2018-2019学年江苏省启东中学高一上学期期中考试数学试题（解析版）

2018-2019学年江苏省启东中学高一上学期期中考试数学试题（解析版）

‎2018-2019学年江苏省启东中学高一上学期期中考试数学试题 一、单选题 ‎1．下图中，能表示函数的图象的是( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 根据函数的定义，依次分析选项中的图象是否存在一对多的情况，即可得答案．‎ ‎【详解】‎ 根据题意，对于A、B两图，可以找到一个x与两个y对应的情形；‎ 对于C图，当x=0时，有两个y值对应；‎ 对于D图，每个x都有唯一的y值对应．因此，D图可以表示函数y=f（x），‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的定义，关键是理解函数的定义“每个x都有唯一的y值对应”．‎ ‎2．下列五个写法：，‎ 其中错误写法的个数为（　　）‎ A． 1 B． 2 C． 3 D． 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 根据“∈”用于元素与集合间，“∩”用于集合与集合间，判断出①⑤错；∅是不含任何元素的集合且是任意集合的子集判断出②④的对错；据集合元素的三要素判断出③对．‎ ‎【详解】‎ 对于①，“∈”是用于元素与集合的关系故①错，‎ 对于②，∅是任意集合的子集，故②对，‎ 对于③，集合中元素的三要素有确定性、互异性、无序性故③对，‎ 对于④，因为∅是不含任何元素的集合故④错，‎ 对于⑤，因为∩是用于集合与集合的关系的，故⑤错．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 此题是基础题，考查对元素与集合关系的判断，以及列举法表示集合，特别注意对空集的理解．‎ ‎3．下列各组函数表示同一函数的是（ ）‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 定义域和对应法则完全相同的函数，才是同一函数，对选项逐一判断，即可得到结论．‎ ‎【详解】‎ 对于A，f（x）==|x|，g（x）=（）2=x（x≥0），定义域和对应法则不一样，故不为同一函数；‎ 对于B， f（x）=1（x∈R），g（x）=x0=1（x≠0），定义域不同，故不为同一函数；‎ 对于C，f（x）=x，g（x）==x，定义域和对应法则均为R，故为同一函数；‎ 对于D，f（x）=x+1，（x∈R），g（x）==x+1（x≠1），定义域不同，故不为同一函数．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查同一函数的判断，运用定义域和对应法则完全相同的函数，才是同一函数，属于基础题．‎ ‎4．已知，则（ ）‎ A． 5 B． -1 C． -7 D． 2‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 根据所给解析式先求f（2），再求f[f（2）]．‎ ‎【详解】‎ ‎∵‎ ‎∴f（2）=﹣2×2+3=﹣1，‎ ‎∴f[f（2）]=f（﹣1）=（﹣1）2+1=2．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查分段函数求值问题，属基础题，关键看清所给自变量的值所在范围．‎ ‎5．已知集合，则适合的非空集合B的个数为（ ）‎ A． 31 B． 63 C． 64 D． 62‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由A∪B=A得B⊆A，根据集合关系进行求解．‎ ‎【详解】‎ ‎∵A∪B=A，∴B⊆A，‎ ‎∵，‎ ‎∴满足A∪B=A的非空集合B的个数为26﹣1=63．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查集合的基本关系，将A∪B=A转化为B⊆A是解决本题的关键．‎ ‎6．函数的定义域是（   ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 根据函数f（x）的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可．‎ ‎【详解】‎ ‎∵函数f（x）=+lg（3x+1），‎ ‎∴；‎ 解得﹣＜x＜1，‎ ‎∴函数f（x）的定义域是（﹣，1）．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了求函数定义域的应用问题，解题的关键是列出使函数解析式有意义的不等式组，是基础题目．‎ ‎7．若a>0,将表示成分数指数幂,其结果是( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由根式与分数指数幂的互化规则所给的根式化简即可将其表示成分数指数幂，求得其结果选出正确选项．‎ ‎【详解】‎ 由题意=‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根式与分数指数幂的互化及其化简运算，解题的关键是掌握并能熟练运用根式与分数指数幂互化的规则．‎ ‎8．函数的零点所在区间是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 根据连续函数，可得f（3），f（4）的函数值的符号，由此得到函数 的零点所在的区间．‎ ‎【详解】‎ ‎∵连续减函数，‎ ‎∴f（3）=2﹣log23＞0，f（4）=﹣log24＜0，‎ ‎∴函数的零点所在的区间是 （3，4），‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数的零点的定义，判断函数的零点所在的区间的方法，属于基础题．‎ ‎9．直线与函数图象的交点个数为( )‎ A． 4个 B． 3个 C． 2个 D． 1个 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 函数y=|x2﹣6x|可讨论x去掉绝对值，得到分段函数，画出图象，然后画出y=3，观察交点个数．‎ ‎【详解】‎ 由函数的图象可得，显然有4个交点，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 函数零点的求解与判断 ‎(1)直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；‎ ‎(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；‎ ‎(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．‎ ‎10．已知奇函数在时的图象如图所示，则不等式的解集为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由f（x）是奇函数得函数图象关于原点对称，可画出y轴左侧的图象，利用两因式异号相乘得负，得出f（x）的正负，由图象可求出x的范围得结果．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）x＞0时，f（x）＜0，∴1＜x＜2，‎ ‎（2）x＜0时，f（x）＞0，∴﹣2＜x＜﹣1，‎ ‎∴不等式xf（x）＜0的解集为（﹣2，﹣1）∪（1，2）．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 由函数的奇偶性得出整个图象，分类讨论的思想得出函数值的正负，数形结合得出自变量的范围．‎ ‎11．已知是定义在上的减函数,则实数的取值范围是(　　).‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 根据分段函数单调性的性质建立不等式关系进行求解即可．‎ ‎【详解】‎ 当x≥1时，函数f（x）=﹣x+1为减函数，此时函数的最大值为f（1）=0，‎ 要使f（x）在R上的减函数，‎ 则满足，‎ 即，解集≤a＜，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数单调性的应用，根据分段函数单调性的性质建立不等式关系是解决本题的关键．‎ ‎12．已知函数，若对任意的，总存在，使得，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D． 以上都不对 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 对任意的x1∈[﹣1，2]，总存在x2]，使得g（x1）＞f（x2），可得g（x1）min＞f（x2）min，根据基本不等式求出f（x2）min=1，再分类讨论，求出g（x）min，即可求出k的范围．‎ ‎【详解】‎ 对任意的x1∈[﹣1，2]，总存在x2]，使得g（x1）＞f（x2），‎ ‎∴g（x1）min＞f（x2）min，‎ ‎∵f（x）=x2+﹣3≥2﹣3=4﹣3=1，当且仅当x=时取等号，‎ ‎∴f（x2）min=1，‎ 当k＞0时，g（x）=kx+2，在x∈[﹣1，2]为增函数，‎ ‎∴g（x）min=f（﹣1）=2﹣k，‎ ‎∴2﹣k＞1，解得0＜k＜1‎ 当k＜0时，g（x）=kx+2，在x∈[﹣1，2]为减函数，‎ ‎∴g（x）min=f（2）=2k+2，‎ ‎∴2k+2＞1，解得﹣＜k＜0，‎ 当k=0时，g（x）=2，2＞1成立，‎ 综上所述k的取值范围为（﹣，1）‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数恒成立问题和存在性问题，以及基本不等式，属中档题．‎ 二、填空题 ‎13．函数恒过定点________‎ ‎【答案】（3,4）.‎ ‎【解析】‎ 当x＝3时，f(3)＝a3－3＋3＝4，∴f(x)必过定点(3，4)．‎ ‎14．已知集合，若，实数的取值范围是______ ．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ 根据集合A，B，以及A∩B=∅，分别判断集合成立的条件，分情况讨论得出a的范围即可．‎ ‎【详解】‎ ‎∵A={x|a﹣1＜x＜2a+1}，‎ B={x|0＜x＜1}，‎ 而A∩B=∅，‎ ‎∴①a﹣1≥2a+1时，A=∅，a≤﹣2‎ ‎②‎ 解得：﹣2＜a ‎③‎ 解得：a≥2‎ 综上，a的范围为：a≤或a≥2‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查交集及其运算，子集与交集补集的混合运算，通过对集合关系的把握转化为参数的范围，属于基础题．‎ ‎15．已知 ,若,则______ ．‎ ‎【答案】-14.‎ ‎【解析】‎ 根据f（x）=ax3+bx﹣4，可得f（x）+f（﹣x）=﹣8，从而根据f（2）=6，可求f（﹣2）的值．‎ ‎【详解】‎ ‎∵f（x）=ax3+bx﹣4‎ ‎∴f（x）+f（﹣x）=ax3+bx﹣4+a（﹣x）3+b×（﹣x）﹣4=﹣8‎ ‎∴f（x）+f（﹣x）=﹣8‎ ‎∵f（2）=6‎ ‎∴f（﹣2）=﹣14‎ 故答案为：﹣14．‎ ‎【点睛】‎ 本题以函数为载体，考查函数的奇偶性，解题的关键是判断f（x）+f（﹣x）=﹣8，以此题解题方法解答此类题，比构造一个奇函数简捷，此法可以推广．‎ ‎16．若函数在上有意义，则实数的取值范围是______ ．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ 使用换元令t=2x，将函数转化为一元二次函数y=1+t+at2进行求解．‎ ‎【详解】‎ 设t=2x，因为x∈（﹣∞，2]，所以0＜t≤4．‎ 则原函数有意义等价于1+t+at2≥0，所以a≥﹣．‎ 设f（t）=﹣，则f（t）=﹣=﹣（+）2+，‎ 因为0＜t≤4，所以∈[，+∞），所以f（t）≤f（）=，‎ 所以a≥．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了与指数函数有关的复合函数的最值问题，通过换元，将函数转化为一元二次函数，是解决本题的关键，对应不等式恒成立问题通常是转化为含参问题恒成立，即求函数的最值问题．‎ 三、解答题 ‎17．已知集合，，，全集为实数集．‎ ‎（）求，；‎ ‎（）若，求实数的范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）。‎ ‎【解析】‎ ‎（1）求出集合A={x|1＜x＜5}，B={x|2＜x＜6}，C={x|x＜a}，由此能求出A∪B和（∁RA）∩B；‎ ‎（2）由A∩C=∅，A={x|1＜x＜5}，C={x|x＜a}，能求出实数a．‎ ‎【详解】‎ ‎(1)∵A=={1

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