高考数学 17-18版 第7章 热点探究训练4

高考数学 17-18版 第7章 热点探究训练4

热点探究训练(四)‎ A组　基础过关 ‎1．(2017·苏州期中)设数列{an}的前n项和为Sn，满足2Sn＝an＋1－2n＋1＋1，且a1，a2＋5，a3成等差数列．‎ ‎(1)求a1，a2的值；‎ ‎(2)求证：数列{an＋2n}是等比数列，并求数列{an}的通项公式．‎ ‎[解]　(1)由已知，得‎2a1＝a2－3　①，‎ ‎2(a1＋a2)＝a3－7　②，‎ 又因为a1，a2＋5，a3成等差数列，‎ 所以a1＋a3＝2a2＋10　③，‎ 解①②③，得a1＝1，a2＝54分 ‎(2)由已知，n∈N＋时，2(Sn＋1－Sn)＝an＋2－an＋1－2n＋2＋2n＋1，‎ 即an＋2＝3an＋1＋2n＋1，‎ 即an＋1＝3an＋2n(n≥2)，8分 由(1)得，a2＝3a1＋2，∴an＋1＝3an＋2n(n∈N＋)．‎ 从而有an＋1＋2n＋1＝3an＋2n＋2n＋1＝3an＋3×2n＝3(an＋2n)．‎ 又a1＋2>0，∴an＋2n>0，∴＝3.‎ ‎∴数列{an＋2n}是等比数列，且公比为3.‎ ‎∴an＋2n＝(a1＋2)×3n－1＝3n，即an＝3n－2n.14分 ‎2．(2017·泰州中学高三模底考试)已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＝t(Sn－an＋1)(t为常数，且t≠0，t≠1)．‎ ‎(1)求{an}的通项公式；‎ ‎(2)设bn＝a＋Sn·an，若数列{bn}为等比数列，求t的值；‎ ‎(3)在满足条件(2)的情形下，设cn＝4an＋1，数列{cn}的前n项和为Tn，若不等式≥2n－7对任意的n∈N＋恒成立，求实数k的取值范围. ‎ ‎【导学号：62172212】‎ ‎[解]　(1)当n＝1时，S1＝t(S1－a1＋1)，得a1＝t.‎ 当n≥2时，由Sn＝t(Sn－an＋1)，即 ‎(1－t)Sn＝－tan＋t，①‎ 得(1－t)Sn－1＝－tan－1＋t，②‎ ‎①－②，得(1－t)an＝－tan＋tan－1，即an＝tan－1，‎ ‎∴＝t(n≥2)，‎ ‎∴{an}是等比数列，且公比是t，∴an＝tn.4分 ‎(2)由(1)知，bn＝(tn)2＋·tn，即bn＝，‎ 若数列{bn}为等比数列，则有b＝b1·b3，‎ 而b1＝2t2，b2＝t3(2t＋1)，b3＝t4(2t2＋t＋1)，‎ 故2＝(2t2)·t4(2t2＋t＋1)，解得t＝，‎ 再将t＝代入bn，得bn＝，‎ 由＝，知{bn}为等比数列，∴t＝.8分 ‎(3)由t＝，知an＝n，∴cn＝4n＋1，‎ ‎∴Tn＝4×＋n＝4＋n－，‎ 由不等式≥2n－7恒成立，得3k≥恒成立，‎ 设dn＝，由dn＋1－dn ‎＝－＝，‎ ‎∴当n≤4时，dn＋1>dn，当n≥4时，dn＋10时，因为an∈Z，则d≥1，且d∈Z，所以数列{an}中必有一项an>0.‎ 为了使得{an}为“等比源数列”，‎ 只需要{an}中存在第n项，第k项(mm>2)，使得S2，Sm－S2，Sn－Sm成等比数列？若存在，求出所有的m，n；若不存在，说明理由．‎ ‎[解]　(1)设数列{an}的公差为d.‎ 因为2a5－a3＝13，S4＝16，‎ 所以解得a1＝1，d＝2，‎ 所以an＝2n－1，Sn＝n2.4分 ‎(2)①当n为偶数时，设n＝2k，k∈N＋，‎ 则T2k＝(a2－a1)＋(a4－a3)＋…＋(a2k－a2k－1)＝2k.‎ 代入不等式λTn<[an＋1＋(－1)n＋1an]·2n－1，得λ·2k<4k，从而λ<.‎ 设f(k)＝，则f(k＋1)－f(k)＝－＝.‎ 因为k∈N＋，所以f(k＋1)－f(k)>0，所以f(k)是递增的，所以f(k)min＝2，‎ 所以λ<2.7分 ‎②当n为奇数时，设n＝2k－1，k∈N＋，‎ 则T2k－1＝T2k－(－1)2ka2k＝2k－(4k－1)＝1－2k.‎ 代入不等式λTn<[an＋1＋(－1)n＋1an]·2n－1，得λ·(1－2k)<(2k－1)4k，‎ 从而λ>－4k.‎ 因为k∈N＋，所以－4k的最大值为－4，所以λ>－4.‎ 综上，λ的取值范围为－4<λ<2.10分 ‎(3)假设存在正整数m，n(n>m>2)，使得S2，Sm－S2，Sn－Sm成等比数列，‎ 则(Sm－S2)2＝S2·(Sn－Sm)，即(m2－4)2＝4(n2－m2)，‎ 所以4n2＝(m2－2)2＋12，即4n2－(m2－2)2＝12，‎ 即(2n－m2＋2)(2n＋m2－2)＝12.‎ 因为n>m>2，所以n≥4，m≥3，所以2n＋m2－2≥15.‎ 因为2n－m2＋2是整数，所以等式(2n－m2＋2)(2n＋m2－2)＝12不成立，‎ 故不存在正整数m，n(n>m>2)，使得S2，Sm－S2，Sn－Sm成等比数列.16分