的焦点坐标为（2,0），则直线AB的方程为，‎ ‎（2013·新课标Ⅱ理）（11）设抛物线的焦点为F，点M在C上，|MF|=5,若以MF为直径的圆过点（0，2），则C的方程为 ‎（A）或 （B）或 ‎ （C）或 （D）或 ‎【答案】C ‎【解析】由题意知：，准线方程为，则由抛物线的定义知，，（2013·北京理）7.直线l过抛物线C: x2=4y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于（ ）‎ A. B.2 C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】直线l的方程为，由得交点坐标，，故l与C所围成的图形的面积为.‎ ‎【学科网考点定位】本小题考查了直线和抛物线的位置关系、定积分的计算及其应用.‎ ‎（2013·浙江理）15、设为抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于两点，点为线段的中点，若，则直线的斜率等于________。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】此题首先求出抛物线的焦点坐标，然后设出直线的方程，把直线方程和抛物线方程联立，化为关于的一元二次方程，利用韦达定理和已知条件即可求出；由已知得到：，设，，由 ‎，所以 ‎，由已知得到 ‎，所以答案是 ‎【学科网考点定位】此题考查抛物线的标准方程和性质的应用，考查两点间距离公式和直线方程的点斜式的应用，考查学生的运算求解能力；‎ ‎（2013·福建理）18.（本小题满分13分）‎ 如图，在正方形中，为坐标原点，点的坐标为，点的坐标为，分别将线段和十等分，分点分别记为和，连接，过作轴的垂线与交于点。‎ （1） 求证：点都在同一条抛物线上，并求抛物线的方程；‎ （2） 过点作直线与抛物线E交于不同的两点, 若与的面积之比为4:1，求直线的方程。‎ ‎【答案】 （Ⅰ）依题意，过且与x轴垂直的直线方程为 ‎，直线的方程为 设坐标为，由得：，即，‎ 都在同一条抛物线上，且抛物线方程为 ‎（Ⅱ）依题意：直线的斜率存在，设直线的方程为 直线的方程为，即或 ‎【解析】此题在问法上给学生设了一个卡，如果第一问直接问 的轨迹方程，估计学生更容易入手一些，不过对于知识要活学活用（证明它求出不就说明问题了）。那么第二问有关解析几何的计算就要善于转化，且计算要过关。‎ ‎【学科网考点定位】 本题考查抛物线的性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，化归与转化及数形结合思想、函数与方程思想。属于中等难度。‎ ‎（2013·广东理）20．（本小题满分14分）‎ 已知抛物线的顶点为原点,其焦点到直线:的距离为.设为直线上的点,过点作抛物线的两条切线,其中为切点.‎ ‎(Ⅰ) 求抛物线的方程；‎ ‎(Ⅱ) 当点为直线上的定点时,求直线的方程；‎ ‎(Ⅲ) 当点在直线上移动时,求的最小值.‎ ‎【答案】 (Ⅰ) 依题意,设抛物线的方程为,由结合,‎ 解得. 所以抛物线的方程为.‎ ‎ (Ⅱ) 抛物线的方程为,即,求导得 设,(其中),则切线的斜率分别为,,‎ 由一元二次方程根与系数的关系可得,‎ 所以 又点在直线上,所以,‎ 所以 所以当时, 取得最小值,且最小值为.‎ ‎【解析】(1)利用点到直线的距离公式直接求解C的值，便可确定抛物线方程；（2）利用求导的思路确定抛物线的两条切线，借助均过点P，得到直线方程；（3）通过直线与抛物线联立，借助韦达定理和抛物线定义将进行转化处理，通过参数的消减得到函数关系式是解题的关键，然后利用二次函数求最值，需注意变量的范围.‎ ‎【学科网考点定位】本题考查抛物线的方程、定义、切线方程以及直线与抛物线的位置关系，考查学生的分析问题的能力和转化能力、计算能力.‎ ‎（2013·湖南理）21．（本小题满分13分）‎ 过抛物线的焦点F作斜率分别为的两条不同的直线，且，相交于点A，B，相交于点C，D。以AB，CD为直径的圆M，圆N（M，N为圆心）的公共弦所在的直线记为。‎ ‎（I）若，证明；；‎ ‎（II）若点M到直线的距离的最小值为，求抛物线E的方程。‎ 则是上述方程的两个实数根，从而，所以点M的坐标为，，同理可得N的坐标为，，于是，由题设，，所以，故；‎ ‎（2）由抛物线的定义得所以 从而圆M的半径，圆M的方程为化简得 ‎，同理可得圆N的方程为，于是圆M与圆N的公共弦所在直线l的方程为，又，则直线l的方程为 ‎，因为，所以点M到直线l的距离，故当时，取最小值. 由题设，，所以，故所求抛物线E的方程为 ‎【解析】（1）设出直线的方程，联立直线与抛物线的方程利用根与系数的关系进行求解；（2）先分别求出圆M与圆N的方程，再求出公共弦的方程，配合点到直线的距离公式进行求解.‎ ‎【学科网考点定位】本题考查抛物线的定义、直线的方程、圆的方程、点到直线的距离公式，考查学生的基本运算能力以及化归与转化能力.‎ ‎（2013·辽宁理）20．（本小题满分12分）‎ 如图，抛物线 ‎（I）；‎ ‎（II）‎ ‎ ，代入抛物线得 联立解得p=2‎ ‎（II）设，由N为线段AB的中点可得：‎ ‎，切线MA,MB的方程为：‎ ‎，，两式联立求得交点M的坐标 由，再由 可得：，经检验当A,B重合于坐标原点是方程也满足，因此AB中点N的轨迹方程为 ‎【解析】第一小题主要是要求学生把题目所给的抛物线方程转化成二次函数，从而想到切线的斜率即为该点的导数值，求得切点坐标，写出切线方程，进而求得p的值。‎ 第二小题主要是寻找点M与点N的关系，通过设出各点的坐标，充分利用点在曲线上及他们之间的关系，代入建立间的关系，最后运用点M在已知曲线上求得x与y的关系。本题在求解过程中注意整体消参的方法。最后不要漏掉对特殊点即原点的考虑。‎ ‎【学科网考点定位】本题考查抛物线的性质，导数的意义，曲线的方程，整体代入消参求动点的轨迹。‎ ‎【2012高考真题】‎ ‎1．（2012·江苏卷） 在平面直角坐标系xOy中，若双曲线－＝1的离心率为，则m的值为________．‎ ‎【答案】2　【解析】本题考查双曲线离心率的求解．解题突破口是明确焦点所在轴．根据双曲线方程可得：m>0，所以e＝＝，解之得m＝2.‎ ‎2．（2012·湖南卷） 已知双曲线C：－＝1的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则C的方程为(　　)‎ ‎【答案】A　【解析】本题考查双曲线方程和渐近线方程，意在考查考生对双曲线方程和其性质的掌握；解题思路：首先由a，b，c的关系，排除C，D，再由渐近线方程得答案A.‎ 由已知可得双曲线的焦距‎2c＝10，a2＋b2＝52＝25，排除C，D，又由渐近线方程为y＝x＝x，得＝，解得a2＝20，b2＝5，所以选A.‎ ‎3．（2012·全国卷） 已知F1、F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝(　　)‎ A. B. C. D. ‎【答案】C　【解析】本小题主要考查双曲线的定义及余弦定理的应用，解题的突破口为运用双曲线的定义求出PF1和PF2的长，再用余弦定理即可求．由双曲线的定义有|PF1|－|PF2|＝|PF2|＝‎2a＝2，∴|PF1|＝2|PF2|＝4，cos∠F1PF2＝＝，故选C.‎ ‎4．（2012·课标全国卷） 等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2＝16x的准线交于A，B两点，|AB|＝4，则C的实轴长为(　　)‎ A. B．‎2 C．4 D．8‎ ‎【答案】C　【解析】由题意可设双曲线的方程为－＝1(a>0)．易知抛物线y2＝16x的准线方程为x＝－4，联立 得16－y2＝a2(*)，因为|AB|＝4，所以y＝±2.代入(*)式，得16－(±2)2＝a2，解得a＝2(a>0)．所以C的实轴长为‎2a＝4，故选C.‎ ‎5．（2012·上海卷） 在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1：2x2－y2＝1.‎ ‎(1)过C1的左顶点引C1的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积；‎ ‎(2)设斜率为1的直线l交C1于P、Q两点．若l与圆x2＋y2＝1相切，求证：OP⊥OQ；‎ ‎(3)设椭圆C2：4x2＋y2＝1，若M、N分别是C1、C2上的动点，且OM⊥ON，求证：O到直线MN的距离是定值．‎ ‎【答案】解：(1)双曲线C1：－y2＝1，左顶点A，渐近线方程：y＝±x.‎ 过点A与渐近线y＝x平行的直线方程为y＝，即y＝x＋1.‎ 解方程组得 同理|OM|2＝，‎ 设O到直线MN的距离为d，‎ 因为(|OM|2＋|ON|2)d2＝|OM|2|ON|2.‎ 所以＝＋＝＝3，即d＝.‎ 综上，O到直线MN的距离是定值．‎ ‎6．（2012·湖北卷） 如图1－5所示，双曲线－＝1(a，b>0)的两顶点为A1，A2，虚轴两端点为B1，B2，两焦点为F1，F2.若以A‎1A2为直径的圆内切于菱形F1B‎1F2B2，切点分别为A，B，C，D.则 ‎(1)双曲线的离心率e＝________；‎ ‎(2)菱形F1B‎1F2B2的面积S1与矩形ABCD的面积S2的比值＝________.‎ 图1－5‎ ‎【答案】(1)　(2)　【解析】(1)由图可知，点O到直线F1B2的距离d与圆O的半径OA1相等，‎ 又直线F1B2的方程为＋＝1，即bx－cy＋bc＝0.‎ 所以d＝＝a，整理得b2(c2－a2)＝a‎2c2，即(c2－a2)2＝a‎2c2，得c2－a2＝ac.‎ 所以e2－e－1＝0，解得e＝(负值舍去)．‎ ‎(2)连结OB，设BC与x轴的交点为E，由勾股定理可求得|BF1|＝.‎ 由等面积法可求得|BE|＝＝，‎ 所以|OE|＝＝.‎ 所以S2＝2|OE|·2|EB|＝.‎ 而S1＝|F‎1F2||B1B2|＝2bc, 所以＝＝e3＝.‎ ‎7．（2012·四川卷） 已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0)，若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|＝(　　)‎ A．2 B．2 C．4 D．2 ‎【答案】B　【解析】由于抛物线关于x轴对称，且经过的点M的横坐标2＞0，可知抛物线开口向右，‎ 设方程为y2＝2px，准线为x＝－，而M点到准线距离为3，可知＝1，即p＝2，‎ 故抛物线方程为y2＝4x.‎ 当x＝2时，可得y0＝±2，‎ ‎∴|OM|＝＝2.‎ ‎8．（2012·陕西卷） 图1－4是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面‎2米，水面宽‎4米，水位下降‎1米后，水面宽________米．‎ 图1－4‎ ‎【答案】2　【解析】本小题主要考查了抛物线的知识，解题的关键是建立坐标系求出抛物线的方程．以拱顶为坐标原点建立平面直角坐标系，设抛物线的方程为：x2＝－2py(p>0)，由题意知抛物线过点(2，－2)，代入方程得p＝1，则抛物线的方程为：x2＝－2y，当水面下降‎1米时，为y＝－3，代入抛物线方程得x＝，所以此时水面宽为‎2‎米．‎ ‎9．（2012·安徽卷） 过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O 为坐标原点．若|AF|＝3，则△AOB的面积为(　　)‎ A. B. C. D．2 ‎10．（2012·浙江卷） 定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离．已知曲线C1：y＝x2＋a到直线l：y＝x的距离等于曲线C2：x2＋(y＋4)2＝2到直线l：y＝x的距离，则实数a＝________.‎ ‎【答案】　【解析】本题在新定义背景下考查直线、圆和抛物线的方程，一、二次曲线之间的位置关系与导数的几何意义等基础知识，考查综合运用知识的能力以及函数与方程和数形结合的数学思想．求出曲线C1到直线l的距离和曲线C2到直线l的距离，建立等式，求出参数a的值. 曲线C2：x2＋(y＋4)2＝2到直线l：y＝x的距离为圆心到直线的距离与圆的半径之差，即d－r＝－＝，由y＝x2＋a可得y′＝2x，令y′＝2x＝1，则x＝，在曲线C1上对应的点P，所以曲线C1到直线l的距离即为点P直线l的距离，故＝，所以＝，可得＝2，a＝－或a＝，当a＝－时，曲线C1：y＝x2－与直线l：y＝x相交，两者距离为0，不合题意，故a＝.‎ ‎11．（2012·山东卷） 在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点，M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点，过M，F，O三点的圆的圆心为Q，点Q 到抛物C的准线的距离为.‎ ‎(1)求抛物线C的方程；‎ ‎(2)是否存在点M，使得直线MQ与抛物线C相切于点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由；‎ ‎(3)若点M的横坐标为，直线l2：y＝kx＋与抛物线C有两个不同的交点A，B，l与圆Q有两个不同的交点D，E，求当≤k≤2时，|AB|2＋|DE|2的最小值．‎ ‎【答案】解：(1)依题意知F，圆心Q在线段OF的垂直平分线y＝上，‎ 因为抛物线C的准线方程为y＝－，‎ 所以＝，即p＝1，‎ 因此抛物线C的方程为x2＝2y.‎ ‎(2)假设存在点M(x0>0)满足条件，抛物线C在点M处的切线斜率为 y′x＝x0＝x＝x0＝x0.‎ 由 整理得(1＋k2)x2－x－＝0.‎ 设D、E两点的坐标分别为(x3，y3)，(x4，y4)，‎ 由于Δ2＝＋>0，x3＋x4＝，x3x4＝－，‎ 所以|DE|2＝(1＋k2)[(x3＋x4)2－4x3x4]＝‎ ＋.‎ 因此|AB|2＋|DE|2＝(1＋k2)(4k2＋2)＋＋.‎ 令1＋k2＝t，由于≤k≤2，则≤t≤5，‎ 所以|AB|2＋|DE|2＝t(4t－2)＋＋＝4t2－2t＋＋，‎ 设g(t)＝4t2－2t＋＋，t∈，‎ 因为g′(t)＝8t－2－，‎ 所以当t∈时，g′(t)≥g′＝6，即函数g(t)在上是增函数，‎ 所以当t＝时g(t)取到最小值.因此，当k＝时，|AB|2＋|DE|2取到最小值.‎ ‎12．（2012·课标全国卷）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2＝16x的准线交于A，B两点，|AB|＝4，则C的实轴长为(　　)‎ A. B．‎2 C．4 D．8‎ ‎【答案】C　【解析】由题意可设双曲线的方程为－＝1(a>0)．易知抛物线y2＝16x的准线方程为x＝－4，联立 得16－y2＝a2(*)，因为|AB|＝4，所以y＝±2.代入(*)式，得16－(±2)2＝a2，解得a＝2(a>0)．所以C的实轴长为‎2a＝4，故选C.‎ ‎13．（2012·全国卷）已知抛物线C：y＝(x＋1)2与圆M：(x－1)2＋2＝r2(r>0)有一个公共点A，且在A处两曲线的切线为同一直线l.‎ ‎(1)求r；‎ ‎(2)设m、n是异于l且与C及M都相切的两条直线，m、n的交点为D，求D到l的距离．‎ ‎【答案】解：(1)设A(x0，(x0＋1)2)．对y＝(x＋1)2求导得y′＝2(x＋1)．‎ 故l的斜率k＝2(x0＋1)．‎ 当x0＝1时，不合题意，所以x0≠1.‎ 圆心为M，MA的斜率k′＝.‎ 由l⊥MA知k·k′＝－1，‎ 即2(x0＋1)·＝－1，‎ 解得x0＝0，故A(0,1)，‎ r＝|MA|＝＝，‎ 即r＝.‎ ‎(2)设(t，(t＋1)2)为C上一点，则在该点处的切线方程为 y－(t＋1)2＝2(t＋1)(x－t)．‎ 即y＝2(t＋1)x－t2＋1.‎ 若该直线与圆M相切，则圆心M到该切线的距离为，即＝，‎ ‎14．（2012·湖南卷）在直角坐标系xOy中，曲线C1上的点均在圆C2：(x－5)2＋y2＝9外，且对C1上任意一点M，M到直线x＝－2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值．‎ ‎(1)求曲线C1的方程；‎ ‎(2)设P(x0，y0)(y0≠±3)为圆C2外一点，过P作圆C2的两条切线，分别与曲线C1相交于点A，B和C，D.证明：当P在直线x＝－4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值．‎ ‎【答案】解：(1)解法1：设M的坐标为(x，y)，由已知得|x＋2|＝－3.‎ 易知圆C2上的点位于直线x＝－2的右侧，于是x＋2＞0，所以＝x＋5.‎ 化简得曲线C1的方程为y2＝20x.‎ 解法2：由题设知，曲线C1上任意一点M到圆心C2(5,0)的距离等于它到直线x＝－5的 设四点A，B，C，D的纵坐标分别为y1，y2，y3，y4，则y1，y2是方程③的两个实根，所以 所以，当P在直线x＝－4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值6400.‎ ‎15．（2012·北京卷）在直角坐标系xOy中，直线l过抛物线y2＝4x的焦点F，且与该抛物线相交于A，B两点，其中点A在x轴上方，若直线l的倾斜角为60°，则△OAF的面积为________．‎ ‎【答案】　【解析】本题考查抛物线方程、抛物线简单几何性质以及直线和抛物线的位置关系以及三角形面积公式，考查数形结合及转化化归思想．‎ 抛物线y2＝4x的焦点F(1,0)，直线l的斜率为tan600＝，所以直线l的方程为y＝x－，将直线l的方程和抛物线方程联立可得3x2－10x＋3＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由点A在x轴上方，所以A点在第一象限，则x1＝3，y1＝2.‎ 法一：|AF|＝x1＋1＝4，O点到直线AB的距离为d＝，所以SΔFOA＝×4×＝.‎ 法二： A(3,2)，所以SΔFOA＝×1×2＝.‎ ‎16．（2012·课标全国卷）设抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点．‎ ‎(1)若∠BFD＝90°，△ABD的面积为4，求p的值及圆F的方程；‎ ‎(2)若A、B、F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．‎ ‎【答案】解：(1)由已知可得△BFD为等腰直角三角形，|BD|＝2p，圆F的半径|FA|＝p.‎ 由抛物线定义可知A到l的距离d＝|FA|＝p.‎ 由于n与C只有一个公共点，故Δ＝p2＋8pb＝0.解得b＝－.‎ 因为m的截距b1＝，＝3，‎ 所以坐标原点到m，n距离的比值为3.‎ 当m的斜率为－时，由图形对称性可知，坐标原点到m，n距离的比值为3.‎ ‎17．（2012·重庆卷）过抛物线y2＝2x的焦点F作直线交抛物线于A、B两点，若|AB|＝，|AF|＜|BF|，则|AF|＝________.‎ ‎【答案】　【解析】由抛物线方程可知p＝1，焦点F的坐标为，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋1＝，所以x1＋x2＝.设直线AB的方程为y＝k ‎，代入抛物线y2＝2x，得k2＝2x，即k2x2－(k2＋2)x＋＝0，x1＋x2＝＝，所以k2＝24，将k2＝24代入k2x2－(k2＋2)x＋＝0，因为|AF|＜|BF|，所以解方程得x1＝，所以|AF|＝x1＋＝.‎ ‎18．（2012·重庆卷）如图1－3，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，线段OF1，OF2的中点分别为B1，B2，且△AB1B2是面积为4的直角三角形．‎ 图1－3‎ ‎(1)求该椭圆的离心率和标准方程；‎ ‎(2)过B1作直线l交椭圆于P，Q两点，使PB2⊥QB2，求直线l的方程．‎ ‎【答案】解：(1)设所求椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，右焦点为F2(c,0)．‎ 因△AB1B2是直角三角形，又|AB1|＝|AB2|，故∠B1AB2为直角，因此|OA|＝|OB2|，得b＝.结合c2＝a2－b2得4b2＝a2－b2，故a2＝5b2，c2＝4b2，所以离心率e＝＝.‎ ‎ ‎ ‎(2)由(1)知B1(－2,0)，B2(2,0)．由题意知直线l的倾斜角不为0，故可设直线l的方程为：x＝my－2.代入椭圆方程得(m2＋5)y2－4my－16＝0.‎ 设P(x1，y1)、Q(x2，y2)，则y1，y2是上面方程的两根，因此 y1＋y2＝，y1·y2＝－，‎ 又＝(x1－2，y1)，＝(x2－2，y2)，所以 ·＝(x1－2)(x2－2)＋y1y2‎ ‎＝(my1－4)(my2－4)＋y1y2‎ ‎＝(m2＋1)y1y2－‎4m(y1＋y2)＋16‎ ‎＝－－＋16‎ ‎＝－，‎ 由PB2⊥QB2，得·＝0，即‎16m2‎－64＝0，解得m＝±2.‎ 所以满足条件的直线有两条，其方程分别为x＋2y＋2＝0和x－2y＋2＝0.‎ ‎19．（2012·天津卷）设椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A，B，点P在椭圆上且异于A，B两点，O为坐标原点．‎ ‎(1)若直线AP与BP的斜率之积为－，求椭圆的离心率；‎ ‎(2)若|AP|＝|OA|，证明直线OP的斜率k满足|k|＞.‎ 于是e2＝＝，所以椭圆的离心率e＝.‎ ‎(2)证明：(方法一)‎ 依题意，直线OP的方程为y＝kx，‎ 设点P的坐标为(x0，y0)．‎ 由条件得消去y0并整理得 x＝.②‎ 由|AP|＝|OA|，A(－a,0)及y0＝kx0，得(x0＋a)2＋k2x＝a2.整理得(1＋k2)x＋2ax0＝0.而x0≠0，于是x0＝，代入②，整理得(1＋k2)2＝4k22＋4.由a＞b＞0，故(1＋k2)2＞4k2＋4，即k2＋1＞4，因此k2＞3，所以|k|>.‎ ‎(方法二)依题意，直线OP的方程为y＝kx，可设点P的坐标为(x0，kx0)．由点P在椭圆上，有＋＝1.因为a＞b＞0，kx0≠0，所以＋＜1，‎ 即(1＋k2)x＜a2.③‎ 由|AP|＝|OA|，A(－a,0)，得(x0＋a)2＋k2x＝a2，整理得(1＋k2)x＋2ax0＝0，于是x0＝，代入③，得(1＋k2)＜a2，解得k2＞3，所以|k|＞.‎ ‎20．（2012·山东卷）在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点，M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点，过M，F，O三点的圆的圆心为Q，点Q到抛物C的准线的距离为.‎ ‎(1)求抛物线C的方程；‎ ‎(2)是否存在点M，使得直线MQ与抛物线C相切于点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由；‎ ‎(3)若点M的横坐标为，直线l2：y＝kx＋与抛物线C有两个不同的交点A，B，l与圆Q有两个不同的交点D，E，求当≤k≤2时，|AB|2＋|DE|2的最小值．‎ ‎【答案】解：(1)依题意知F，圆心Q在线段OF的垂直平分线y＝上，‎ 因为抛物线C的准线方程为y＝－，‎ 所以＝，即p＝1，‎ 因此抛物线C的方程为x2＝2y.‎ ‎(2)假设存在点M(x0>0)满足条件，抛物线C在点M处的切线斜率为 y′x＝x0＝x＝x0＝x0.‎ 所以直线MQ的方程为y－＝x0(x－x0)，‎ 令y＝得xQ＝＋，‎ 所以Q.‎ 又|QM|＝|OQ|，‎ 由整理得2x2－4kx－1＝0.‎ ＋.‎ 因此|AB|2＋|DE|2＝(1＋k2)(4k2＋2)＋＋.‎ 令1＋k2＝t，由于≤k≤2，则≤t≤5，‎ 所以|AB|2＋|DE|2＝t(4t－2)＋＋＝4t2－2t＋＋，‎ 设g(t)＝4t2－2t＋＋，t∈，‎ 因为g′(t)＝8t－2－，‎ 所以当t∈时，g′(t)≥g′＝6，即函数g(t)在上是增函数，‎ 所以当t＝时g(t)取到最小值.因此，当k＝时，|AB|2＋|DE|2取到最小值.‎ ‎21．（2012·湖南卷）在直角坐标系xOy中，曲线C1上的点均在圆C2：(x－5)2＋y2＝9外，且对C1上任意一点M，M到直线x＝－2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值．‎ ‎(1)求曲线C1的方程；‎ ‎(2)设P(x0，y0)(y0≠±3)为圆C2外一点，过P作圆C2的两条切线，分别与曲线C1相交于点A，B和C，D.证明：当P在直线x＝－4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值．‎ ‎【答案】解：(1)解法1：设M的坐标为(x，y)，由已知得|x＋2|＝－3.‎ 易知圆C2上的点位于直线x＝－2的右侧，于是x＋2＞0，所以＝x＋5.‎ 化简得曲线C1的方程为y2＝20x.‎ 解法2：由题设知，曲线C1上任意一点M到圆心C2(5,0)的距离等于它到直线x＝－5的距离．因此，曲线C1是以(5,0)为焦点，直线x＝－5为准线的抛物线．故其方程为y2＝20x.‎ ‎(2)证明：当点P在直线x＝－4上运动时，P的坐标为(－4，y0)，又y0≠±3，则过P且与圆C2相切的直线的斜率k存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为y－y0＝k(x＋4)，即kx－y＋y0＋4k＝0.于是＝3.‎ 整理得72k2＋18y0k＋y－9＝0.　　①‎ 设过P所作的两条切线PA，PC的斜率分别为k1，k2，则k1，k2是方程①的两个实根．故 k1＋k2＝－＝－.　　②‎ 由得 k1y2－20y＋20(y0＋4k1)＝0.　　③‎ 设四点A，B，C，D的纵坐标分别为y1，y2，y3，y4，则y1，y2是方程③的两个实根，所以 所以，当P在直线x＝－4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值6400.‎ ‎22．(2012·湖北卷)设A是单位圆x2＋y2＝1上的任意一点，l是过点A与x轴垂直的直线，D是直线l与x轴的交点，点M在直线l上，且满足|DM|＝m|DA|(m>0，且m≠1)．当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C.‎ ‎(1)求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标；‎ ‎(2)过原点且斜率为k的直线交曲线C于P，Q两点，其中P在第一象限，它在y轴上的射影为点N，直线QN交曲线C于另一点H.是否存在m，使得对任意的k>0，都有PQ⊥PH？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】解：(1)如图(1)，设M(x，y)，A(x0，y0)，则由|DM|＝m|DA|(m＞0，且m≠1)，‎ 可得x＝x0，|y|＝m|y0|，所以x0＝x，|y0|＝|y|.①‎ 因为点A在单位圆上运动，所以x＋y＝1.②‎ 将①式代入②式即得所求曲线C的方程为x2＋＝1(m＞0，且m≠1)．‎ 因为m∈(0,1)∪(1，＋∞)，所以 当0＜m＜1时，曲线C是焦点在x轴上的椭圆，‎ 两焦点坐标分别为(－，0)，(，0)；‎ 当m＞1时，曲线C是焦点在y轴上的椭圆，‎ 两焦点坐标分别为(0，－)，(0，)．‎ ‎(2)方法1：如图(2)、(3)，对任意的k＞0，设P(x1，kx1)，H(x2，y2)，则Q(－x1，－kx1)，N(0，kx1)，直线QN的方程为y＝2kx＋kx1，将其代入椭圆C的方程并整理可得(m2＋4k2)x2＋4k2x1x＋k2x－m2＝0.‎ 依题意可知此方程的两根为－x1，x2，于是由韦达定理可得 故存在m＝，使得在其对应的椭圆x2＋＝1上，对任意的k＞0，都有PQ⊥PH.‎ 方法2：如图(2)、(3)，对任意x1∈(0,1)，设P(x1，y1)，H(x2，y2)，则Q(－x1，－y1)，N(0，y1)．‎ 因为P，H两点在椭圆C上，所以 两式相减可得 m2(x－x)＋(y－y)＝0.③‎ 依题意，由点P在第一象限可知，点H也在第一象限，且P，H不重合，‎ 故(x1－x2)(x1＋x2)≠0.于是由③式可得 ＝－m2.④‎ 又Q，N，H三点共线，所以kQN＝kQH，即＝.‎ 于是由④式可得kPQ·kPH＝·＝·＝－.‎ 而PQ⊥PH等价于kPQ·kPH＝－1，即－＝－1，又m＞0，得m＝，‎ 故存在m＝，使得在其对应的椭圆x2＋＝1上，对任意的k＞0，都有PQ⊥PH.‎ ‎23．（2012·湖北卷）如图1－5所示，双曲线－＝1(a，b>0)的两顶点为A1，A2，虚轴两端点为B1，B2，两焦点为F1，F2.若以A‎1A2为直径的圆内切于菱形F1B‎1F2B2，切点分别为A ‎，B，C，D.则 ‎(1)双曲线的离心率e＝________；‎ ‎(2)菱形F1B‎1F2B2的面积S1与矩形ABCD的面积S2的比值＝________.‎ ‎【答案】 (1)　(2)　【解析】(1)由图可知，点O到直线F1B2的距离d与圆O的半径OA1相等，‎ 又直线F1B2的方程为＋＝1，即bx－cy＋bc＝0.‎ 所以d＝＝a，整理得b2(c2－a2)＝a‎2c2，即(c2－a2)2＝a‎2c2，得c2－a2＝ac.‎ ‎24．（2012·广东卷）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，且椭圆C上的点到点Q(0,2)的距离的最大值为3.‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)在椭圆C上，是否存在点M(m，n)，使得直线l：mx＋ny＝1与圆O：x2＋y2＝1相交于不同的两点A、B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的△OAB的面积；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】解：(1)∵e＝＝＝，‎ ‎∴a2＝3b2，即椭圆C的方程可写为＋＝1.‎ 设P(x，y)为椭圆C上任意给定的一点，‎ ‎|PQ|2＝x2＋(y－2)2＝－2(y＋1)2＋6＋3b2‎ ‎≤6＋3b2，y∈[－b，b]．‎ 由题设存在点P1满足|P1Q|＝3，‎ 则9＝|P1Q|2≤6＋3b2，∴b≥1.‎ 当b≥1时，由于y＝－1∈[－b，b]，此时|PQ|2取得最大值6＋3b2.‎ ‎∴6＋3b2＝9⇒b2＝1，a2＝3.‎ 故所求椭圆C的方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)存在点M满足要求，使△OAB的面积最大．‎ 假设直线l：mx＋ny＝1与圆O：x2＋y2＝1相交于不同的两点A、B，则圆心O到l的距离 上式等号成立当且仅当1＝m2⇒m2＝∈(0,3]，‎ 因此当m＝±，n＝±时等号成立．‎ 所以满足要求的点恰有四个，其坐标分别为，，和，此时对应的诸三角形的面积均达到最大值.‎ ‎25．（2012·北京卷）已知曲线C：(5－m)x2＋(m－2)y2＝8(m∈R)．‎ ‎(1)若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，求m的取值范围；‎ ‎(2)设m＝4，曲线C与y轴的交点为A，B(点A位于点B的上方)，直线y＝kx＋4‎ 与曲线C交于不同的两点M，N，直线y＝1与直线BM交于点G.求证：A，G，N三点共线．‎ ‎【答案】解：(1)曲线C是焦点在x轴上的椭圆，当且仅当 ‎＝＋ ‎＝k＋ ‎＝k＋＝0，‎ 即kAN＝kAG.故A，G，N三点共线．‎ ‎26．（2012·安徽卷）如图1－5，点F1(－c,0)，F2(c,0)分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1作x轴的垂线交椭圆C的上半部分于点P，过点F2作直线PF2‎ 的垂线交直线x＝于点Q.‎ ‎(1)如果点Q的坐标是(4,4)，求此时椭圆C的方程；‎ ‎(2)证明：直线PQ与椭圆C只有一个交点．‎ ‎【答案】解：(1)(方法一)由条件知，P，‎ 故直线PF2的斜率为kPF2＝＝－.‎ 即y＝x＋a.‎ 将上式代入椭圆方程得，x2＋2cx＋c2＝0.‎ 解得x＝－c，y＝，‎ 所以直线PQ与椭圆C只有一个交点．‎ ‎27．（2012·北京卷）在直角坐标系xOy中，直线l过抛物线y2＝4x的焦点F，且与该抛物线相交于A，B两点，其中点A在x轴上方，若直线l的倾斜角为60°，则△OAF的面积为________．‎ ‎【答案】　【解析】本题考查抛物线方程、抛物线简单几何性质以及直线和抛物线的位置关系以及三角形面积公式，考查数形结合及转化化归思想．‎ ‎28．（2012·福建卷）如图1－4，椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e＝，过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8.‎ ‎(1)求椭圆E的方程；‎ ‎(2)设动直线l：y＝kx＋m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x＝4相交于点Q.试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．‎ 图1－4‎ ‎【答案】解：解法一：‎ ‎(1)因为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝8，‎ 即|AF1|＋|F1B|＋|AF2|＋|BF2|＝8，‎ 又|AF1|＋|AF2|＝|BF1|＋|BF2|＝‎2a，‎ 所以‎4a＝8，a＝2.‎ 又因为e＝，即＝，所以c＝1，‎ 所以b＝＝.‎ 故椭圆E的方程是＋＝1.‎ ‎(2)由得(4k2＋3)x2＋8kmx＋‎4m2‎－12＝0.‎ 因为动直线l与椭圆E有且只有一个公共点P(x0，y0)，所以m≠0且Δ＝0，‎ 即64k‎2m2‎－4(4k2＋3)(‎4m2‎－12)＝0，化简得4k2－m2＋3＝0.(*)‎ 此时x0＝－＝－，y0＝kx0＋m＝，所以P.‎ 由得Q(4,4k＋m)．‎ 解法二：(1)同解法一．‎ ‎(2)由得(4k2＋3)x2＋8kmx＋‎4m2‎－12＝0.‎ 因为动直线l与椭圆E有且只有一个公共点P(x0，y0)，所以m≠0且Δ＝0，‎ 即64k‎2m2‎－4(4k2＋3)(‎4m2‎－12)＝0，化简得4k2－m2＋3＝0.(*)‎ 此时x0＝－＝－，y0＝kx0＋m＝，所以P.‎ 由得Q(4,4k＋m)．‎ 假设平面内存在定点M满足条件，由图形对称性知，点M必在x轴上．‎ 取k＝0，m＝，此时P(0，)，Q(4，)，以PQ为直径的圆为(x－2)2＋(y－)2＝4，交x轴于点M1(1,0)，M2(3,0)；取k＝－，m＝2，此时P，Q(4,0)，以PQ为直径的圆为2＋2＝，交x轴于点M3(1,0)，M4(4,0)．所以若符合条件的点M存在，则M的坐标必为(1,0)．‎ 以下证明M(1,0)就是满足条件的点：‎ 因为M的坐标为(1,0)，所以＝，＝(3,4k＋m)，‎ 从而·＝－－3＋＋3＝0，‎ 故恒有⊥，即存在定点M(1,0)，使得以PQ为直径的圆恒过点M.‎ ‎29．（2012·课标全国卷）设抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点．‎ ‎(1)若∠BFD＝90°，△ABD的面积为4，求p的值及圆F的方程；‎ ‎(2)若A、B、F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C 只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．‎ ‎【答案】解：(1)由已知可得△BFD为等腰直角三角形，|BD|＝2p，圆F的半径|FA|＝p.‎ 所以∠ABD＝30°，m的斜率为或－.‎ 当m的斜率为时，由已知可设n：y＝x＋b，代入x2＝2py得x2－px－2pb＝0.‎ 由于n与C只有一个公共点，故Δ＝p2＋8pb＝0.解得b＝－.‎ 因为m的截距b1＝，＝3，‎ 所以坐标原点到m，n距离的比值为3.‎ 当m的斜率为－时，由图形对称性可知，坐标原点到m，n距离的比值为3.‎ ‎30．（2012·课标全国卷）设点P在曲线y＝ex上，点Q在曲线y＝ln(2x)上，则|PQ|的最小值为(　　)‎ A．1－ln2 B.(1－ln2)‎ C．1＋ln2 D.(1＋ln2)‎ ‎【答案】B　【解析】因为y＝ex和y＝ln(2x)互为反函数，关于直线y＝x对称，所以当曲线y＝ex和y＝ln(2x)的切线的斜率都为1时，两条切线间的距离即为|PQ|的最小值．令y′＝ex＝1，得x＝ln2.所以y＝ex的斜率为1的切线的切点是(ln2,1)，所以切点(ln2,1)到直线y＝x的距离为d＝＝.所以|PQ|min＝2d＝2＝(1－ln2)．故选B.‎ ‎31．（2012·辽宁卷）如图1－7，椭圆C0：＋＝1(a＞b＞0，a，b为常数)，动圆C1：x2‎ ‎＋y2＝t，b＜t1＜a.点A1，A2分别为C0的左，右顶点．C1与C0相交于A，B，C，D四点．‎ ‎ ‎ ‎(1)求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程；‎ ‎(2)设动圆C2：x2＋y2＝t与C0相交于A′，B′，C′，D′四点，其中b＜t2＜a，t1≠t2.若矩形ABCD与矩形A′B′C′D′的面积相等．证明：t＋t为定值．‎ ‎【答案】解：(1)设A(x1，y1)，B(x1，－y1)，又知A1(－a,0)，A2(a,0)，则 直线A‎1A的方程为y＝(x＋a)，①‎ 直线A2B的方程为y＝(x－a)，②‎ 由①②得y2＝(x2－a2)．③‎ 由点A(x1，y1)在椭圆C0上，故＋＝1.‎ 从而y＝b2，代入③得 －＝1(x＜－a，y＜0). ‎ ‎(2)证明：‎ 设A′(x2，y2)，由矩形ABCD与矩形A′B′C′D′的面积相等，得 ‎4|x1||y1|＝4|x2||y2|，‎ 故xy＝xy.‎ 因为点A，A′均在椭圆上，所以 b2x＝b2x，‎ 由t1≠t2，知x1≠x2，所以x＋x＝a2.‎ 从而y＋y＝b2，‎ 因此t＋t＝a2＋b2为定值．‎ ‎32．（2012·浙江卷）如图1－6，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，其左焦点到点P(2,1)的距离为.不过原点O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分．‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)求△ABP面积取最大值时直线l的方程．‎ 当直线AB与x轴垂直时，直线AB的方程为x＝0，与不过原点的条件不符，舍去．故可设直线AB的方程为 y＝kx＋m(m≠0)，‎ 由消去y，整理得 ‎(3＋4k2)x2＋8kmx＋‎4m2‎－12＝0，①‎ 则 Δ＝64k‎2m2‎－4(3＋4k2)(‎4m2‎－12)＞0，‎ 所以 ‎|AB|＝·|x1－x2|＝·.‎ 设点P到直线AB的距离为d，则 d＝＝.‎ 设△ABP的面积为S，则 S＝|AB|·d＝·.‎ 其中m∈(－2，0)∪(0,2)．‎ 令u(m)＝(12－m2)(m－4)2，m∈[－2，2]．‎ u′(m)＝－4(m－4)(m2－‎2m－6)＝－4(m－4)(m－1－)(m－1＋)．‎ 所以当且仅当m＝1－，u(m)取到最大值．‎ 故当且仅当m＝1－，S取到最大值．‎ 综上，所求直线l方程为3x＋2y＋2－2＝0.‎ ‎33．（2012·江西卷）已知三点O(0,0)，A(－2,1)，B(2，1)，曲线C上任意一点M(x，y)满足|＋|＝·(＋)＋2.‎ ‎(1)求曲线C的方程；‎ ‎(2)动点Q(x0，y0)(－2，所以l与直线PA，PB一定相交．‎ 分别联立方程组解得D，E的横坐标分别是 xD＝，xE＝，‎ 则xE－xD＝(1－t).‎ 又|FP|＝－－t，有S△PDE＝·|FP|·|xE－xD|＝·.‎ 又S△QAB＝·4·＝，‎ 于是＝· ‎＝·.‎ 对任意x0∈(－2,2)，要使为常数，则t要满足 解得t＝－1，此时＝2，‎ 故存在t＝－1，使△QAB与△PDE的面积之比是常数2.‎ ‎34．（2012·江苏卷）如图1－6，在平面直角坐标系xOy中，椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)．已知点(1，e)和都在椭圆上，其中e 为椭圆的离心率．‎ ‎(1)求椭圆的方程；‎ ‎(2)设A，B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线AF1与直线BF2平行，AF2和BF1交于点P.‎ ‎(i)若AF1－BF2＝，求直线AF1的斜率；‎ ‎(ii)求证：PF1＋PF2是定值．‎ ‎【答案】解：(1)由题设知a2＝b2＋c2，e＝.由点(1，e)在椭圆上，‎ 得＋＝1，解得b2＝1，于是c2＝a2－1.‎ 又点在椭圆上，所以＋＝1，即＋＝1，解得a2＝2.‎ 因此，所求椭圆的方程是＋y2＝1.‎ ‎(2)由(1)知F1(－1,0)，F2(1,0)，又直线AF1与BF2平行，所以可设直线AF1的方程为x＋1＝my，直线BF2的方程为x－1＝my.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，y1>0，y2>0.‎ 由得(m2＋2)y－2my1－1＝0，解得y1＝，‎ 故AF1＝＝＝.　①‎ 同理，BF2＝.　②‎ ‎(i)由①②得AF1－BF2＝，‎ ‎35．（2012·福建卷）已知双曲线－＝1的右焦点与抛物线y2＝12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于(　　)‎ A. B．‎4 C．3 D．5‎ ‎【答案】A　【解析】由抛物线方程知抛物线的焦点坐标F(3,0)，所以双曲线方程中半焦距c＝3.因为双曲线的焦点为F(c,0)，双曲线的渐近线方程为：y＝±x，焦点到渐近线的距离d＝＝b，所以双曲线的焦点到渐近线的距离为b.因为双曲线方程中a＝2，c＝3，所以b＝＝＝.‎ ‎36．（2012·四川卷）如图1－7所示，动点M与两定点A(－1,0)、B(2,0)构成△MAB，且∠MBA＝2∠MAB，设动点M的轨迹为C.‎ ‎(1)求轨迹C的方程；‎ ‎(2)设直线y＝－2x＋m与y轴相交于点P，与轨迹C相交于点Q、R，且|PQ|＜|PR|，求的取值范围．‎ 图1－7‎ 所以 解得，m>1，且m≠2.‎ 设Q、R的坐标分别为(xQ，yQ)，(xR，yR)，由|PQ|<|PR|有xR＝‎2m＋，xQ＝‎2m－.‎ 所以＝＝＝＝－1＋.‎ 由m>1，且m≠2，有 ‎1<－1＋<7＋4，且－1＋≠7.‎ 所以的取值范围是(1,7)∪(7,7＋4)．‎ ‎37．（2012·湖南卷）在直角坐标系xOy中，曲线C1上的点均在圆C2：(x－5)2＋y2＝9外，且对C1上任意一点M，M到直线x＝－2的距离等于该点与圆C2‎ 上点的距离的最小值．‎ ‎(1)求曲线C1的方程；‎ ‎(2)设P(x0，y0)(y0≠±3)为圆C2外一点，过P作圆C2的两条切线，分别与曲线C1相交于点A，B和C，D.证明：当P在直线x＝－4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值．‎ ‎【答案】解：(1)解法1：设M的坐标为(x，y)，由已知得|x＋2|＝－3.‎ 易知圆C2上的点位于直线x＝－2的右侧，于是x＋2＞0，所以＝x＋5.‎ 化简得曲线C1的方程为y2＝20x.‎ 解法2：由题设知，曲线C1上任意一点M到圆心C2(5,0)的距离等于它到直线x＝－5的所以 y1y2＝.　　④‎ 同理可得 y3y4＝.　　⑤‎ 于是由②，④，⑤三式得 y1y2y3y4＝ ‎＝ ‎＝＝6400.‎ 所以，当P在直线x＝－4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值6400.‎ ‎【2011高考真题】‎ ‎(2011年高考全国新课标卷理科7)设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于 A,B两点，为C的实轴长的2倍，则C的离心率为 ‎（A） （B） （C）2 （D）3‎ 答案：B ‎ (2011年高考浙江卷理科8)已知椭圆与双曲线有公共的焦点，的一条渐近线与以的长轴为直径的圆相交于两点，若恰好将线段三等分，则 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】 C ‎【解析】由恰好将线段AB三等分得，由 ‎ ‎ 又 ‎ ‎，故选C ‎ (2011年高考安徽卷理科2)双曲线的实轴长是 ‎（A）2 (B) (C) 4 (D) 4‎ ‎【答案】A ‎【解析】可变形为，则，，.故选C.‎ ‎ (2011年高考陕西卷理科2)设抛物线的顶点在原点，准线方程为，则抛物线的方程是 ‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎ ‎ ‎(2011年高考全国卷理科10)已知抛物线C：的焦点为F，直线与C交于A，B两点．则=‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎【答案】D ‎【解析】，准线方程为，由 则，由抛物线的定义得 由余弦定理得 故选D ‎ (2011年高考江西卷理科14)若椭圆的焦点在轴上，过点（1，）作圆的切线，切点分别为A,B，直线恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是 ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为一条切线为x=1,且直线 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，所以椭圆的右焦点为(1,0),即,设点P（1，）,连结OP,则OP⊥AB,因为,所以,又因为直线AB过点(1,0),所以直线AB的方程为,因为点在直线AB上,所以,又因为,所以,故椭圆方程是.‎ ‎(2011年高考全国新课标卷理科14) 在平面直角坐标系中，椭圆的中心为原点，焦点在 轴上，离心率为。过的直线 交于两点，且的周长为16，那么的方程为 。‎ 答案:‎ 解析：由椭圆的的定义知，，又因为离心率，因此，所求椭圆方程为：；‎ ‎ (2011年高考重庆卷理科15)设圆位于抛物线与直线所组成的封闭区，令，并由，得：‎ ‎ (2011年高考四川卷理科14)双曲线 P到左准线的距离是 . ‎ 答案：16‎ 解析：由双曲线第一定义，|PF1|-|PF2|=±16，因|PF2|=4，故|PF1|=20，（|PF1|=-12舍去），设P到左准线的距离是d，由第二定义，得，解得.‎ ‎(2011年高考全国卷理科15)已知F1、F2分别为双曲线C: - =1的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为(2，0)，AM为∠F1AF2∠的平分线．则|AF2| = .‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】，由角平分线的性质得 又 ‎ ‎ (2011年高考安徽卷理科21)（本小题满分13分）‎ 设，点的坐标为（1,1），点在抛物线上运动，点满足，经过点与轴垂直的直线交抛物线于点，点满足,求点的轨迹方程 [‎ ‎【解析】由知Q,M,P三点在同一条垂直于x轴的直线上，故可设，，，则，即 ‎ ①‎ 再设,由，即，解得 ‎ ②‎ 将①代入②式，消去得 ‎ ③‎ 又点B在抛物线上，所以，再将③式代入得 ‎ ，即 ‎，即 ‎，因为，等式两边同时约去得 ‎ 这就是所求的点的轨迹方程。‎ ‎ (2011年高考浙江卷理科21)（本题满分15分）已知抛物线:，圆:的圆心为点M ‎（Ⅰ）求点M到抛物线的准线的距离；‎ ‎（Ⅱ）已知点P是抛物线上一点（异于原点），过点P作圆的两条切线，交抛物线于A，B两点，若过M，P两点的直线垂直于AB，求直线的方程 ‎【解析】（Ⅰ）由得准线方程为，由得M，点M到抛物线的准线的距离为 ‎（Ⅱ）设点 ，， 由题意得设过点的圆的切线方程为即① 则 即设，的斜率为（）则是上述方 程的两个不相等的根，将代入①‎ 得 直线的方程为.‎ ‎ (2011年高考广东卷理科19)设圆C与两圆中的一个内切，另一个外切.‎ ‎（1）求C的圆心轨迹L的方程.‎ ‎（2）已知点且P为L上动点，求的最大值及此时点P的坐标.‎ ‎【解析】（1）解：设C的圆心的坐标为，由题设条件知 ‎ ‎ ‎ 化简得L的方程为 ‎ （2）解：过M，F的直线方程为，将其代入L的方程得 ‎ ‎ ‎ 解得 ‎ 因T1在线段MF外，T2在线段MF内，故 ‎ ，若P不在直线MF上，在中有 ‎ ‎ ‎ 故只在T1点取得最大值2。‎ ‎ (2011年高考陕西卷理科17)（本小题满分12分）‎ 如图，设是圆珠笔上的动点，点D是在轴上的投影，M为D上一点，且 ‎（Ⅰ）当的在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；‎ ‎（Ⅱ）求过点（3，0）且斜率为的直线被C所截线段的长度。‎ 即。‎ 线段AB的长度为 注：求AB长度时，利用韦达定理或弦长公式求得正确结果，同样给分。‎ ‎ (2011年高考重庆卷理科20)（本小题满分12分，第一问4分，第二问8分）‎ 如图（20），椭圆的中心为原点O，离心率，一条准线的方程为。‎ ‎（Ⅰ）求该椭圆的标准方程。‎ ‎（Ⅱ）设动点P满足,其中M,N是椭圆上的点。直线OM与ON的斜率之积为。问：是否存在两个定点，使得为定值。若存在，求的坐标；若不存在，说明理由。‎ 解析：（Ⅰ）由，解得，‎ 故椭圆的标准方程为 ‎ （Ⅱ）设，,则由得 ‎，即，‎ 因为点M,N在椭圆上，所以 故 ‎ ‎ ‎ ，‎ 设分别为直线OM，ON的斜率，由题意知，‎ ‎，因此，‎ 所以，‎ 所以P点是椭圆上的点，设该椭圆的左右焦点为，则由椭圆的定义，为定值，又因，因此两焦点的坐标分别为 ‎ (2011年高考四川卷理科21) (本小题共l2分)‎ ‎ 椭圆有两顶点A(-1，0)、B(1，0)，过其焦点F(0，1)的直线l与椭圆交于C、D两点，并与x轴交于点P．直线AC与直线BD交于点Q．‎ ‎ (I)当|CD | = 时，求直线l的方程；‎ ‎ (II)当点P异于A、B两点时，求证：为定值.‎ ‎ ‎ ‎ (2011年高考全国卷理科21)已知O为坐标原点，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为的直线与C交与A、B两点，点P满足 ‎(Ⅰ)证明：点P在C上；（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，‎ 证明：A、P、B、Q四点在同一圆上.‎ ‎【解析】： (Ⅰ)证明：由，，‎ 由 设 ‎，，‎ ‎，‎ ‎，故点P在C上 ‎（Ⅱ）法一：点P，P关于点O的对称点为Q，，‎ ‎，即，同理即， A、P、B、Q四点在同一圆上.‎ 法二：由已知有则的中垂线为：设、的中点为 ‎∴‎ ‎∴则的中垂线为：‎ 则的中垂线与的中垂线的交点为∴‎ 到直线的距离为 ‎∴即 ‎∴、、、四点在同一圆上。‎ ‎ (2011年高考北京卷理科19)（本小题共14分）‎ ‎ 已知椭圆.过点（m,0）作圆的切线I 交椭圆G于A，B两点.‎ ‎ （I）求椭圆G的焦点坐标和离心率；‎ ‎ （II）将表示为m的函数，并求的最大值.‎ 此时 当m=－1时，同理可得 当时，设切线l的方程为 由 设A、B两点的坐标分别为，则 又由l与圆 所以 由于当时，‎ 所以.‎ 因为 且当时，|AB|=2，所以|AB|的最大值为2.‎ ‎【2010年高考真题】‎ ‎（2010浙江理数）（8）设、分别为双曲线的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ 解析：利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出a与b之间的等量关系。‎ 答案：C ‎（2010全国卷2理数）（12）已知椭圆的离心率为，过右焦点且斜率为的直线与相交于两点．若，则 ‎（A）1 （B） （C） （D）2‎ ‎【答案】B ‎【解析】设直线l为椭圆的有准线，e为离心率，过A，B分别作AA1，BB1垂直于l，A1，B为垂足，过B作BE垂直于AA1与E，由第二定义得，，由，得，∴‎ 即k=，故选B.‎ ‎（2010辽宁理数） (9)设双曲线的—个焦点为F；虚轴的—个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐 近线垂直，那么此双曲线的离心率为 ‎ (A) (B) (C) (D) ‎ ‎【答案】D ‎（2010辽宁理数）(7)设抛物线y2=8x的焦点为F，准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥l,A为垂足．如果直线AF的斜率为,那么|PF|=‎ ‎ (A) (B)8 (C) (D) 16‎ ‎【答案】B ‎【解析】抛物线的焦点F（2，0），直线AF的方程为，所以点、，从而|PF|=6+2=8‎ ‎（2010重庆理数）（10）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是 A. 直线 B. 椭圆 C. 抛物线 D. 双曲线 解析：排除法 轨迹是轴对称图形，排除A、C，轨迹与已知直线不能有交点，排除B 答案：D ‎（2010四川理数）（9）椭圆的右焦点，其右准线与 轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点，则椭圆离心率的取值范围是 ‎（A） （B） （C） （D）‎ 解析：由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点，‎ 即F点到P点与A点的距离相等 答案：D ‎（2010天津理数）(5)已知双曲线的一条渐近线方程是y=,它的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为 ‎（A） （B） ‎ ‎（C） （D）‎ ‎【答案】B ‎【解析】本题主要考查双曲线与抛物线的几何性质与标准方程，属于容易题。‎ 依题意知，所以双曲线的方程为 ‎（2010山东理数）(7)由曲线y=,y=围成的封闭图形面积为 ‎（A） (B) (C) (D) ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意得:所求封闭图形的面积为,故选A。‎ ‎（2010安徽理数）5、双曲线方程为，则它的右焦点坐标为 A、 B、 C、 D、‎ ‎【答案】C ‎【解析】双曲线的，，，所以右焦点为.‎ ‎（2010湖北理数）9.若直线y=x+b与曲线有公共点，则b的取值范围是 ‎【答案】C ‎【解析】曲线方程可化简为，即表示圆心为（2，3）半径为2的半圆，依 据数形结合，当直线与此半圆相切时须满足圆心（2，3）到直线y=x+b距离等于2，解得 ‎，因为是下半圆故可得 ‎（舍），当直线过（0，3）时，解得b=3,故 所以C正确.‎ ‎（2010福建理数）7．若点O和点分别是双曲线的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,则的取值范围为 ( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为是已知双曲线的左焦点，所以，即，所以双曲 ‎（2010福建理数）2．以抛物线的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为已知抛物线的焦点坐标为（1，0），即所求圆的圆心，又圆过原点，所以圆的半径为，故所求圆的方程为，即，选D。‎ ‎（2010浙江理数）（13）设抛物线的焦点为，点 ‎.若线段的中点在抛物线上，则到该抛物线准线的距离为_____________。‎ 解析：利用抛物线的定义结合题设条件可得出p的值为，B点坐标为（‎ ‎）所以点B到抛物线准线的距离为，本题主要考察抛物线的定义及几何性质，属容易题 ‎（2010全国卷2理数）（15）已知抛物线的准线为，过且∴2.‎ ‎（2010江西理数）15.点在双曲线的右支上，若点A到右焦点的距离等于，则= ‎ ‎【答案】 2 ‎ ‎【解析】考查圆锥曲线的基本概念和第二定义的转化，读取a=2.c=6,,‎ ‎（2010重庆理数）(14)已知以F为焦点的抛物线上的两点A、B满足,则弦AB的中点到准线的距离为___________.‎ 解析：设BF=m,由抛物线的定义知 中，AC=‎2m,AB=‎4m,‎ ‎ 直线AB方程为 ‎ 与抛物线方程联立消y得 所以AB中点到准线距离为 ‎（2010江苏卷）6、在平面直角坐标系xOy中，双曲线上一点M，点M的横坐标是3，则M到双曲线右焦点的距离是___▲_______‎ 答案：4‎ 解析：考查双曲线的定义。，为点M到右准线的距离，=2，MF=4。‎ ‎（2010浙江理数）(21) （本题满分15分）已知m＞1，直线，椭圆，分别为椭圆的左、右焦点. ‎ ‎（Ⅰ）当直线过右焦点时，求直线的方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线与椭圆交于两点，，的重心分别为.若原点在以线段为直径的圆内，求实数的取值范围. ‎ 解析：本题主要考察椭圆的几何性质，直线与椭圆，点与圆的位置关系等基础知识，同时考察解析几何的基本思想方法和综合解题能力。‎ ‎ （Ⅰ）解：因为直线经过，所以 ‎,得，‎ ‎ 则由，知，‎ 且有。‎ 由于，‎ 故为的中点，‎ 由，‎ 可知 设是的中点，则，‎ 由题意可知 即 即 而 ‎ ‎ 设椭圆C：的左焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60o,.‎ ‎（1）求椭圆C的离心率；‎ ‎（2）如果|AB|=，求椭圆C的方程.‎ ‎【解析】解：‎ 设，由题意知＜0，＞0.‎ ‎（Ⅰ）直线l的方程为 ，其中.‎ 联立得 解得 因为，所以.‎ ‎（2010江西理数）21. （本小题满分高☆考♂资♀源*网12分）‎ 设椭圆，抛物线。‎ （1） 若经过的两个焦点，求的离心率；‎ （2） 设A（0，b），,又M、N为与不在y轴上的两个交点，若△AMN的垂心为，且△QMN的重心在上，求椭圆和抛物线的方程。‎ ‎【解析】考查椭圆和抛物线的定义、基本量，通过交点三角形来确认方程。‎ ‎（1）由已知椭圆焦点(c,0)在抛物线上，可得：，由 ‎。‎ ‎(2)由题设可知M、N关于y轴对称，设,由的垂心为B，有 ‎。‎ ‎ 由点在抛物线上，，解得：‎ 故，得重心坐标.‎ ‎ 由重心在抛物线上得：，，又因为M、N在椭圆上得：，椭圆方程为，抛物线方程为。‎ ‎（2010北京理数）（19）（本小题共14分）www.@ks@5u.com 在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（-1,1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于.‎ ‎(Ⅰ)求动点P的轨迹方程；‎ ‎(Ⅱ)设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N，问：是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。‎ ‎【解析】（I）解：因为点B与A关于原点对称，所以点得坐标为.‎ ‎ 设点的坐标为 ‎ 由题意得 ‎ 化简得 .‎ ‎ 故动点的轨迹方程为 ‎（II）解法一：设点的坐标为，点，得坐标分别为,.‎ ‎ 则直线的方程为，直线的方程为 令得，.‎ 于是得面积 ‎ ‎ 故存在点使得与的面积相等，此时点的坐标为.‎ 解法二：若存在点使得与的面积相等，设点的坐标为 ‎ 则.‎ ‎ 因为,‎ ‎ 所以 ‎ 所以 ‎ 即 ，解得 ‎ 因为，所以 ‎ 故存在点S使得与的面积相等，此时点的坐标为.‎ ‎（2010四川理数）（20）（本小题满分12分）‎ 已知定点A(－1，0)，F(2，0)，定直线l：x＝，不在x轴上的动点P与点F的距离是它到直线l的距离的2倍.设点P的轨迹为E，过点F的直线交E于B、C两点，直线AB、AC分别交l于点M、N ‎（Ⅰ）求E的方程；‎ ‎（Ⅱ）试判断以线段MN为直径的圆是否过点F，并说明理由. w_w w. k#s5_u.c o*‎ ‎【解析】解：(1)设P(x,y)，则 化简得x2－=1(y≠0)………………………………………………………………4分 ‎(2)①当直线BC与x轴不垂直时，设BC的方程为y＝k(x－2)(k≠0)‎ 与双曲线x2－=1联立消去y得 ‎(3－k)2x2＋4k2x－(4k2＋3)＝0‎ 由题意知3－k2≠0且△＞0‎ 设B(x1,y1),C(x2,y2)，‎ 则 y1y2＝k2(x1－2)(x2－2)＝k2[x1x2－2(x1＋x2)＋4]‎ ‎ ＝k2(＋4)‎ ‎ ＝w_w w. k#s5_u.c o*m 因为x1、x2≠－1‎ 所以直线AB的方程为y＝(x＋1)‎ ‎ ＝0‎ ‎②当直线BC与x轴垂直时，起方程为x＝2，则B(2,3),C(2,－3)‎ AB的方程为y＝x＋1,因此M点的坐标为()，‎ 同理可得 因此＝0w_w w. k#s5_u.c o*m 综上＝0，即FM⊥FN 故以线段MN为直径的圆经过点F………………………………………………12分 ‎（2010天津理数）（20）（本小题满分12分）‎ 已知椭圆的离心率，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4。‎ （1） 求椭圆的方程；‎ （2） 设直线与椭圆相交于不同的两点，已知点的坐标为（），点在线段的垂直平分线上，且，求的值 ‎【解析】本小题主要考察椭圆的标准方程和几何性质，直线的方程，平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想，考查运算和推理能力，满分12分 ‎ ‎ ‎(2)解：由（1）可知A（-2,0）。设B点的坐标为（x1,,y1）,直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=k(x+2),‎ 于是A,B两点的坐标满足方程组 由方程组消去Y并整理，得 由得 设线段AB是中点为M，则M的坐标为 以下分两种情况：‎ ‎（1）当k=0时，点B的坐标为（2,0）。线段AB的垂直平分线为y轴，于是 ‎（2）当K时，线段AB的垂直平分线方程为 令x=0，解得 在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆的左、右顶点为A、B，右焦点为F。设过点T（）的直线TA、TB与椭圆分别交于点M、，其中m>0,。‎ ‎（1）设动点P满足,求点P的轨迹；‎ ‎（2）设，求点T的坐标；‎ ‎（3）设,求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）。‎ ‎【解析】本小题主要考查求简单曲线的方程，考查方直线与椭圆的方程等基础知识。考查运算求解能力和探究问题的能力。满分16分。‎ ‎（1）设点P（x，y），则：F（2，0）、B（3，0）、A（-3，0）。‎ 由，得 化简得。‎ 故所求点P的轨迹为直线。‎ ‎（2）将分别代入椭圆方程，以及得：M（2，）、N（，）‎ 联立方程组，解得：，‎ 所以点T的坐标为。‎ ‎（3）点T的坐标为 直线MTA方程为：，即，‎ 直线NTB 方程为：，即。‎ 分别与椭圆联立方程组，同时考虑到，‎ 解得：、。‎ ‎（方法一）当时，直线MN方程为：‎ 若，则，直线MD的斜率，‎ 直线ND的斜率，得，所以直线MN过D点。‎ 因此，直线MN必过轴上的点（1，0）。‎ ‎【2009年高考真题】‎ ‎1．(2009·山东理)设双曲线的一条渐近线与抛物线y=x+1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为( )． ‎ A． B． ‎5 C． D．‎ 解析：双曲线的一条渐近线为,由方程组,消去y,得有唯一解,所以△=,‎ 所以,,故选D． ‎ 答案：D．‎ ‎（2009·安徽理）下列曲线中离心率为的是 ‎ ‎【解析】由得，选B ‎【答案】B ‎（2009·宁夏海南理）双曲线-=1的焦点到渐近线的距离为 ‎（A） （B）2 （C） （D）1‎ 解析：双曲线-=1的焦点(4,0)到渐近线的距离为,选A 答案：A ‎（2009·天津理）设抛物线=2x的焦点为F，过点M（，0）的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于C，=2，则BCF与ACF的面积之比=‎ ‎（A） （B） （C） （D） ‎ 解析：由题知，‎ 又 由A、B、M三点共线有即，故， ‎ ‎∴，故选择A。‎ 答案：A ‎（2009··浙江理）过双曲线的右顶点作斜率为的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为．若，则双曲线的离心率是 ( ) ‎ A． B． C． D．‎ 答案：C ‎ 解析：对于，则直线方程为，直线与两渐近线的交点为B，C，‎ ‎（2009·宁夏海南理）设已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1，0)，直线l与抛物线C相交于A，B两点。若AB的中点为（2，2），则直线的方程为_____________．‎ 解析：抛物线的方程为，‎ 答案：y=x ‎（2009·天津理）若圆与圆（a>0）的公共弦的长为，‎ 则___________ 。‎ 答案：1‎ 解析：由知的半径为，由图可知解之得 ‎ ‎ ‎ (2009·山东理)（本小题满分14分）‎ 设椭圆E: （a,b>0）过M（2，） ，N(,1)两点，O为坐标原点，‎ ‎（I）求椭圆E的方程；‎ ‎（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。‎ ‎【解析】解:（1）因为椭圆E: （a,b>0）过M（2，） ，N(,1)两点,‎ 所以解得所以椭圆E的方程为 ‎（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且,设该圆的切线方程为解方程组得,即, ‎ 则△=,即 ‎,要使,需使,即,所以,所以又,所以,所以,即或,因为直线为圆心在原点的圆的一条切 任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且．‎ 因为,‎ 所以,‎ ‎, ‎ ‎①当时 因为所以,‎ 所以,‎ 所以当且仅当时取”=”． ‎ ② 当时,．‎ ③ 当AB的斜率不存在时, 两个交点为或,所以此时,‎ 综上, |AB |的取值范围为即: ‎ ‎（2009·广东理）（本小题满分14分）‎ 已知曲线与直线交于两点和，且．记曲线在点和点之间那一段与线段所围成的平面区域（含边界）为．设点是上的任一点，且点与点和点均不重合．‎ ‎（1）若点是线段的中点，试求线段的中点的轨迹方程； ‎ ‎（2）若曲线与有公共点，试求的最小值．‎ ‎【解析】解：（1）联立与得，则中点，设线段的中点坐标为，则，即，又点在曲线上，‎ ‎∴化简可得，又点是上的任一点，且不与点和点重合，则，即，∴中点的轨迹方程为（）．‎ ‎ ‎ ‎（2）曲线，‎ 即圆：，其圆心坐标为，半径 由图可知，当时，曲线与点有公共点；‎ 当时，要使曲线与点有公共点，只需圆心到直线的距离，得，则的最小值为．‎ ‎（2009·安徽理）（本小题满分13分） ‎ 点在椭圆上，直线与直线垂直，O为坐标原点，直线OP的倾斜角为，直线的倾斜角为．‎ ‎（I）证明: 点是椭圆与直线的唯一交点； ‎ ‎（II）证明:构成等比数列．‎ ‎【解析】解：本小题主要考查直线和椭圆的标准方程和参数方程，直线和曲线的几何性质，等比数列等基础知识。考查综合运用知识分析问题、解决问题的能力。本小题满分13分。‎ 因此,方程组有唯一解,即直线与椭圆有唯一交点P． ‎ ‎(方法二)显然P是椭圆与的交点，若Q是椭圆与的交点，代入的方程，得 即故P与Q重合。‎ ‎（II）的斜率为的斜率为 由此得构成等比数列。‎ ‎（2009·福建理19）（本小题满分13分）‎ 已知A,B 分别为曲线C： +=1（y0,a>0）与x轴 的左、右两个交点，直线过点B,且与轴垂直，S为上 异于点B的一点，连结AS交曲线C于点T．‎ ‎(1)若曲线C为半圆，点T为圆弧的三等分点，试求出点S的坐标；‎ ‎（II）如图，点M是以SB为直径的圆与线段TB的交点，试问：是否存在,使得O,M,S三点共线？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由。 ‎ ‎【解析】解法一：‎ 由 由,可得即 经检验,当时,O,M,S三点共线． 故存在,使得O,M,S三点共线．‎ 解法二:‎ ‎(Ⅰ)同解法一．‎ ‎(Ⅱ)假设存在a,使得O,M,S三点共线．‎ 由于点M在以SO为直径的圆上,故．‎ 显然,直线AS的斜率k存在且K>0,可设直线AS的方程为 由 设点,则有 故 由所直线SM的方程为 O,S,M三点共线当且仅当O在直线SM上,即．‎ 故存在,使得O,M,S三点共线．‎ ‎（2009·辽宁理）（本小题满分12分）‎ 已知，椭圆C过点A，两个焦点为（－1，0），（1，0）。‎ （1） 求椭圆C的方程； ‎ （2） E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值。‎ ‎【解析】解：‎ ‎（2009·宁夏海南理）（本小题满分12分）‎ ‎ 已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在s轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点，=λ，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。 ‎ ‎【解析】解:(Ⅰ)设椭圆长半轴长及半焦距分别为，由已知得 ‎， ‎ 所以椭圆的标准方程为 ‎ ‎（Ⅱ）设，其中。由已知及点在椭圆上可得 ‎。‎ 整理得，其中。‎ ‎（i）时。化简得 ‎ 所以点的轨迹方程为，轨迹是两条平行于轴的线段。‎ ‎（ii）时，方程变形为，其中 当时，点的轨迹为中心在原点、实轴在轴上的双曲线满足的部分。‎ 当时，点的轨迹为中心在原点、长轴在轴上的椭圆满足的部分；‎ 当时，点的轨迹为中心在原点、长轴在轴上的椭圆；‎ ‎（2009·天津理）（本小题满分14分）‎ ‎ 以知椭圆的两个焦点分别为，过点的直线与椭圆相交与两点，且。‎ （1） 求椭圆的离心率； ‎ （2） 求直线AB的斜率； ‎ （3） 设点C与点A关于坐标原点对称，直线上有一点在的外接圆上，求的值 ‎ ‎【解析】（1）解：由//且，得，从而 ‎ 整理，得，故离心率 ‎ 将代入②中，解得．‎ ‎(III)解法一：由（II）可知 ‎ 当时，得，由已知得．‎ 线段的垂直平分线l的方程为直线l与x轴 的交点是外接圆的圆心，因此外接圆的方程为．‎ 直线的方程为，于是点H（m，n）的坐标满足方程组 ‎ ， 由解得故 当时，同理可得． ‎ 解法二：由（II）可知 当时，得,由已知得 ‎ 由椭圆的对称性可知B，，C三点共线，因为点H（m，n）在的外接圆上，‎ 且，所以四边形为等腰梯形．‎ ‎ 由直线的方程为,知点H的坐标为．‎ 因为，所以，解得m=c（舍），或．‎ 则，所以． ‎ 当时同理可得 ‎ ‎【2008年高考真题】‎ ‎（2008·海南、宁夏理）已知点P在抛物线上，那么点P到点的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 解析：点P到抛物线焦点距离等于点P到抛物线准线距离，如图,故最小值在三点共线时取得，此时的纵坐标都是，所以选A。（点坐标为）‎ 答案：A ‎（2008·山东理）设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26．若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为 ‎（A） (B)‎ ‎(C) (D)‎ 解析：本题考查椭圆、双曲线的标准方程。对于椭圆，曲线为双曲 最短弦为 答案：B ‎（2008·广东）经过圆的圆心，且与直线垂直的直线方程是 ．‎ 解析：易知点C为，而直线与垂直，我们设待求的直线的方程为，将点C的坐标代入马上就能求出参数的值为，故待求的直线的方程为。‎ 答案： ‎ ‎（2008·江苏）在平面直角坐标系中，设三角形ABC的顶点坐标分别为，点在线段OA上（异于端点），设均为非零实数，直线分别交于点E，F，一同学已正确算出的方程：‎ ‎，请你求OF的方程： 。‎ ‎（2008·江苏）在平面直角坐标系中，椭圆的焦距为2，以O为圆心，为半径的圆，过点作圆的两切线互相垂直，则离心率= 　▲　　 。‎ 解析：本小题考查椭圆的基本量和直线与圆相切的位置关系。如图，切线互相垂直，又，所以是等腰直角三角形，故，解得。 ‎ 答案： ‎ ‎（2008·海南、宁夏理）设双曲线的右顶点为A，右焦点为F．过点F平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为　　　　　　．‎ 解析：双曲线的右顶点坐标，右焦点坐标，设一条渐近线方程为，‎ 建立方程组，得交点纵坐标，从而 答案：‎ ‎（2008·广东）设，椭圆方程为，抛物线方程为．如图所示，过点作轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为，已知抛物线在点的切线经过椭圆的右焦点．‎ ‎（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；‎ ‎（2）设分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点，使得为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）．‎ 解析：（1）由得， ‎ 当得，G点的坐标为，‎ ‎，，‎ 过点G的切线方程为即，‎ 令得，点的坐标为，由椭圆方程得点的坐标为，‎ 即，即椭圆和抛物线的方程分别为和；‎ ‎（2）过作轴的垂线与抛物线只有一个交点,以为直角的只有一个，‎ 同理 以为直角的只有一个；‎ 若以为直角，则点在以为直径的圆上，而以为直径的圆与抛物线有两个交点。‎ 所以以为直角的有两个；‎ 因此抛物线上存在四个点使得为直角三角形。‎ ‎（2008·山东理）如图，设抛物线方程为x2=2py(p＞0),M为 直线y=-2p上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B．‎ ‎（Ⅰ）求证：A，M，B三点的横坐标成等差数列；‎ ‎（Ⅱ）已知当M点的坐标为（2，-2p）时，，求此时抛物线的方程；‎ ‎（Ⅲ）是否存在点M，使得点C关于直线AB的对称点D在抛物线上，其中，点C满足（O为坐标原点）．若存在，求出所有适合题意的点M的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 解析：（Ⅰ）证明：由题意设 由①、②得 因此，即 所以A、M、B三点的横坐标成等差数列．‎ ‎（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，当x0=2时，‎ ‎ 将其代入①、②并整理得：‎ ‎ 　‎ ‎ 　‎ ‎　　　　　所以　x1、x2是方程的两根，‎ ‎ 因此 ‎ 又 ‎ 所以 ‎（Ⅲ）解：设D(x3,y3)，由题意得C(x1+ x2, y1+ y2),‎ ‎ 则CD的中点坐标为 ‎ 　设直线AB的方程为 ‎ 　由点Q在直线AB上，并注意到点也在直线AB上，‎ ‎ 　代入得 ‎ 　若D（x3,y3）在抛物线上，则 ‎ 　因此　x3=0或x3=2x0．‎ ‎ 即D(0，0)或 ‎ （1）当x0=0时，则，此时，点M(0,-2p)适合题意．‎ ‎ （2）当，对于D(0，0)，此时 ‎ 　　又AB⊥CD，‎ 所以 即矛盾．‎ 对于因为此时直线CD平行于y轴，‎ 又 ‎（2008山东文）已知曲线所围成的封闭图形的面积为，曲线的内切圆半径为．记为以曲线与坐标轴的交点为顶点的椭圆．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）设是过椭圆中心的任意弦，是线段的垂直平分线．是上异于椭圆中心的点．‎ ‎（1）若（为坐标原点），当点在椭圆上运动时，求点的轨迹方程；‎ ‎（2）若是与椭圆的交点，求的面积的最小值．‎ 解析：（Ⅰ）由题意得 又，‎ 解得，．‎ 因此所求椭圆的标准方程为．‎ ‎（Ⅱ）（1）假设所在的直线斜率存在且不为零，设所在直线方程为，‎ ‎．‎ 解方程组得，，‎ 所以．‎ 设，由题意知，‎ 所以，即，‎ 因为是的垂直平分线，‎ 所以直线的方程为，‎ 即，‎ 因此，‎ 又，‎ 所以，‎ 故．‎ 又当或不存在时，上式仍然成立．‎ 综上所述，的轨迹方程为．‎ ‎（2）当存在且时，由（1）得，，‎ ‎．‎ 解法一：由于 ‎，‎ 当且仅当时等号成立，即时等号成立，此时面积的最小值是．‎ 当，．‎ 当不存在时，．‎ 综上所述，的面积的最小值为．‎ 解法二：因为，‎ 又，，‎ ‎（2008海南、宁夏理）在直角坐标系xOy中，椭圆C1：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2．F2也是抛物线C2：的焦点，点M为C1与C2在第一象限的交点，且｜MF2｜=．‎ ‎（Ⅰ）求C1的方程； ‎ ‎（Ⅱ）平面上的点N满足，直线l∥MN，且与C1交于A，B两点，若，求直线l的方程．‎ 解析：（Ⅰ）由：知．‎ 设，在上，因为，所以，得，．‎ 在上，且椭圆的半焦距，于是 消去并整理得 ， 解得（不合题意，舍去）．‎ 故椭圆的方程为．‎ ‎（Ⅱ）由知四边形是平行四边形，其中心为坐标原点，‎ 因为，所以与的斜率相同，‎ 故的斜率．设的方程为．‎