2018-2019学年安徽省阜阳市第三中学高一上学期期末模拟数学试题（解析版）

2018-2019学年安徽省阜阳市第三中学高一上学期期末模拟数学试题（解析版）

‎2018-2019学年安徽省阜阳市第三中学高一上学期期末模拟数学试题 一、单选题 ‎1．若集合，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】先化简集合，再根据集合交集的定义求解.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以．故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了集合的交集运算，A∩B可理解为：集合A和集合B中的所有相同的元素的集合. 一般步骤为：先明确集合，即化简集合，然后再根据集合的运算规则求解.‎ ‎2．已知映射f：P→Q是从P到Q的一个函数，则P，Q的元素（ ）‎ A．可以是点 B．必须是实数 C．可以是方程 D．可以是三角形 ‎【答案】B ‎【解析】根据函数与映射的概念判断.‎ ‎【详解】‎ 函数是一种特殊的映射，其特殊性体现为，对于映射f：A→B，若该映射能构成函数，则集合A，B必须是非空的数集，即A，B的元素必须是实数，‎ 本题中，映射f：P→Q是从P到Q的一个函数，则集合P，Q的元素必须是实数，故选：B ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数与映射的概念，函数是建立在两个非空数集之间的映射，映射是两个集合中的一种的对应关系.‎ ‎3．下列结论，正确的个数为（ ）‎ ‎（1）若都是单位向量，则 ‎（2）物理学中的作用力与反作用力是一对共线向量 ‎（3）方向为南偏西的向量与北偏东的向量是共线向量 ‎（4）直角坐标平面上的轴、轴都是向量 A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【答案】B ‎【解析】若，都是单位向量，则，故不正确；‎ 物理学中的作用力与反作用力是一对大小相等，方向相反的向量，因而它们是一对共线向量，故正确；‎ 方向为南偏西的向量与北偏东的向量在一条直线上，是共线向量，故正确；‎ 直角坐标平面上的轴、轴只有方向，但没有长度，故它们不是向量，故错误；‎ 故选 ‎4．已知，则sin θcos θ的值是(　　)‎ A． B．±‎ C． D．－‎ ‎【答案】C ‎【解析】，所以，‎ 所以。故选C。‎ ‎5．已知定义在上的函数满足，当时，，则当时，（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用函数在定义域上的递推性质，由函数在定义域的函数解析式推导出函数在定义域上的解析式.‎ ‎【详解】‎ 根据得, .‎ 当时,, ,‎ 所以 .‎ 故选D ‎【点睛】‎ 本题考查函数在特定定义域上解析式求解，主要考查了推理能力和运算能力；求函数的解析式常见题型还有以下几种：（1）根据实际应用求函数解析式；（2）换元法求函数解析式，利用换元法一定要注意，换元后参数的范围；（3）待定系数法求函数解析式，这种方法适合求已知函数名称的函数解析式；（4）消元法求函数解析式，这种方法求适合自变量互为倒数或相反数的函数解析式.‎ ‎6．函数的图象大致是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由=0得两个正根和一个负根，所以舍去B,C；因为，所以舍D,选A..‎ ‎7．已知函数满足对任意，都有成立， 则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据题中条件，可以先判断出函数f（x）在R上单调递减，再结合分段函数的解析式，要每一段都是减函数，且分界点时左段函数的函数值要大于等于右段函数的函数值，列出不等关系，求解即可得到a的取值范围．‎ ‎【详解】‎ ‎：∵对任意，都有成立， ∴x1-x2与f（x1）-f（x2）异号， 根据函数单调性的定义，可知f（x）在R上是单调递减函数， ∵函数，‎ ‎∴，解得 ． 故选B.．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数单调性的判断与证明，注意一般单调性的证明选用定义法证明，证明的步骤是：设值，作差，化简，定号，下结论．对于分段函数的问题，一般选用分类讨论和数形结合的思想方法进行求解．属于中档题．‎ ‎8．设均大于1，且，令，则的大小关系是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】解法一:首先利用对数运算性质对已知条件进行化解,令，用k将x、y、z表示出来，然后将a、b、c都24次方后进行比较;‎ 解法二:按题设要求取特殊值代入进行大小比较.‎ ‎【详解】‎ 解法一、‎ ‎ 化解得：‎ 则 ‎ 于是，‎ 故选D.‎ 解法二、‎ 取特殊值法：取符合题意，易验证，‎ 故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了对数运算性质、指数幂运算性质，属于基础题；解题中主要是根据式子结构特征对其进行合理转化，利用幂函数的单调性进行大小比较，对运算能力要求较高，计算中要认真仔细.‎ ‎9．已知是定义在上的奇函数，且对任意的，都有,当时，，则（ ）‎ A．-2 B．-1 C．0 D．1‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据条件判断函数的周期性，利用函数奇偶性和周期性的关系进行转化求解即可 ‎【详解】‎ ‎∵设f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意实数x都有f（x+3）=-f（-x）=f（x）， ∴，函数f（x）是周期为3的周期函数， ∵当时，，‎ ‎ ‎ ‎∴ ，‎ ‎∴f（2019）=f（673×3+0）=f（0）=0 f（2020）=f（673×3+1）=f（1）=0， .‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数值的计算，根据条件判断函数的周期性是解决本题的关键．‎ ‎10．若将函数的图象向右平移个单位长度后，与函数的图象重合，则的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据图象的平移求出平移后的函数解析式，与函数的图象重合，比较系数，求出 ，然后求出ω的最小值．‎ ‎【详解】‎ 向右平移个单位可得： ‎ ‎∴， 又∵ω＞0 ∴ωmin=． 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数的图象的平移，待定系数法的应用，考查计算能力，是基础题，．‎ ‎11．若关于的方程有解，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】令3x=t＞0由条件可得 利用基本不等式和不等式的性质求得实数a的取值范围．‎ ‎【详解】‎ ‎∵ ，令3x=t（t＞0），则 因为，所以∴a+4≤-4， ‎ 所以a的范围为（-∞，-8] 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查指数函数的定义、解析式、定义域和值域、方程有解问题、基本不等式求最值问题，同时考查转化思想和换元法．‎ ‎12．函数在上的所有零点之和等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由，分别作出函数与的图象，由图象可知函数的对称性，利用数形结合求出函数f（x）的所有零点之和．‎ ‎【详解】‎ 由，分别作出函数与的图象如图： 由图可知，函数函数在上的所有零点之和上的所有零点之和等于 ． 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的图象，函数零点知识，考查函数与方程，数形结合的思想，准确画好图，把握图象的对称性是关键，是中档题．‎ 二、填空题 ‎13．（1）函数的图象必过定点，定点坐标为_____．‎ ‎（2）已知函数y＝f(x2－1)的定义域为[－，]，则函数y＝f(x)的定义域为____．‎ ‎【答案】（-1,-1） [-1,2] ‎ ‎【解析】（1）由题意，令x+1=0，即x=-1时，y=1-2=-1；从而求得；‎ ‎（2）根据复合函数定义域之间的关系进行求解即可．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意，令x+1=0，即x=-1时，y=1-2=-1；‎ 故函数的图象必过定点（-1,-1），‎ 故答案为：（-1,-1）．‎ ‎（2）∵函数y=f（x2﹣1）的定义域为[﹣，]，‎ ‎∴﹣≤x≤，‎ 即0≤x2≤3，‎ ‎﹣1≤x2﹣1≤2，‎ 即函数y=f（x）的定义域为[﹣1，2]，‎ 故答案为：[﹣1，2]‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了指数函数的定点问题，考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握复合函数定义域之间的关系．‎ ‎14．已知的终边过点，若，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得的值．‎ ‎【详解】‎ ‎∵的终边过点，若， ‎ ‎．‎ 即答案为-2.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查任意角的三角函数的定义和诱导公式，属基础题.‎ ‎15．如图，扇形的圆心角为，半径长为6，弓形的面积为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由已知利用弧长公式可求弧长，进而可求S扇形OAB，解三角形可求S△OAB，作差即可得解弓形ACB的面积．‎ ‎【详解】‎ 因为： ‎ 所以： ‎ 所以： 的长为4π． 因为： ‎ 如图所示， 有 （D为AB中点） ． 所以：S弓形ACB=S扇形OAB-S△OAB=． 所以：弓形ACB的面积为．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了弧长公式，扇形面积公式，三角形面积公式的综合应用，考查了数形结合扇形，属于基础题．‎ ‎16．若对恒成立，且任意，都有成立，则的取值范围为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用构造思想求解f（x）的解析式，由任意，使得f（x）＞m成立，即 ；即可得m的取值范围．‎ ‎【详解】‎ 由……① 那么……② 由①②解得f（x）=x+log2x ∵任意，使得f（x）＞m成立， 即成立； ∵f（x）=x+log2x在是递增函数， ∴ ； 即 ； 可得m的取值范围． 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数恒成立问题的求解，转化思想的应用，利用单调性求区间内的最值．‎ 三、解答题 ‎17．（1）设全集，都是的子集，，写出所有符合题意的集合.‎ ‎（2）计算：.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）先求得的值，然后结果，可由此列举出集合的所有情况.（2）直接利用对数运算公式化简表达式，求出运算的结果.‎ ‎【详解】‎ 解：（）集合B为 ‎ ‎（） ．‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查集合交集、并集和补集的概念，考查子集的概念和运用，考查对数的运算，属于基础题.‎ ‎18．设函数 ‎ 求函数的定义域、最小正周期、单调区间及对称中心．‎ 求不等式的解集．‎ ‎【答案】(1)见解析;(2)见解析.‎ ‎【解析】试题解析：第一问利用正切函数的性质，求函数的定义域、最小正周期、单调区间及对称中心；第二问由题意， ，可得不等式的解集.‎ 由，得到函数的定义域；‎ 周期；增区间，无减区间；对称中心 ‎ 由题意，，可得不等式的解集 ‎．  ‎ ‎19．已知，，是不共线的三点，且.‎ ‎（1）若，求证：，，三点共线； ‎ ‎（2）若，，三点共线，求证：.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）1‎ ‎【解析】分析：（1）根据向量的和与差计算公式得到，即，进而得到结果；（2）若，，三点共线，存在实数，使，将向量分解得到，根据向量相等得到，再由平面向量基本定理得到系数为0，即可.‎ 详解：‎ ‎（1）若，‎ 则 ‎，‎ ‎∴，‎ 即，∴与共线.‎ 又∵与有公共点，‎ ‎∴，，三点共线.‎ ‎（2）若，，三点共线，‎ 存在实数，使，‎ ‎∴，‎ 又.‎ 故有，‎ 即.‎ ‎∵，，不共线，∴，不共线，‎ ‎∴，∴.‎ 点睛：这个题目考查的是向量基本定理的应用；向量相等的概念。解决向量的小题常用方法有：数形结合，向量的三角形法则，平行四边形法则等；建系将向量坐标化；向量基底化，选基底时一般选择已知大小和方向的向量为基底。‎ ‎20．据气象中心观察和预测：发生于菲律宾的东海面M地的台风,现在已知台风向正南方移动其移动速度与时间的函数图象如图所示，过线段上一点作横轴的垂线，梯形在直线左侧部分的面积即为内台风所经过的路程．‎ ‎（1）当时，求的值，并将随变化的规律用数学关系式表示出来；‎ ‎（2）若N城位于M地正南方向，且距N地，试判断这场台风是否会侵袭到N城，如果会，在台风发生后多少时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）由图象可知：直线的方程是：，直线的方程是：，从而得到当时，求的值，分类讨论：当0≤t≤10时，当10＜t≤20时，当20＜t≤35时即可得到数学关系式；（2）根据t的值对应求S，然后解答．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由图象可知：‎ 直线的方程是：，直线的方程是： ‎ 当时，，所以. ‎ 当时，； ‎ 当时， ‎ 当时，‎ ‎ ‎ 综上可知随变化的规律是 ‎ ‎ ‎（2），‎ ‎， ‎ ‎, ‎ 当时，令，解得，（舍去）‎ 即在台风发生后30小时后将侵袭到城.‎ ‎【点睛】‎ 解决函数模型应用的解答题，还有以下几点容易造成失分：①读不懂实际背景，不能将实际问题转化为函数模型．②对涉及的相关公式，记忆错误．③在求解的过程中计算错误.另外需要熟练掌握求解方程、不等式、函数最值的方法，才能快速正确地求解．含有绝对值的问题突破口在于分段去绝对值，分段后在各段讨论最值的情况.‎ ‎21．已知函数.‎ ‎（1）若点是函数图像的一个对称中心，且，求函数在上的值域；‎ ‎（2）若函数在上单调递增，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）； （2）.‎ ‎【解析】（1）由，可得，，结合，得，所以，由，利用正弦定理的单调性可得函数在上的值域；（2）令，解得，‎ 由函数在上单调递增，可得，列不等式求解即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意得：，∴，，‎ ‎∵，∴，∴，‎ ‎∵，∴，∴，‎ 故函数在上的值域为.‎ ‎（2）令，解得，‎ ‎∵函数在上单调递增，∴，，‎ ‎∴，即，‎ 又，∴，∴，∴，‎ ‎∴，即的取值范围为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查三角函数的单调性、三角函数的图象对称性，属于中档题.函数的单调区间的求法：(1) 代换法：①若,把 看作是一个整体，由 求得函数的减区间，求得增区间；②若,则利用诱导公式先将的符号化为正，再利用①的方法，或根据复合函数的单调性规律进行求解；(2) 图象法：画出三角函数图象，利用图象求函数的单调区间.‎ ‎22．若函数满足对其定义域内任意成立，则称为 “类对数型”函数.‎ ‎（1）求证：为 “类对数型”函数；‎ ‎（2）若为 “类对数型”函数，‎ ‎（i）求的值；‎ ‎（ii）求的值.‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）（i）；（ii）.‎ ‎【解析】（1）任取代入的表达式，利用对数运算公式来化简，由此证明为类对数型函数.（2）（i）令，代入，可求得的值.（2）令，即互为倒数，代入，可求得互为倒数的自变量，会使，由此求得表达式的值.‎ ‎【详解】‎ 解：(1)证明：‎ ‎ ‎ 成立，‎ 所以为 “类对数型”函数； ‎ ‎（2）（i）‎ ‎ 令，有 ‎∴‎ ‎（ii）令，则有 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查对新定义函数的理解，考查倒序相加求和法.对于一个新定义的问题，首先要把握的就是新定义本身所包含的数学知识，也就是说，将一个新定义的问题，转化为我们所学过的知识来解决.对于有规律的一列数求和，要想办法找到这个规律，以此为突破口解题.‎