【数学】2019届一轮复习人教A版 三角函数的图象与性质解三角形 学案

【数学】2019届一轮复习人教A版 三角函数的图象与性质解三角形 学案

考点15 三角函数的图象与性质解三角形 ‎（1）能画出y=sin x，y =cos x，y = tan x的图象，了解三角函数的周期性.‎ ‎（2）理解正弦函数、余弦函数在区间上的性质（如单调性、 最大值和最小值以及与x轴的交点等），理解正切函数在区间内的单调性.‎ ‎（3）了解函数的物理意义；能画出的图象，了解参数对函数图象变化的影响.学—— ‎ ‎（4）了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题.‎ 一、正弦函数,余弦函数,正切函数的图象与性质 函数 图象 定义域 值域 最值 当时，；‎ 当时，．‎ 当时，；‎ 当时，．‎ 既无最大值，也无最小值 周期性 最小正周期为 最小正周期为 最小正周期为 奇偶性 ‎,奇函数 ‎，偶函数 ‎，奇函数 单调性 在上是增函数；‎ 在上是减函数．‎ 在上是增函数；‎ 在上是减函数．‎ 在上是增函数．‎ 对称性 对称中心；‎ 对称轴，‎ 既是中心对称图形又是轴对称图形.‎ 对称中心；‎ 对称轴，‎ 既是中心对称图形又是轴对称图形.‎ 对称中心；‎ 无对称轴，‎ 是中心对称图形但不是轴对称图形.‎ 二、函数的图象与性质 ‎1．函数的图象的画法 ‎（1）变换作图法 由函数的图象通过变换得到（A>0,ω>0）的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.如下图.‎ ‎ ‎ ‎（2）五点作图法 找五个关键点，分别为使y取得最小值、最大值的点和曲线与x轴的交点.其步骤为： ‎ ‎①先确定最小正周期T=,在一个周期内作出图象； ‎ ‎②令,令X分别取0，,,,求出对应的x值，列表如下：‎ 由此可得五个关键点； 学+ ‎ ‎③描点画图，再利用函数的周期性把所得简图向左右分别扩展，从而得到的简图.‎ ‎2．函数（A>0,ω>0）的性质 ‎（1）奇偶性：时，函数为奇函数；时，函数为偶函数. ‎ ‎（2）周期性：存在周期性，其最小正周期为T= .‎ ‎（3）单调性：根据y=sint和t=的单调性来研究，由得单调增区间；由得单调减区间. ‎ ‎（4）对称性：利用y=sin x的对称中心为求解，令，求得x. ‎ 利用y=sin x的对称轴为求解，令，得其对称轴.‎ ‎3．函数（A>0,ω>0）的物理意义 当函数（A>0,ω>0,）表示一个简谐振动量时，则A叫做振幅，T=叫做周期，f =叫做频率,叫做相位，x=0时的相位叫做初相.‎ 三、三角函数的综合应用 ‎（1）函数，的定义域均为；函数的定义域均为.‎ ‎（2）函数，的最大值为，最小值为；函数的值域为.‎ ‎（3）函数，的最小正周期为；函数的最小正周期为．‎ ‎（4）对于，当且仅当时为奇函数，当且仅当时为偶函数；对于，当且仅当时为奇函数，当且仅当时为偶函数；对于，当且仅当时为奇函数． ‎ ‎（5）函数的单调递增区间由不等式 来确定，单调递减区间由不等式来确定；函数的单调递增区间由不等式来确定，单调递减区间由不等式来确定；函数的单调递增区间由不等式来确定．‎ ‎【注】函数，，（‎ 有可能为负数）的单调区间：先利用诱导公式把化为正数后再求解．‎ ‎（6）函数图象的对称轴为，对称中心为；函数图象的对称轴为，对称中心为；函数图象的对称中心为.‎ ‎【注】函数，的图象与轴的交点都为对称中心，过最高点或最低点且垂直于轴的直线都为对称轴. 函数的图象与轴的交点和渐近线与轴的交点都为对称中心，无对称轴.‎ 考向一 三角函数的图象变换 函数图象的平移变换解题策略 ‎（1）对函数y=sin x，y=Asin(ωx＋φ)或y=Acos(ωx＋φ)的图象，无论是先平移再伸缩，还是先伸缩再平移，只要平移|φ|个单位，都是相应的解析式中的x变为x±|φ|，而不是ωx变为ωx±|φ|.‎ ‎（2）注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应用诱导公式化为同名函数再平移.‎ 典例1 将函数图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位得到函数的图象，则在图象的所有对称轴中，离原点最近的对称轴为 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】将函数的图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，得到的图象，‎ 再将所得图象向左平移个单位得到函数的图象，‎ 即，‎ 由，得，‎ 则当时，离原点最近的对称轴方程为，故选A．‎ ‎【名师点睛】（1）进行三角函数的图象变换时，要注意无论进行什么样的变换都是变换变量本身；要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数；‎ ‎（2）在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量而言的，如果的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向．‎ ‎1．已知函数 的部分图象如图所示，是正三角形，为了得到的图象，只需将的图象 A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移1个单位长度 D．向右平移1个单位长度 考向二 确定三角函数的解析式 结合图象及性质求解析式y=Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)的方法 ‎（1）求A，B，已知函数的最大值M和最小值m，则.‎ ‎（2）求ω，已知函数的周期T，则.‎ ‎（3）求φ，常用方法有：学 ‎ ‎①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时，A，ω，B已知)．‎ ‎②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点作为突破口，具体如下：‎ ‎“第一点”(即图象上升时与x轴的交点中距原点最近的交点)为ωx＋φ=0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ=；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ=π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ=‎ ‎；“第五点”为ωx＋φ=2π.‎ 典例2已知函数的部分图象如图.‎ ‎（1）求函数的解析式.‎ ‎（2）求函数在区间上的最值，并求出相应的值.‎ ‎【解析】（1）由图象可知，又，故.‎ 周期，‎ 又，∴.‎ ‎∴‎ ‎∵.‎ 则函数的解析式为.‎ ‎ ‎ ‎2．已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+h(A>0,ω>0,0<φ<)的部分图象如图所示.‎ ‎(1)求函数f(x)的解析式;‎ ‎(2)若将函数f(x)的图象向右平移个单位长度,得到函数g(x)的图象,求函数g(x)的单调递增区间.‎ 考向三 三角函数的性质 ‎1．三角函数定义域的求法 求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解.‎ ‎2．求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目及求解方法 ‎（1）形如y=asinx＋bcosx＋ 的三角函数化为y=Asin(ωx＋φ)＋ 的形式，再求最值(值域)；‎ ‎（2）形如y=asin2x＋bsinx＋ 的三角函数，可先设sinx=t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；‎ ‎（3）形如y=asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c的三角函数，可先设t=sinx±cosx，化为关于t的二次函数求值域(最值)．‎ ‎3．三角函数单调性问题的常见类型及解题策略 ‎（1）已知三角函数解析式求单调区间．①求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”；②求形如y=Asin（ωx＋φ）或y=Acos（ωx＋φ）（其中，ω>0）的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．‎ ‎（2）已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．‎ ‎（3）利用三角函数的单调性求值域（或最值）．形如y=Asin（ωx＋φ）＋b或可化为y=Asin（ωx＋φ）＋b的三角函数的值域（或最值）问题常利用三角函数的单调性解决.‎ ‎4．三角函数的奇偶性、周期性、对称性的处理方法 ‎（1）求三角函数的最小正周期，一般先通过恒等变形化为y=Asin(ωx＋φ)，y=Acos(ωx＋φ)，y=Atan(ωx＋φ)的形式，再分别应用公式T=，T=，T=求解．‎ ‎（2）对于函数y=Asin（ωx＋φ），其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此在判断直线x=x0或点（x0，0）是否为函数的对称轴或对称中心时，可通过检验 f（x0）的值进行判断．‎ ‎（3）若f（x）=Asin（ωx＋φ）为偶函数，则φ= π＋（ ），同时当x=0时，f（x）取得最大或最小值．若f（x）=Asin（ωx＋φ）为奇函数，则φ= π（ ∈ ），同时当x=0时，f（x）=0.‎ 典例3 已知函数.‎ ‎（1）求的最小正周期；‎ ‎（2）若在区间上的最大值与最小值的和为2，求的值.‎ ‎【解析】（1） ，‎ 则.‎ ‎（2）因为，所以.‎ 当，即时，单调递增；‎ 当，即时，单调递减，‎ 所以.‎ 又因为，所以，‎ 故，因此.‎ ‎3．函数的最大值与最小值分别为 A．最大值为，最小值为 B．最大值为，最小值为 C．最大值为2，最小值为 D．最大值为2，最小值为 ‎4．设函数.‎ ‎（1）求的最小正周期；‎ ‎（2）求的单调递增区间；‎ ‎（3）当时，求的最大值和最小值.‎ 典例4 已知函数.‎ ‎（1）求函数图象的对称轴方程；‎ ‎（2）将函数的图象向右平移个单位，所得图象对应的函数为.当时，求函数的值域.‎ ‎【解析】（1）.‎ 令，解得.‎ 故函数图象的对称轴方程为. ‎ ‎5．已知函数f（x）=sin （ω>0）的最小正周期为4π，则 A．函数f（x）的图象关于点对称 B．函数f（x）的图象关于直线x=对称 C．函数f（x）的图象向右平移个单位后，图象关于原点对称 D．函数f（x）在区间（0，π）内单调递增 ‎6．若函数与都在区间上单调递减，则的最大值为 A． B．‎ C． D．‎ 考向四 函数的性质与其他知识的综合应用 与三角恒等变换、平面向量、解三角形相结合的问题 常先通过三角恒等变换、平面向量的有关知识化简函数解析式为y=Asin(ωx＋φ)＋B的形式，再结合正弦函数y=sinx的性质研究其相关性质，若涉及解三角形，则结合解三角形的相关知识求解．‎ 典例5 已知向量，函数（）的最小正周期是.‎ ‎（1）求的值及函数的单调递减区间；‎ ‎（2）当时,求函数的值域.‎ ‎【解析】（1） ，又的最小正周期为，∴.‎ ‎∴.‎ 令，得，‎ ‎∴函数的单调递减区间为.‎ ‎（2）∵，∴，∴,‎ 故的值域为.‎ 典例6 已知函数.‎ ‎（1）求函数的单调递增区间；‎ ‎（2）在中，内角，，所对的边分别为，，，且角满足，若，边上的中线长为，求的面积.‎ ‎（2），，‎ 因为，所以，，‎ 所以，则，‎ 又上的中线长为，所以，‎ 所以，即，‎ 所以，①‎ 由余弦定理得，所以，②‎ 由①②得：，‎ 所以.‎ ‎7．已知向量，函数的最大值为.‎ ‎（1）求函数的单调递减区间；‎ ‎（2）在中，内角的对边分别为，若恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎1．下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的函数是 A． B． ‎ C． D．‎ ‎2．函数f(x)=cos2x＋2sinx的最大值与最小值的和是 A．−2　　　 B．0‎ C．　　　 D．‎ ‎3．函数的单调减区间为 A． B．‎ C． D．‎ ‎4．设函数，，其中，．若，，且的最小正周期大于，则 A．， B．， ‎ C．， D．，‎ ‎5．已知函数（，），其图象相邻两条对称轴之间的距离为，将函数的图象向左平移个单位后，得到的图象关于轴对称，那么函数的图象 A．关于点对称 B．关于点对称 C．关于直线对称 D．关于直线对称 ‎6．函数（，）的部分图象如图所示，将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若函数在区间()上的值域为，则等于 A． B． ‎ C． D．‎ ‎7．已知函数的最小正周期为，且，则 ‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎8．若函数的最大值为，则的最小正周期为__________．‎ ‎9．已知函数，，直线与、的图象分别交于、 两点，则的最大值是________．‎ ‎10．函数的最大值是__________．‎ ‎11．将函数的图象向左平移个单位长度，得到偶函数的图象，则的最大值是__________．学+ ‎ ‎12．已知函数，若，则__________．‎ ‎13．设函数.‎ ‎（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；‎ ‎（2）当时，求函数的最大值.‎ ‎14．已知函数 .‎ ‎（1）求函数的单调递减区间；‎ ‎（2）若的内角，，所对的边分别为，，，，，，求.‎ ‎15．已知向量，，设函数．‎ ‎（1）若函数的图象关于直线对称，且时，求函数的单调增区间；‎ ‎（2）在（1）的条件下，当时，函数有且只有一个零点，求实数的取值范围．‎ ‎16．已知函数的图象经过点.‎ ‎（1）求的值，并求函数的单调递增区间；‎ ‎（2）若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎1．（2018天津理 ）将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数 ‎ A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减 C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递减 ‎2．（2017新课标全国Ⅰ理 ）已知曲线C1：y=cos x，C2：y=sin (2x+)，则下面结论正确的是 A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2‎ B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2‎ C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2‎ D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2‎ ‎3．（2017新课标全国Ⅲ理 ）设函数，则下列结论错误的是 A．的一个周期为 B．的图象关于直线对称 C．的一个零点为 ‎ D．在(,)单调递减 ‎4．（2018北京理 ）设函数f（x）=，若对任意的实数x都成立，则ω的最小值为__________．‎ ‎5．（2018新课标全国Ⅲ理 ）函数在的零点个数为________．‎ ‎6．（2017新课标全国Ⅱ理 ）函数()的最大值是 .‎ ‎7．（2017浙江）已知函数．‎ ‎（1）求的值．‎ ‎（2）求的最小正周期及单调递增区间．‎ ‎8．（2017江苏）已知向量 ‎（1）若a∥b，求的值；‎ ‎（2）记，求的最大值和最小值以及对应的的值．‎ 变式拓展 ‎1．【答案】C ‎【解析】，由是正三角形可知，则.令，代入可得，解得.故选C.‎ ‎2．【解析】(1)由函数的图象可知,,解得.‎ 设函数f(x)的最小正周期为T,则由题意得-,所以T=π,‎ 所以=π,解得ω=2.‎ 因为函数f(x)的图象过点(,2),且0<φ<,‎ 所以2=sin(2×+φ)+1,解得φ=.‎ 所以函数f(x)的解析式为f(x)=sin(2x+)+1.‎ ‎3．【答案】B ‎【解析】由题意，知，，∴ ，∴当时，，当时，.故选B．‎ ‎4．【解析】（1）∵函数，‎ 故它的最小正周期为.‎ ‎（2）令，求得，‎ 故函数的单调递增区间为，.‎ ‎（3）当时，，∴，‎ 故当时，函数取得最小值，为-1，‎ 当时，函数取得最大值，为2.‎ ‎5．【答案】C ‎【解析】因为函数的最小正周期T==4π，所以ω=，所以f（x）=sin.‎ 因为=sin=sin=，所以A，B错误．‎ 将函数f（x）的图象向右平移个单位后得到g（x）=sin=sin的图象，关于原点对称，所以C正确．‎ 由−＋2 π≤x＋≤＋2 π（ ），得−＋4 π≤x≤＋4 π（ ），所以f（x）=sin的单调递增区间为， ，所以D错误．‎ 故选C.‎ ‎6．【答案】B 对于函数，令，解得,‎ 当时，令，则.‎ 对于函数，令，解得，‎ 当时，令，则.‎ 易得当函数与均在区间上单调递减时，的最大值为，的最小值为，‎ 所以的最大值为，故选B．‎ ‎7．【解析】（1）函数+‎ ‎，‎ 因为的最大值为2，‎ 所以解得.则，‎ 由，可得：，，‎ 所得函数的单调减区间为.‎ ‎（2）由，可得，即.‎ 解得，即.‎ 因为，‎ 所以，，‎ 因为恒成立，‎ 所以恒成立，即.‎ 所以实数的取值范围是.‎ 考点冲关 ‎1．【答案】D ‎【解析】观察各选项可知，最小正周期为的函数有A、B、D，在上有增有减，在上是增函数，在上是减函数．故选D．‎ ‎3．【答案】B ‎【解析】由对数函数的定义域和复合函数的单调性可知，‎ ‎，所以有，，‎ 即，故选B.‎ ‎4．【答案】A ‎5．【答案】B ‎【解析】因为函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为，所以函数的周期为，则，从而，‎ 将函数的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，‎ 由题意知该图象关于轴对称，则，即，‎ 又，则，‎ 令，解得，‎ 当时，得的图象关于点对称，故选B．‎ ‎6．【答案】B ‎【解析】由图象可知，，所以，当（）时，，‎ 因为值域里有，所以，，选B.‎ ‎【名师点睛】本题学生容易经验性的认为,但此时在内无解，所以.已知函数的图象求解析式：‎ ‎(1).‎ ‎(2)由函数的周期求 ‎(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求，一般用最高点或最低点求.‎ ‎7．【答案】B ‎【解析】函数 ‎，其中，‎ 所以的最小正周期为，解得，‎ 所以，‎ 又，即，即，‎ 所以，故选B．‎ ‎8．【答案】‎ ‎【解析】∵函数的最大值为 因此的最小正周期为 ‎9．【答案】‎ ‎【解析】 ，的最大值是.‎ ‎【名师点睛】三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为的形式再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．‎ ‎10．【答案】‎ ‎【解析】因为，‎ 所以 即最大值是.‎ ‎11．【答案】‎ ‎12．【答案】‎ ‎【解析】因为周期，所以.‎ 因为，，‎ 所以为相邻的对称中心，所以，‎ 所以，所以.‎ 因为，所以，‎ 所以.‎ 因为，所以，所以，‎ 所以.‎ ‎13．【解析】（1）.‎ 则函数的最小正周期为.‎ 令，，‎ 函数的单调递增区间为.‎ ‎（2），，，‎ 故的最大值是3.‎ ‎14．【解析】（1）.‎ 由 ，，‎ 得 ，.‎ ‎∴函数的单调递减区间为，.‎ ‎15．【解析】向量，，‎ 则 ‎,‎ ‎（1）∵函数的图象关于直线对称，‎ ‎∴，解得：，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴，‎ 由，解得：，‎ 故函数的单调增区间为．‎ ‎（2）由（1）知，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴，即时，函数单调递增；‎ ‎，即时，函数单调递减．‎ 又，‎ ‎∴当或时函数有且只有一个零点．‎ 即或，‎ 所以满足条件的．‎ ‎16．【解析】（1）因为经过点，所以，，‎ 因为的单调递增区间为，‎ 所以，‎ 所以，‎ 故的单调递增区间为.‎ ‎（2）由（1）知，‎ 因为，所以，‎ 当，即时，，‎ 因为恒成立即，所以.‎ 直通高考 ‎1．【答案】A ‎【解析】由函数图象平移变换的性质可知：将的图象向右平移个单位长度之后的解析式为.则函数的单调递增区间满足，即，令可得一个单调递增区间为.函数的单调递减区间满足：，即，令可得一个单调递减区间为：.故选A.‎ ‎【名师点睛】本题主要考查三角函数的平移变换，三角函数的单调区间的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎2．【答案】D ‎【解析】因为函数名不同，所以先将利用诱导公式转化成与相同的函数名，则，则由上各点的横坐标缩短到原来的倍变为，再将曲线向左平移个单位长度得到，故选D.‎ ‎【名师点睛】对于三角函数图象变换问题，首先要将不同名函数转换成同名函数，利用诱导公式，需要重点记住；另外，在进行图象变换时，提倡先平移后伸缩，而先伸缩后平移在考试中也经常出现，无论哪种变换，记住每一个变换总是对变量而言.‎ ‎3．【答案】D ‎【解析】函数的最小正周期为，则函数的周期为，取，可得函数的一个周期为，选项A正确；‎ 函数图象的对称轴为，即，取，可得y=f(x)的图象关于直线对称，选项B正确；‎ ‎，函数的零点满足，即，取，可得的一个零点为，选项C正确；‎ 当时，，函数在该区间内不单调，选项D错误.‎ 故选D.‎ ‎【名师点睛】（1）求最小正周期时可先把所给三角函数式化为或的形式，则最小正周期为；奇偶性的判断关键是解析式是否为或的形式.‎ ‎（2）求的对称轴，只需令，求x；求f(x)的对称中心的横坐标，只需令即可.‎ ‎4．【答案】‎ ‎【解析】因为对任意的实数x都成立，所以取最大值，所以，因为，所以当时，ω取最小值为.‎ ‎6．【答案】1‎ ‎【解析】化简三角函数的解析式：‎ ‎，‎ 由自变量的范围：可得：，‎ 当时，函数取得最大值1.‎ ‎【名师点睛】本题经三角函数式的化简将三角函数的问题转化为二次函数的问题，二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法.一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析.‎ ‎7．【解析】（1）由，，．‎ 得．‎ ‎【名师点睛】本题主要考查了三角函数的化简，以及函数的性质，是高考中的常考知识点，属于基础题，强调基础的重要性；三角函数解答题中，涉及到周期，单调性，单调区间以及最值等考点时，都属于考查三角函数的性质，首先应把它化为三角函数的基本形式即，然后利用三角函数的性质求解．‎ ‎8．【解析】（1）因为，，a∥b，所以．‎ 若，则，与矛盾，故．‎ 于是．又，所以．‎ ‎（2）．‎ 因为，所以，从而．‎ 于是，当，即时，取到最大值3；‎ 当，即时，取到最小值．‎