北京市首都师范大学附属中学2020届高三北京学校联考数学试题

北京市首都师范大学附属中学2020届高三北京学校联考数学试题

‎ 2019-2020学年第二学期首师大附中北京学校联考试题 ‎ 高三 数学 满分150分 考试时间 5.23 下午7点--9点 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.‎ ‎1．已知复数（是虚数单位），则复数的虚部为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2. 已知集合P={}，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3. 已知函数，则函数的奇偶性为（ ）‎ A．既是奇函数也是偶函数 B．既不是奇函数也不是偶函数 C．是奇函数不是偶函数 D．是偶函数不是奇函数 ‎ ‎4. 在平行四边形ABCD中，AD=2，∠BAD= 60o，E为CD的中点．若=3，则AB的长为（ ）‎ ‎ A． B．1 C．2 D．3‎ ‎5. 已知为的导函数，若，且，则的最小值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎6. 已知都是实数，命题；命题，则是的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 ‎7. 若变量满足条 则的最小值是（ ）‎ A.1 B.2 C. D. ‎ ‎8. 若（其中）的图象如图，为了得到 ‎ 的图象，则需将的图象（ ）‎ A．向右平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向左平移个单位 ‎9. 已知双曲线的一个顶点是抛物线的焦点F，两条曲线的一个交点为M， ，则双曲线的离心率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎10. 函数，则方程实根个数不可能为（ ）‎ A． 1个 B．2个 C． 3个 D．4 个 二、填空题:本大题共5小题， 每小题5分，共25分.‎ ‎11. 若奇函数定义域为R，且，则=______‎ ‎12．若ax2+的展开式中常数是，则实数a=______‎ ‎13．某程序框图如图所示，当输出y的值为时，则输出x的值为______‎ ‎14．已知c，d为单位向量，且夹角为60°，若a=c+3d ，b=2c ，则b在a 方向上的投影为______‎ ‎15．给出以下四个结论：‎ ‎①函数的对称中心是；‎ ‎②若关于x的方程没有实数根，则k的取值范围是；‎ ‎③在中，“”是“为等边三角形”的充分不必要条件；‎ ‎④若的图象向右平移个单位后为奇函数，则最小值是.‎ 其中正确的结论是______‎ 三、解答题：本大题共6小题，共85分.‎ ‎16．‎ 已知函数.‎ ‎（1）求单调递增区间；‎ ‎（2）中，角的对边满足，求的取值范围.‎ ‎17．‎ 某商场进行抽奖促销活动,抽奖箱中有大小完全相同的4个小球，分别标有 “A”“B”“C”“D”．顾客从中任意取出1个球，记下上面的字后放回箱中，再从中任取1个球，重复以上操作，最多取4次，并规定若取出“D”字球，则停止取球．获奖规则如下：依次取到标有“A”“B”“C”“D”字的球为一等奖；不分顺序取到标有“A”“B”“C”“D”字的球，为二等奖；取到的4个球中有标有“A”“B”“C”三个字的球为三等奖．‎ ‎（1）求分别获得一、二、三等奖的概率；‎ ‎（2）设摸球次数为，求 的分布列和数学期望．‎ ‎18．‎ 在边长为的菱形中，，点 分别是边，的中点，，沿将 ‎ 翻折到，连接，得到如图的五 棱锥，且.‎ ‎（1）求证：平面;‎ ‎（2）求二面角的余弦值.‎ ‎19．‎ 已知等比数列的公比为（），等差数列的公差也为，且．‎ ‎（1）求的值； ‎ ‎（2）若数列的首项为，其前项和为， 当时，试比较与的大小.‎ ‎20．‎ 已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）经过点M(－2，－1)，离心率为．过点M作倾斜角互补的两条直线分别与椭圆C交于异于M的另外两点P、Q．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）试判断直线PQ的斜率是否为定值，证明你的结论．‎ ‎21．‎ 已知函数,． ‎ ‎（1）求函数在上的最小值；‎ ‎（2）若存在是自然对数的底数，，使不等式 成立，求实数的取值范围．‎ 参考答案 一.选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ Cx k b 1 . c o m B C C Dw w w .x k b 1.c o mxkb1.com B D B C A 二、填空题:本大题共5小题， 每小题5分，共25分 ‎11.-6 12. 13. 16 14. 15. ①‎ 三.解答题 ‎ ‎16．解：‎ ‎（1）‎ 增区间为 ‎ ‎（2）由题意可知, ‎ ‎17．解：‎ ‎（1）设“摸到一等奖、二等奖、三等奖”分别为事件A，B，C． ‎ 则 ‎ 三等奖的情况有：“A，A，B，C”；“ A，B，B，C”；“ A，B，C，C”三种情况．‎ ‎ ‎ ‎（2）设摸球的次数为，则1、2、3、4. ‎ ‎， ，，‎ 故取球次数的分布列为 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎ ‎ ‎18．解：‎ ‎（1）‎ ‎（2）设,连接为等边三角形,, 在中,, 在中, 平面BFED ‎ 平面,以为原点, 所在直线为轴, 所在直线轴， 所在直线为轴, 建立空间直角坐标系,则 ‎19．解：‎ ‎（1）由已知可得， ‎ ‎∵是等比数列，∴. ‎ 解得或. ‎ ‎∵， ∴ ‎ ‎(2）由（I）知等差数列的公差为， ‎ ‎∴ ， ‎ ‎， ‎ ‎， ‎ 当时，；当时，；当时，. ‎ 综上，当时，；‎ 当时，；‎ 当时，.‎ ‎20．解：‎ ‎（1）由题设，得＋＝1， ①‎ 且＝， ②‎ 由①、②解得a2＝6，b2＝3， 椭圆C的方程为＋＝1． ‎ ‎（2）记P(x1，y1)、Q(x2，y2)．由题意知，直线MP、MQ的斜率存在．‎ 设直线MP的方程为y＋1＝k(x＋2)，与椭圆C的方程联立，得 ‎(1＋2k2)x2＋(8k2－4k)x＋8k2－8k－4＝0，‎ ‎－2，x1是该方程的两根，则－2x1＝，x1＝．‎ 设直线MQ的方程为y＋1＝－k(x＋2)，‎ 同理得x2＝． ‎ 因y1＋1＝k(x1＋2)，y2＋1＝－k(x2＋2)，‎ 故kPQ＝＝＝＝＝1，‎ 因此直线PQ的斜率为定值．‎ ‎21．解：‎ ‎（1） ‎ 在为减函数，在为增函数 ‎①当时，在为减函数，在为增函数， …… 4分 ‎②当时，在为增函数， ‎ ‎（2）由题意可知，在上有解，即在上有解 令，即 ‎ ‎ ‎ 在为减函数，在为增函数，则在为减函数，在为增函数 …… 13分 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎