北京市东城区2020届高三下学期一模线上统练数学二

北京市东城区2020届高三下学期一模线上统练数学二

北京市东城区2019-2020高三一模线上统练数学二 班级__________ 姓名__________‎ 第一部分（选择题 共40分）‎ 一、选择题共10题，每题4分，共40分。在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。‎ ‎（1）已知集合，则满足的集合的个数是（ ）.‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（2）在复平面内，已知复数对应的点与复数对应的点关于虚轴对称，则点的坐标为（ ）.‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（3）已知点A(2，a)为抛物线图象上一点，点F为抛物线的焦点，则等于（ ）.‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（4）下列函数中，与函数的定义域和值域都相同的是（ ）. ‎ ‎（A） （B） ‎ ‎（C） （D） ‎ ‎（5）已知两个向量，，则“”是“ ”的（ ）. ‎ ‎（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 ‎（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 ‎（6）已知和是两个不同平面，，是与 不同的两条直线，且，，那么下列命题正确的是 （ ）.‎ ‎（A）与 都不相交 （B）与都相交 ‎（C） 恰与 中的一条相交 （D）至少与中的一条相交 ‎（7）两条平行直线和间的距离为，则的值分别为（ ）. ‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（8）数列是等差数列 ，是各项均为正数的等比数列，公比，且，则（ ）.‎ ‎（A） +    （B） ‎ ‎（C）<+    （D）‎ ‎（9）若函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，若函数在区间 ‎ 上单调递增，则的最大值为（ ）.‎ ‎ （A） （B） （C） （D） ‎ ‎（10）标准对数远视力表（如图）采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式，‎ 标准对数远视力表各行为正方形“”形视标，且从视力的视标所在行开始往上，‎ 每一行“”的边长都是下方一行“”边长的倍，若视力的视标边长为，‎ 则视力的视标边长为（ ）.‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎ ‎ 第二部分（非选择题 共110分）‎ 二、填空题共5题，每题5分，共25分。‎ ‎（11）二项式的展开式共有7项，则 ；常数项为 . ‎ ‎（12）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，将角的终边按逆时针方向旋转后经过点，则 .‎ ‎（13）某四面体的三视图如图所示．该四面体的 六条棱的长度中，最大的是 ‎ ‎（14）函数，数列满足，‎ ‎ ①函数是增函数；‎ ‎ ②数列是递增数列．‎ ‎ 写出一个满足①的函数的解析式 .‎ 写出一个满足②但不满足①的函数的解析式 . ‎ （15） 在中国决胜全面建成小康社会的关键之年，如何更好地保障和改善民生，如何切实增强政策“获得感”， ‎ 成为 2019 年全国两会的重要关切．某地区为改善民生调研了甲、乙、丙、丁、戊5个民生项目，得到 ‎ 如下信息： ‎ ‎①若该地区引进甲项目，就必须引进与之配套的乙项目； ‎ ‎②丁、戊两个项目与民生密切相关，这两个项目至少要引进一个； ‎ ‎③乙、丙两个项目之间有冲突，两个项目只能引进一个； ‎ ‎④丙、丁两个项目关联度较高，要么同时引进，要么都不引进； ‎ ‎⑤若引进项目戊，甲、丁两个项目也必须引进． ‎ 则该地区应引进的项目为 ‎ 三、解答题共6题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。‎ ‎（16）（本小题14分）‎ 在四棱锥中，为正三角形，平面平面，为的中点，，，.‎ ‎（Ⅰ）求证：平面平面； ‎ ‎（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；‎ ‎（Ⅲ）在棱上是否存在点，使得平面?若存在，‎ 求出的值；若不存在，说明理由．‎ ‎（17）（本小题14分）‎ 在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的正整数存在，求的值；若不存在，请说明理由．‎ 设为等差数列的前项和，是等比数列， ，，，．是否存在，使得且？‎ ‎（18）（本小题14分）‎ ‎2019年北京市百项疏堵工程基本完成.有关部门为了解疏堵工程完成前后早高峰时段公交车运行情况，调取某路公交车早高峰时段全程所用时间（单位：分钟）的数据，从疏堵工程完成前的数据中随机抽取5个数据，记为A组，从疏堵工程完成后的数据中随机抽取5个数据，记为B组.‎ A组：128，100，151，125，120‎ B组：100，102，96，101，‎ 己知B组数据的中位数为100，且从中随机抽取一个数不小于100的概率是.‎ ‎（Ⅰ）求a的值；‎ ‎（Ⅱ）该路公交车全程所用时间不超过100分钟，称为“正点运行”从A，B两组数据中各随机抽取一个数据，记两次运行中正点运行的次数为X，求X的分布列及期望；‎ ‎（Ⅲ）试比较A，B两组数据方差的大小（不要求计算），并说明其实际意义.‎ ‎（19）（本小题15分）‎ 已知函数其中a为常数，设e为自然对数的底数．‎ ‎（Ⅰ）当时，求过切点为的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）若在区间上的最大值为，求a的值；‎ ‎（Ⅲ）若不等式恒成立，求a的取值范围．‎ ‎（20）（本小题14分）‎ 已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，且，离心率为.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）设点, 若点P在直线上，直线与椭圆交于另一点判断是否存在点，使得四边形为梯形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由 （21） ‎（本小题14分）‎ 数列 满足：．记 的前 项和为 ，并规定 ．定义集合 ．‎ ‎（Ⅰ）对数列 ，求集合 ；‎ ‎（Ⅱ）若集合 （，），证明：；‎ ‎（Ⅲ）给定正整数 ．对所有满足 的数列 ，求集合 的元素个数的最小值．‎ 参考答案：‎ ‎1-10：BCACD ABCAD ‎11. ‎ ‎12. ‎ ‎13. ‎ ‎14. ； 答案不唯一 ‎15. 丙丁 ‎16. 证明：（Ⅰ）法一：‎ 因为为正三角形，为的中点，‎ ‎ 所以.‎ 因为平面底面，平面底面，‎ 所以平面.‎ 因为平面，‎ 所以.‎ 因为，，‎ 所以.‎ 因为，‎ 所以平面.‎ 因为平面，‎ 所以平面平面. ………………4分 法二：‎ 因为，，‎ 所以.‎ 因为平面底面，平面底面，‎ ‎ 所以平面.‎ 因为平面，‎ 所以平面平面. ………………4分 ‎（Ⅱ）在平面内作直线.‎ 所以平面.‎ 所以.‎ 以为原点建立空间直角坐标系如图所示.‎ 则.‎ 所以.‎ 设平面的法向量为.‎ 所以即 令，则.‎ 所以 设直线与平面所成的角为.‎ 则.‎ 所以直线与平面所成角的正弦值为. ………………9分 ‎（Ⅲ）在棱上存在点，使得平面.‎ ‎ 因为平面,‎ 所以.‎ 要使平面成立，只需成立.‎ 设，. ‎ 所以.‎ 即.‎ 所以.‎ 所以.‎ 因为，‎ 所以由可得，‎ 即.‎ 所以.‎ 即. ………………14分 ‎17. 解：方案①，设等比数列的公比为，设等差数列的公差为，‎ 由，，得，‎ 又，‎ ‎∴，故，‎ 又，，‎ ‎∴，‎ ‎，‎ ‎∴，‎ 由且，‎ 可得 可知，‎ 得，又为正整数，则，‎ ‎∴存在，使得且．‎ 方案②，设等比数列的公比为，设等差数列的公差为，‎ 由，，得，‎ 又，‎ ‎∴，故．‎ 又，，‎ ‎∴，‎ ‎，‎ ‎∴．‎ 由且，‎ 可得，‎ 可知，‎ 得，‎ 又为正整数，则，‎ ‎∴存在，使得且．‎ 方案③，设等比数列的公比为，设等差数列的公差为，‎ 由，，‎ 得，‎ 又，‎ ‎∴，故．‎ 又，，即，‎ 解得，‎ ‎∴．‎ 由且，‎ 可得，‎ 可知，‎ 得，‎ 又为正整数，则，‎ ‎∴存在，使得且．‎ ‎18. （1）B组数据的中位数为100，根据B组的数据，‎ 从B组中随机抽取一个数不小于100的概率是，‎ B组中不小于100的有4个数，所以；‎ ‎（Ⅱ）从A，B两组数据中各随机抽取一个数据，‎ ‎“正点运行”概率分别为，‎ 从A，B两组数据中各随机抽取一个数据，‎ 记两次运行中正点运行的次数为X，‎ X可能值为，，‎ ‎，‎ ‎，‎ X的分布列为：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎，‎ X期望为；‎ ‎（Ⅲ）对比两组数据，组数据方差更小，说明疏堵工程完成后公交车运行时间更为稳定.‎ ‎19. 解：（Ⅰ）当时，，则，∴，‎ 切点，即，∴切线方程为，即．‎ ‎（Ⅱ），‎ 当时，，在上单调递增，，无最大值．‎ 当时，在上，单调递增；在上，单调递增，‎ 若函数在上取得最大值，则，且，则．‎ ‎（Ⅲ）不等式恒成立，则恒成立，，‎ 令，（），，‎ 在上，，单调递减；在上，，单调递增，‎ ‎∴，∴．‎ ‎20. 解法1：（Ⅰ）由已知，又所以.‎ ‎ 故，所以椭圆方程为.‎ ‎（Ⅱ）假设存在点使得四边形为梯形.‎ 由题可知，显然不平行，所以与平行，即.‎ 设点，，，,‎ ① 直线方程为，‎ 由点在直线上，则②‎ ①②联立，，显然，可解得. ‎ 又由点在椭圆上，，所以，即，‎ 将其代入①，解得，.‎ 解法2：设直线方程为.‎ 由，所以，所以，又，所以.‎ 直线方程为，由，消，‎ 得.‎ 又, 所以，即，‎ ‎.. ‎ 由可得，解得, ，，‎ 解法3：假设存在点使得四边形为梯形. ‎ 由题可知，显然不平行，所以与平行, ‎ ‎，所以. ‎ 过点作于，则有，‎ ‎，，即，代入椭圆方程，求得，‎ ‎. ‎ ‎21.（Ⅰ）因为 ，，，，，，‎ 所以 ．‎ ‎   （Ⅱ）由集合 的定义知 ，且 是使得 成立的最小的 ，‎ 所以 ．‎ 又因为 ，‎ 所以 ．‎ 所以 ．‎ ‎      （Ⅲ）因为 ，所以 非空．‎ 设集合 ，不妨设 ，‎ 则由（Ⅱ）可知 ，‎ 同理 ，且 ．‎ 所以 ‎ ‎ 因为 ，所以 的元素个数 ．‎ 取常数数列 ，并令 ，‎ 则 ，适合题意，‎ 且 ，其元素个数恰为 ．‎ 综上， 的元素个数的最小值为 ．‎