2019年高考数学复习大二轮精准提分练习第三篇 (四)

2019年高考数学复习大二轮精准提分练习第三篇 (四)

审题路线中寻求解题策略 审题是解题的前提，只有认真阅读题目，提炼关键信息，明确题目的条件与结论，才能通过分析、推理启发解题思路，选取适当的解题方法.最短时间内把握题目条件与结论间的联系是提高解题效率的保障.审题不仅存在于解题的开端，还要贯穿于解题思路的全过程和解答后的反思回顾.正确的审题要多角度地观察，由表及里，由条件到结论，由数式到图形，洞察问题实质，选择正确的解题方向.事实上，很多考生往往对审题掉以轻心，或不知从何处入手进行审题，致使解题失误而丢分.下面结合实例，教你正确的审题方法，制作一张漂亮的“审题路线图”，助你寻求解题策略.‎ 题目的条件是解题的主要素材，条件有明示的，也有隐含的，审视条件时更重要的是充分挖掘每一个条件的内涵和隐含信息，对条件进行再认识、再加工，注意已知条件中容易疏忽的隐含信息、特殊情形，明晰相近概念之间的差异，发挥隐含条件的解题功能.‎ ‎1.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且＝－.‎ ‎(1)求B的大小；‎ ‎(2)若b＝，a＋c＝4，求△ABC的面积.‎ 审题路线图 →→ 解　(1)由余弦定理知，cos B＝，cos C＝，‎ 将上式代入＝－，得·＝－，‎ 整理得a2＋c2－b2＝－ac，‎ ‎∴cos B＝＝＝－.‎ ‎∵B为三角形的内角，∴B＝.‎ ‎(2)将b＝，a＋c＝4，B＝代入b2＝a2＋c2－2accos B，‎ 得13＝42－2ac－2accos ，解得ac＝3.‎ ‎∴S△ABC＝acsin B＝.‎ 解题的最终目标就是求出结论或说明已给结论正确或错误，因而解题的思维过程大多都是围绕着结论这个目标进行定向思考的.审视结论，就是在结论的启发下，探索已知条件和结论之间的内在联系和转化规律.善于从结论中捕捉解题信息，善于对结论进行转化，使之逐步靠近已知条件，从而发现和确定解题方向.‎ ‎2.已知θ是第四象限角，且sin＝，则tan＝________.‎ 审题路线图 ―→ 答案　－ 解析　∵sin＝>0，且θ是第四象限角，易知cos＝，‎ ‎∵θ－＝θ＋－，‎ ‎∴sin＝sin＝－cos＝－，‎ cos＝cos＝sin＝，‎ ‎∴tan＝－.‎ ‎3.(2017·全国Ⅰ)如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°.‎ ‎(1)证明：平面PAB⊥平面PAD；‎ ‎(2)若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，且四棱锥P－ABCD的体积为，求该四棱锥的侧面积.‎ 审题路线图 ‎(1) ‎(2) ‎(1)证明　由已知∠BAP＝∠CDP＝90°，‎ 得AB⊥AP，CD⊥PD.‎ 由于AB∥CD，‎ 故AB⊥PD，又AP∩PD＝P，‎ AP，PD⊂平面APD，‎ 从而AB⊥平面PAD.‎ 又AB⊂平面PAB，‎ 所以平面PAB⊥平面PAD.‎ ‎(2)解　如图，在平面PAD内作PE⊥AD，垂足为E.‎ 由(1)知，AB⊥平面PAD，‎ 故AB⊥PE，‎ 又AB∩AD＝A，AB，AD⊂平面ABCD，‎ 所以PE⊥平面ABCD.‎ 设AB＝x，则由已知可得AD＝x，PE＝x.‎ 故四棱锥P－ABCD的体积VP－ABCD＝AB·AD·PE＝x3.‎ 由题设得x3＝，故x＝2.‎ 从而PA＝PD＝2，AD＝BC＝2，PB＝PC＝2.‎ 可得四棱锥P－ABCD的侧面积为PA·PD＋PA·AB＋PD·DC＋BC2sin 60°＝6＋2.‎ 在一些数学高考试题中，问题的条件往往是以图形的形式给出，或将条件隐含在图形之中，因此在审题时，要善于观察图形，洞悉图形所隐含的特殊关系、数值的特点、变化的趋势.抓住图形的特征，运用数形结合的数学思想方法，是破解题目的关键.‎ ‎4.函数y＝2x2－e|x|在[－2，2]的图象大致为(　　)‎ 审题路线图 ―→―→―→ 答案　D 解析　y＝f(x)＝2x2－e|x|为偶函数，当x>0时，f′(x)＝4x－ex，作y＝4x与y＝ex的图象如图所示，故存在实数x0∈(0，1)，使得f′(x0)＝0，则当x∈(0，x0)时，f′(x0)<0，当x∈(x0，2)时，f′(x0)>0，所以f(x)在(0，x0)内单调递减，在(x0，2)内单调递增，又f(2)＝8－e2≈8－7.4＝0.6，故选D.‎ ‎5.如图，在半径为r的定圆C中，A为圆上的一个定点，B为圆上的一个动点，若＋＝，且点D在圆C上，则·＝________.‎ 审题路线图 ―→―→‎ 答案　 解析　根据向量加法的平行四边形法则知，‎ 四边形ABDC为平行四边形，‎ 而||＝||＝||＝||＝r，∴△ABC为正三角形，‎ ‎∴·＝.‎ 数学问题中的条件和结论，很多都是以数式的结构形式进行搭配和呈现的.在这些问题的数式结构中，往往都隐含着某种特殊关系，认真审视数式的结构特征，对数式结构进行深入分析，加工转化，和我们熟悉的数学结构联想比对，就可以寻找到解决问题的方案.‎ ‎6.(2017·全国Ⅲ)设数列{an}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)·an＝2n.‎ ‎(1)求{an}的通项公式；‎ ‎(2)求数列的前n项和.‎ 审题路线图 ‎(1) ‎(2) 解　(1)因为a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，‎ 所以当n≥2时，a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2(n－1)，‎ 两式相减，得(2n－1)an＝2，所以an＝(n≥2).‎ 又由题设可得a1＝2，满足上式，所以{an}的通项公式为an＝(n∈N*).‎ ‎(2)记的前n项和为Sn，‎ 由(1)知＝＝－，‎ 则Sn＝－＋－＋…＋－＝(n∈N*).‎ 题目中的图表、数据包含着问题的基本信息，往往也暗示着解决问题的目标和方向.在审题时，要认真观察分析图表、数据的特征和规律，常常可以找到解决问题的思路和方法.‎ ‎7.(2018·全国Ⅱ)下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位：亿元)的折线图.‎ 为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型.根据2000年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1，2，…，17)建立模型①：＝－30.4＋13.5t；根据2010年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1，2，…，7)建立模型②：＝99＋17.5t.‎ ‎(1)分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；‎ ‎(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由.‎ 审题路线图 解　(1)利用模型①，可得该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为＝－30.4＋13.5×19＝226.1(亿元).‎ 利用模型②，可得该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为＝99＋17.5×9＝256.5(亿元).‎ ‎(2)利用模型②得到的预测值更可靠.‎ 理由如下：‎ ‎(ⅰ)从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y＝－30.4＋13.5t上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型＝99＋17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠.‎ ‎(ⅱ)从(1)的计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而由模型②得到的预测值256.5亿元的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值更可靠.‎ 审题不仅要从宏观上、整体上去分析、去把握，还要更加注意审视一些细节上的问题.例如括号内的标注、数据的范围、图象的特点等.因为标注、范围大多是对数学概念、公式、定理中所涉及的一些量或解析式的限制条件，审视细节能适时地利用相关量的约束条件，调整解决问题的方向.所以说重视审视细节，更能体现审题的深刻性.‎ ‎8.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F(－2，0)，离心率为.‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程；‎ ‎(2)设O为坐标原点，T为直线x＝－3上一点，过F作TF的垂线交椭圆于P，Q两点.当四边形OPTQ是平行四边形时，求四边形OPTQ的面积.‎ 审题路线图 ‎(1)―→―→―→ ‎(2)→→→→‎ 解　(1)由已知可得，＝，c＝2，所以a＝.‎ 又由a2＝b2＋c2，解得b＝，‎ 所以椭圆C的标准方程是＋＝1.‎ ‎(2)设T点的坐标为(－3，m)，‎ 则直线TF的斜率kTF＝＝－m.‎ 当m≠0时，直线PQ的斜率kPQ＝，直线PQ的方程是x＝my－2.‎ 当m＝0时，直线PQ的方程是x＝－2，也符合x＝my－2的形式.‎ 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立 消去x，得(m2＋3)y2－4my－2＝0，‎ 其判别式Δ＝16m2＋8(m2＋3)>0.‎ 所以y1＋y2＝，y1y2＝，x1＋x2＝m(y1＋y2)－4＝.‎ 因为四边形OPTQ是平行四边形，‎ 所以＝，即(x1，y1)＝(－3－x2，m－y2).‎ 所以 解得m＝±1.‎ 此时，四边形OPTQ的面积S四边形OPTQ＝2S△OPQ＝2×·|OF|·|y1－y2|‎ ‎＝2＝2.‎