山东省济南市章丘区第四中学2019-2020学年高二下学期第三次月考（4月）数学试题
章丘四中·第三次网上教学质量评估数学
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的.
1. 是虚数单位，若复数 ，则 的虚部为（ ）
A. B. 0 C. D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】
利用复数的代数形式的运算法则直接求解．
【详解】解： 是虚数单位，
复数 ，
虚部为 ．
故选： ．
【点睛】本题考查复数的虚部的求法，考查复数的运算法则等基础知识，考查运算求解能力，
属于基础题．
2.已知两个异面直线的方向向量分别为 ， ，且| |＝| |＝1， • ，则两直线的夹
角为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先求出向量 的夹角，再利用异面直线角的定义直接求解即可
【 详 解 】 设 两 直 线 的 夹 角 为 θ， 则 由 题 意 可 得 1×1×cos ， ， ∴cos ，
，
∴ ， ，∴θ ，
故选： ．
的
i 2
1z i
= − z
1− i−
i
2 2( 1) 2( 1) 11 ( 1)( 1) 2
i iz ii i i
+ += = = = − −− − + −
z∴ 1−
A
a b a b a 1
2b = −
30° 60°
120° 150°
,a b
a＜ 1
2b = −＞ a＜
1
2b = −＞
a＜ 2
3b
π=＞
3
π=
B
【点睛】本题主要考查两个向量的数量积的定义，注意两直线的夹角与 ， 的关系，属
于基础题．
3.在 的展开式中，记 项的系数为 ，则 ＋ ＋
＋ ＝( )
A. 45 B. 60 C. 120 D. 210
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意依次求出 x3y0，x2y1，x1y2，x0y3，项的系数，求和即可．
【详解】（1+x）6（1+y）4 的展开式中，含 x3y0 的系数是： =20．f（3，0）=20；
含 x2y1 的系数是 =60，f（2，1）=60；
含 x1y2 的系数是 =36，f（1，2）=36；
含 x0y3 的系数是 =4，f（0，3）=4；
∴f（3，0）+f（2，1）+f（1，2）+f（0，3）=120．
故选 C．
【点睛】本题考查二项式定理系数的性质，二项式定理的应用，考查计算能力．
4.设函数 是奇函数 （ ）的导函数， ，当 时，
，则使得 成立的 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】构造新函数 , ，当 时 .
所以在 上 单减，又 ，即 .
a＜ b＞
6 4(1 ) (1 )x y+ + m nx y ( , )f m n (3,0)f (2,1)f (1,2)f
(0,3)f
3 0
6 4C C⋅
2 1
6 4C C⋅
1 2
6 4C C⋅
0 3
6 4C C⋅
'( )f x ( )f x x∈R ( 1) 0f − = 0x >
'( ) ( ) 0xf x f x− < ( ) 0f x > x
( , 1) (0,1)−∞ − ( 1,0) (1, )- È +¥
( , 1) ( 1,0)−∞ − − (0,1) (1, )∪ +∞
( ) ( )f xg x x
= ( ) ( ) ( )
2' xf x f xg x x
−= ′
0x > ( )' 0g x <
( )0, ∞+ ( ) ( )f xg x x
= ( )1 0f = ( )1 0g =
所以 可得 ,此时 ，
又 为奇函数，所以 在 上的解集为： .
故选 A.
点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，需要构造函数，例如 ，想到
构造 .一般：（1）条件含有 ，就构造 ,（2）若
，就构造 ，（3） ，就构造 ，（4）
就构造 ，等便于给出导数时联想构造函数.
5.若 5 个人按原来站的位置重新站成一排，恰有两人站在自己原来的位置上的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意，分 2 步分析：①先从 5 个人里选 2 人，其位置不变，其余 3 人都不在自己原来的
位置，②分析剩余的 3 人都不在自己原来位置的站法数目，由分步计数原理计算可得答案.
【详解】根据题意，分 2 步分析：
①先从 5 个人里选 2 人，其位置不变，有 种选法，
②对于剩余的三人，因为每个人都不能站在原来的位置上，
因此第一个人有两种站法，
被站了自己位置的那个人只能站在第三个人的位置上，
因此三个人调换有 2 种调换方法，
故不同的调换方法有 种.而基本事件总数为 ,
所以所求概率为 ，
故选 C.
( ) ( )
0f xg x x
= > 0 1x< < ( ) 0f x >
( )f x ( ) 0f x > ( ) ( ),0 0,−∞ ∪ +∞ ( ) ( ), 1 0,1−∞ − ∪
( ) ( )xf x f x′ −
( ) ( )f xg x x
= ( ) ( )f x f x′+ ( ) ( )xg x e f x=
( ) ( )f x f x− ′ ( ) ( )
x
f xg x e
= ( ) ( )2 f x f x+ ′ ( ) ( )2xg x e f x=
( ) ( )2 f x f x− ′ ( ) ( )
2x
f xg x e
=
1
2
1
4
1
6
1
8
2
5 10C =
10 2 20× = 5
5 120A =
20 1
120 6
=
【点睛】该题考查的是有关古典概型求概率的问题，涉及到的知识点有分步计数原理，排列
组合的综合应用，古典概型概率求解公式，属于简单题目.
6.已知 是函数 的导函数， ，则 ( )
A. B. C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】
对函数 进行求导，令 ，求出 ，进而求出 即可求解.
【详解】因为函数 ，所以 ，
当 时， ，解得 ，
所以 ，所以 .
故选：C
【点睛】本题考查基本初等函数的导数公式；考查运算求解能力；熟练掌握基本初等函数的
导数公式是求解本题的关键；属于基础题.
7.已知函数 在 上有两个零点，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
对函数求导，对 a 分类讨论，分别求得函数 的单调性及极值，结合端点处的函数值进行
判断求解.
【详解】∵ ， .
当 时， ， 在 上单调递增，不合题意.
当 时， ， 在 上单调递减，也不合题意.
( )f x′ ( )f x ( ) sin 2 (0)f x x xf ′= +
2f
π =
′
1
2
1
2
− 2−
( )f x 0x = ( )0f ′ ( )f x′
( ) sin 2 (0)f x x xf ′= + ( ) ( )cos 2 0f x x f′ ′= +
0x = ( ) ( )0 cos0 2 0f f′ ′= + ( )0 1f ′ = −
( ) cos 2f x x′ = − cos 2 22 2f
π π ′ = − = −
( ) ln af x x ax
= − + [ ]1,ex∈ a
e , 11 e
− −
e ,11 e
−
e , 11 e
− −
[ )1,e−
( )f x
( ) 2
1 af x x x
+′ = = 2
x a
x
+ [ ]1,ex∈
1a ≥ − ( ) 0f x′ ≥ ( )f x [ ]1,e
a e≤ − ( ) 0f x′ ≤ ( )f x [ ]1,e
当 时，则 时， ， 在 上单调递减，
时， ， 在 上单调递增，又 ，所以 在 上有两个
零点，只需 即可，解得 .
综上， 的取值范围是 .
故选 C.
【点睛】本题考查了利用导数解决函数零点的问题，考查了函数的单调性及极值问题，属于
中档题．
8.如图在正方体 中，点 为线段 的中点. 设点 在线段 上，直线
与平面 所成的角为 ，则 的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】设正方体的棱长为 ，则 ，
所 以 ，
.
1e a− < < − [ )1,x a∈ − ( ) 0f x′ < ( )f x [ )1, a− ( ],ex a∈ −
( ) 0f x′ > ( )f x ( ],a e− ( )1 0f = ( )f x [ ]1,ex∈
( ) 1 0af e ae
= − + ≥ 11
e ae
≤ < −−
a e , 11 e
− −
1 1 1 1ABCD A B C D− O BD P 1CC
OP 1A BD α sinα
3[ ,1]3
6[ ,1]3
6 2 2[ , ]3 3
2 2[ ,1]3
1 1 1 1 1 1
1 3 12, 3, 1 ,2 2 2AC AC AO OC OC= = = = + = =
1 1 1 1
3 3 2 1 2 22 2cos ,sin3 3 32 2
AOC AOC
+ −
∠ = = ∠ =
×
1 1
3 1 3 3 62 2cos ,sin3 332 2
AOC AOC
+ −
∠ = = − ∠ =
×
又直线与平面所成的角小于等于 ，而 为钝角，所以 的范围为 ，选 B.
【考点定位】空间直线与平面所成的角.
二、多选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个选项中，
有多项是符合题目要求的.全部选对得 5 分，部分选对得 3 分，有选错的得 0 分.
9.关于 的说法，正确的是( )
A. 展开式中的二项式系数之和为 2048
B. 展开式中只有第 6 项的二项式系数最大
C. 展开式中第 6 项和第 7 项的二项式系数最大
D. 展开式中第 6 项的系数最小
【答案】ACD
【解析】
【分析】
根据二项式系数的性质即可判断选项 A；
由 为奇数可知，展开式中二项式系数最大项为中间两项，据此即可判断选项 BC；
由展开式中第 6 项的系数为负数，且其绝对值最大即可判断选项 D.
【详解】对于选项 A：由二项式系数的性质知， 的二项式系数之和为 ，
故选项 A 正确；
因为 的展开式共有 项，中间两项的二项式系数最大，即第 6 项和第 7 项的二项式
系数最大，故选项 C 正确，选项 B 错误；
因为展开式中第 6 项的系数是负数，且绝对值最大，所以展开式中第 6 项的系数最小，故选
项 D 正确；
故选：ACD
【点睛】本题考查利用二项式定理求二项展开式的系数之和、系数最大项、系数最小项及二
项式系数最大项；考查运算求解能力；区别二项式系数与系数是求解本题的关键；属于中档
题、常考题型.
10.已知函数 ，下列结论中正确的是( )
90 1AOC∠ sinα 6[ ,1]3
11( )a b−
n
11( )a b− 112 2048=
11( )a b− 12
3 2( )f x x ax bx c= + + +
A. ，
B. 函数 的图象一定关于原点成中心对称
C. 若 是 的极小值点，则 在区间 单调递减
D. 若 是 的极值点，则
【答案】AD
【解析】
【分析】
对于选项 A：利用零点存在性定理判断即可；
对于选项 B：利用函数图象成中心对称的定义进行判断即可；
对于选项 C：采取特殊函数方法，若取 ，则 ，利用导
数判断函数 的单调性和极值即可；
对于选项 D：根据导数的意义和极值点的定义即可判断.
【详解】对于选项 A：因为当 时， ，当 时， ，由
题意知函数 为定义在 上的连续函数，所以 ， ，故选项 A 正确；
对于选项 B：因为
， ，
所以 ，即点 为函数 的对称中心，
当 时，函数 的图象不关于原点对称，故选项 B 错误；
对于选项 C：若取 ，则 ，所以 ，
由 可得， 或 ，由 可得， ，
所以函数 的单调增区间为 ，减区间为 ，
所以 为函数 的极小值点，但 在区间 并不是单调递减，故选项 C 错误；
0x R∃ ∈ ( )0 0f x =
( )y f x=
0x ( )f x ( )f x ( )0, x−∞
0x ( )f x ( )0 0f x′ =
1, 1, 0a b c= − = − = ( ) 3 2f x x x x−= −
( )f x
x → +∞ ( )f x → +∞ x → −∞ ( )f x → −∞
( )f x R 0x R∃ ∈ ( )0 0f x =
( ) 3 22 2 2 2
3 3 3 3
a a af x f x x a x b a x c − − + = − − + − − + − − +
3
3 2 4 2 29 3
a abx ax bx c c+ + + + = − +
32
3 9 3
a a abf c − = − +
( )2 23 3
a af x f x f − − + = − ,3 3
a af
− −
( )f x
0a ≠ ( )y f x=
1, 1, 0a b c= − = − = ( ) 3 2f x x x x−= − ( ) 23 2 1f x x x′ = − −
( ) 0f x′ > 1x > 1
3x < − ( ) 0f x′ < 1 13
− <
AD A BAD A B
AD A B
⋅ −= = = −
×
，
1AD
1A B 120°
1AB AA⊥
1 0AB AA⋅ =
1| | | 0 | 0AB AA AD AD⋅ ⋅ = ⋅ =
( ) 3xf x e x= ⋅
( )f x R ( ) ( )1
2
5log 2 lnf f e f π− < <
( ) 1f x = − k ( )f x kx=
4
求导得到函数的单调性得到 错误；判断 得到 正确；根
据 得到 正确；构造函数 ，画出函数图象知 正确，得到答
案.
【详解】 ，则 ，
故函数在 上单调递减，在 上单调递增， 错误；
，根据单调性知 ， 正确；
， ，故方程 有实数解， 正确；
，易知当 时成立，当 时， ，设 ，
则 ，故函数在 上单调递增，在 上单调递减，
在 上单调递增，且 .
画出函数图象，如图所示：当 时有 3 个交点.
综上所述：存在实数 ，使得方程 有 个实数解， 正确；
故选： .
【点睛】本题考查了函数的单调性，比较函数值大小，方程解的个数，意在考查学生对于函
数知识的综合应用.
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13.一个袋子中有 3 个白球，2 个红球，每次从中任取 2 个球，取出后再放回，则第 1 次取出
A
1
2
5
1 10 log 2 , l 12 2 , n1e π−< < < >< B
( ) 3
273 1f e
− = − < − C ( ) 2xg x e x= D
( ) 3xf x e x= ⋅ ( ) ( )3 2 2' 3 3x x xf x e x e x x e x= ⋅ ⋅ = ++
( ), 3−∞ − ( )3,− +∞ A
1
2
5
1 10 log 2 , l 12 2 , n1e π−< < < >< ( ) ( )1
2
5log 2 lnf f e f π− < <
B
( )0 0f = ( ) 3
273 1f e
− = − < − ( ) 1f x = − C
( )f x kx= 0x = 0x ≠ ( ) 2xf xk e xx
= = ( ) 2xg x e x=
( ) ( )' 2xg x e x x= + ( )0, ∞+ ( )2,0−
( ), 2−∞ − ( ) 2
42g e
− =
2
40 k e
< <
k ( )f x kx= 4 D
BCD
的 2 个球 1 个是白球，1 个是红球，第 2 次取出的 2 个球都是白球的概率为______________.
【答案】
【解析】
【分析】
分别求解第 1 次和第 2 次的概率，结合事件的独立性可得.
【详解】记“第 1 次取出的 2 个球中 1 个是白球，1 个是红球”为事件 ，“第 2 取出的 2 个
球 都 是 白 球 ” 为 事 件 ， 则 ， ， 则
.
故答案为： .
【点睛】本题主要考查相互独立事件同时发生的概率，利用独立事件的乘法公式可求，侧重
考查数学运算的核心素养.
14.从 6 男 2 女共 8 名学生中选出队长 1 人，副队长 1 人，普通队员 2 人，组成 4 人服务队，
要求服务队中至少有 1 名女生，共有__________种不同的选法．（用数字作答）
【答案】660
【解析】
【详解】第一类，先选 女 男，有 种，这 人选 人作为队长和副队有
种，故有 种；第二类，先选 女 男，有 种，这 人选 人作为队
长和副队有 种，故有 种，根据分类计数原理共有 种，
故答案为 .
15.已知函数 图象过点 ，若函数 在 上是增函数，则实
数 的取值范围为_______.
【答案】
【解析】
【分析】
把点 代入函数 的解析式，利用导数求出函数 的单调递增区间使 为
所求增区间的子集，列出关于 的不等式即可求解.
9
50
A
C ( ) 1 1
3 2
2
5
3
5
C CP A C
= = ( ) 2
3
2
5
3
10
CP C C
= =
( ) ( ) ( ) 9
50P AC P A P C= =
9
50
1 3 3 1
6 2 40C C = 4 2 2
4 12A =
40 12 480× = 2 2 2 2
6 2 15C C = 4 2
2
4 12A = 15 12 180× = 480 180 660+ =
660
( )2( ) xf x x a e−= − ( 3,0) ( )f x ( , 1)m m +
m
[ 1,2]−
( 3,0) ( )f x ( )f x ( , 1)m m +
m
【详解】因为函数 的图象过点 ，
所以 ，解得 ，
所以函数 ， ，
由 可得， ，
所以函数 的单调递增区间为 ，
因为函数 在 上是增函数，
所以 ，解得 ，
所以实数 的取值范围为 .
故答案为：
【点睛】本题考查函数解析式的求解、利用导数判断函数的单调性求参数的取值范围；考查
运算求解能力；熟练掌握利用导数判断函数的单调性是求解本题的关键；属于中档题.
16.正方体 的棱长为 2, 是它的内切球的一条弦(我们把球面上任意两点
之间的线段称为球的弦), 为正方体表面上的动点,当弦 的长度最大时, 的取值
范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】
由弦 的长度最大可知 为球的直径.由向量的线性运用 表示出 ，即可由
( )2( ) xf x x a e−= − ( 3,0)
3 0a− = 3a =
( ) ( )2 3 xf x x e−= − ( ) ( )( )3 1 xf x x x e−′ = − − +
( ) 0f x′ ≥ 1 3x− ≤ ≤
( )f x [ ]1,3−
( )f x ( , 1)m m +
1
1 3
m
m
≥ −
+ ≤ 1 2m− ≤ ≤
m [ 1,2]−
[ 1,2]−
1 1 1 1ABCD A B C D− MN
P MN PM PN⋅
[0,2]
MN MN PO PM PN⋅
范围求得 的取值范围.
【详解】连接 ，如下图所示：
设球心为 ,则当弦 的长度最大时， 为球的直径，
由向量线性运算可知
正方体 的棱长为 2，则球的半径为 1， ，
所以
，
而
所以 ，
即
故答案为： .
【点睛】本题考查了空间向量线性运算与数量积的运算，正方体内切球性质应用，属于中档
题.
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演
PO PM PN⋅
PO
O MN MN
( )( )OMPM PN PO PO ON⋅ = + +
2
PO PO O OM ON PO M ON= + ⋅ + ⋅ + ⋅
( )2
PO PO ON OM ONOM= + ⋅ + + ⋅
1 1 1 1ABCD A B C D− 0, 1OM OON OM N+ = ⋅ = −
( )2
OMPO PO ON ONOM+ ⋅ + + ⋅
2
1PO= −
1, 3PO ∈
[ ]2
1 0,2PO − ∈
[ ]0,2PM PN⋅ ∈
[ ]0,2
算步骤.
17.已知 为复数， 和 均为实数，其中 是虚数单位.
(1)求复数 和 ；
(2)若 在第四象限，求 的取值范围.
【答案】（Ⅰ） ， （Ⅱ） 或
【解析】
【试题分析】（1）依据题设建立方程求出 ，再求其模；
（2）先求出 ，再建立不等式求解：
（Ⅰ）设 ，则
（Ⅱ）
或
点睛：本题旨在考查复数的有关概念及加减乘除等基本运算等有关知识的综合运用．求解时
先 ，然后依据题设建立方程求出 ，
再求其模 ；第二问时先求出 ，再建立不等式组
求解得 或 而获解.
18.2018 年国际乒联总决赛在韩国仁川举行，比赛时间为 12 月 13﹣12 月 16 日，在男子单打
项目，中国队准备选派 4 人参加.已知国家一线队共 6 名队员，二线队共 4 名队员.
（1）求恰好有 3 名国家一线队队员参加比赛的概率；
z 2z i+
2
z
i− i
z z
1
1 7
1 2z z im m
= + −− + m
4 2iz = − 2 5.z = 32 4m− < < 31 .2m< <
4 2 4 2ia b z， ，进而求得= = − = −
1
1 74 2 i1 2z m m
= + + − − +
( )i ,z a b a b R= + ∈ 2 0, 2.b b+ = = −
2 2 4 4i 0 4, 4 2i2 i 5 5 5
z a a a a z
+ − −= + ⇒ = ⇒ = = −−
2 5.z =
1
14 01 7 14 2 i { 71 2 2 02
mz m m
m
+ > −= + + − ⇒ ⇒ − + − <+
32 4m− < < 31 .2m< <
( )i ,z a b a b R= + ∈设 4 2 4 2ia b z， ，进而求得= = − = −
2 5.z = 1
1 74 2 i1 2z m m
= + + − − +
14 01{ 72 02
m
m
+ >−
− <+
32 4m− < < 31 .2m< <
（2）设随机变量 表示参加比赛的国家二线队队员的人数，求 的分布列.
【答案】（1） ；（2）分布列见解析.
【解析】
【分析】
（1）利用组合数公式求出总的基本事件数和恰好有 3 名国家一线队队员参加比赛包含的基本
事件数，代入古典概型概率计算公式求解即可；
（2）由题意知， 的取值为 0，1，2，3，4，利用组合数公式和古典概型概率概率计算公式
分别求出对应的概率即可求解.
【详解】（1）由题意知，总的基本事件数为 ，
恰好有 3 名国家一线队队员参加比赛包含的基本事件数为 ，
恰好有 3 名国家一线队队员参加比赛的概率 .
（2） 的取值为 0，1，2，3，4，
，
，
，
，
，
的分布列为：
0 1 2 3 4
【点睛】本题考查利用组合数公式求古典概型概率和离散型随机变量的分布列；考查运算求
X X
8
21
X
4
10n C=
3 1
6 4m C C=
3 1
6 4
4
10
8
21
m C CP n C
= = =
X
4
6
4
10
1( 0) 14
CP X C
= = =
3 1
6 4
4
10
8( 1) 21
C CP X C
= = =
2 2
6 4
4
10
3( 2) 7
C CP X C
= = =
1 3
6 4
4
10
4( 3) 35
C CP X C
= = =
4
4
4
10
1( 4) 210
CP X C
= = =
X∴
X
P
1
14
8
21
3
7
4
35
1
210
解能力；熟练掌握组合数公式和古典概型概率计算公式是求解本题的关键；属于中档题、常
考题型.
19.已知函数 .
（1）若 时，判断 的单调性；
（2）若 ，求 在 上的最小值.
【答案】（1） 在 上单调递增，在 上单调递减；（2） .
【解析】
【分析】
（1）对函数 进行求导，利用导数判断函数的单调性即可；
（2）对函数 进行求导，利用导数判断函数的单调性求给定区间上的最值即可.
【详解】（1）当 时， ， ，
则 ，由 ，得 ，
令 ，得 ，所以函数 在 上单调递增；
令 ，得 ，所以函数 在 上单调递减.
（2）因为 ，
则 ，由 ，得 ，
当 时， ；当 时， ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
因为 ，所以 ，
由于 ，所以当 时，函数 取得最小值为
，
所以函数 在 上的最小值为 .
【点睛】本题考查利用导数判断函数的单调性求函数的极值、最值；考查运算求解能力；利
用导数判断函数的单调性是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.
( ) ln ( 1)f x x x a x= − −
1a = ( )f x
(1,2)a∈ ( )f x [1, ]e
( )f x (1, )+∞ (0,1) 1aa e −−
( )f x
( )f x
1a = ( ) ln 1f x x x x= − + (0, )x∈ +∞
( ) lnf x x′ = ( ) 0f x′ = 1x =
( ) 0f x′ > 1x > ( )y f x= (1, )+∞
( ) 0f x′ < 0 1x< < ( )y f x= (0,1)
( ) ln ( 1)f x x x a x= − −
( ) ln 1f x x a′ = + − ( ) 0f x′ = 1ax e −=
10 ax e −< < ( ) 0f x′ < 1ax e −> ( ) 0f x′ >
( )y f x= ( )10, ae − ( )1,ae − +∞
(1,2)a∈ 11 ae e−< <
[1,e]x∈ 1ax e −= ( )y f x=
( ) ( )1 1 1 1 1 1 1ln 1 ( 1)a a a a a a af e e e a e a e ae a a e− − − − − − −= − − = − − + = −
( )y f x= [1, ]e ( )1 1a af e a e− −= −
20.已知在 的展开式中，第 6 项的系数与第 4 项的系数之比是 .
（1）求展开式中 的系数；
（2）求展开式中系数绝对值最大的项；
（3）求 的值.
【答案】（1） ；（2） ；（3） .
【解析】
【分析】
（1）利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，求出展开式中的第 6 项的系数与第 4 项
的系数，列出方程求出 的值，代入二项展开式的通项公式即可求解；
（2）利用两边夹定理，设第 项系数的绝对值最大，列出关于 的不等式即可求解；
（3）利用二项式定理求解即可.
【详解】（1）由 ，得 ，
通项 ，
令 ，解得 ，
展开式中 的系数为 .
（2）设第 项系数的绝对值最大，
则 ，所以 ，
系数绝对值最大 项为 .
（3）原式 .
【点睛】本题考查二项式定理的应用、二项展开式的通项公式和系数最大项的求解；考查运
算求解能力和逻辑推理能力；熟练掌握二项展开式的通项公式是求解本题的关键；属于中档
题、常考题型.
21.如图，在四棱锥 中，底面 是平行四边形， ，侧面
的
3 2 n
x x
− 6 : 1
11x
2 3 19 81 9n n
n n nn C C C−+ + + +
18− 3
25376x
−
910 1
9
−
n
1r + r
5 5 3 3( 2) : ( 2) 6:1n nC C− − = 9n =
∴ 27 5
2 2
1 9 ( 2)
r
r r
rT C x
−
+ = −
27 5 112 2
r− = 1r =
∴ 11x 1 1
9 ( 2) 18C − = −
1r +
1 1
9 9
1 1
9 9
2 2 17 3 20
2 2
r r r r
r r r r
C C r
C C
+ +
− −
≥ ⇒ ≤ ≤ ≥ 6r =
∴ 27 30 3
6 6 2 2 2
9 ( 2) 5376C x x
− −− =
( ) 9
0 0 1 2 2 9 9 9
9 9 9 9
1 1 10 19 9 9 9 1 (1 9) 19 9 9C C C C
− = + + + + − = + − =
P ABCD− ABCD 120BCD∠ = ° PAB ⊥
底面 ， ， .
（Ⅰ）求证：平面 面 ；
（Ⅱ）过 的平面交 于点 ，若平面 把四面体 分成体积相等的两部分，
求二面角 的余弦值.
【答案】（I）详见解析；（II） .
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由题意得到 面 ，从而 ．又由题意证得四边形 为菱形，
故得 ，于是 平面 ．根据面面垂直的判定定理可得结论成立．（Ⅱ）由题
意得 为 中点，建立空间直角坐标系，求出平面 和平面 的法向量，根据两
向量夹角的余弦值可得二面角的余弦值．
【详解】（Ⅰ）证明：因为 ，则 ，
又侧面 底面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 面 ．
因为 平面 ，则 ．
又因为 ，四边形 为平行四边形，
则 ，又
则 为等边三角形，则四边形 为菱形，
所以 ．
又 ，
所以 平面 ．
又 面 ，
所以平面 平面 ．
ABCD 90BAP∠ = ° 2AB AC PA= = =
PBD ⊥ 平 PAC
AC PD M AMC P ACD−
M PC B− −
5
7
−
PA ⊥ 平 ABCD PA BD⊥ ABCD
BD AC⊥ BD ⊥ PAC
M PB MPC MPC
90BAP °∠ = PA AB⊥
PAB ⊥ ABCD PAB ∩ ABCD AB= PA ⊂ PAB
PA ⊥ 平 ABCD
BD ⊂ ABCD PA BD⊥
120BCD∠ = ABCD
60ABC∠ = AB AC=
ABC∆ ABCD
BD AC⊥
PA AC A∩ =
BD ⊥ PAC
BD ⊂ PBD
PAC ⊥ PBD
（Ⅱ）由平面 把四面体 分成体积相等的两部分，则 为 中点．
由（Ⅰ）知 面 ，且四边形 为菱形、 ．以 A 为原点建立
如图所示的空间直角坐标系 ，
则 , ．
设平面 的法向量为 ，
由 ，得 ，
令 ，可得 ．
同理，平面 的法向量 ．
所以 ．
由图形得二面角 为钝角，
所以二面角 的余弦值为 ．
【点睛】（1）解答第一问时，要注意空间中垂直关系的转化，合理运用转化达到求解的目的，
同时还要注意平面几何知识的运用．
（2）空间向量的引入为求空间角提供了工具，通过求出两平面法向量的夹角可得到二面角的
大小．但由于法向量的夹角和二面角是相等或互补的关系，所求在求出法向量的夹角后还要
通过观察图形得到二面角为锐角还是钝角，最后才能得到所求结论．
AMC P ACD− M PB
PA ⊥ 平 ABCD ABCD 120BAD∠ =
A xyz−
( ) ( ) ( ) ( )3, 1,0 , 3,1,0 , 0,2,0 , 0,0,2B C D P− ( )0,1,1M
MPC ( )1 1 1 1, ,v x y z=
1 1 1
1 1 1 1
0
3 2 0
PM v y z
PC v x y z
⋅ = − = ⋅ = + − =
1 1
1 1
3
3
y z
x z
= =
1 1z = 1
3 ,1,13v
=
MPC 2
31,0, 2v
=
1 2
1 2
1 2
5cos , 7
v vv v
v v
⋅= =
⋅
M PC B− −
M PC B− − 5
7
−
22.已知函数 （ 为自然对数的底数）
（1）若曲线 在点 处的切线平行于 轴，求 的值；
（2）求函数 的极值；
（3）当 时，若直线 与曲线 没有公共点，求 的最大值.
【答案】（1） （2）当 时，函数 无极小值；当 ， 在 处取
得极小值 ，无极大值（3） 的最大值为
【解析】
【分析】
（1）求出 ，由导数的几何意义，解方程 即可；（2）解方程 ，注意
分类讨论，以确定 的符号，从而确定 的单调性，得极大值或极小值（极值点多时，
最好列表表示）；（3）题意就是方程 无实数解，即关于 的方程
在 上没有实数解．一般是分类讨论， 时，无实数解， 时，方程变为 ，
因此可通过求函数 的值域来求得 的范围．
【详解】（1）由 ,得 ．
又曲线 在点 处的切线平行于 轴,
得 ,即 ,解得 ．
（2） ,
①当 时, , 为 上的增函数,
所以函数 无极值．
②当 时,令 ,得 , ．
, ; , ．
所以 上单调递减,在 上单调递增,在
( ) 1 x
af x x e
= − + ,a R e∈
( )y f x= ( )1, ( )f x x a
( )f x
1a = : 1l y kx= − ( )y f x= k
a e= 0a ≤ ( )f x 0a > ( )f x lnx a=
ln a k 1
'( )f x '(1) 0f = '( ) 0f x =
'( )f x ( )f x
(x) kx 1f = − x ( ) 11 xk x e
− =
R 1k = 1k ≠ 1
1
xxek
=−
( ) xg x xe= k
( ) 1 x
af x x e
= − + ( ) 1 x
af x e
′ = −
( )y f x= ( )( )1, 1f x
( )1 0f ′ = 1 0a
e
− = a e=
( ) 1 x
af x e
′ = −
0a ≤ ( ) 0f x′ > ( )f x ( ),−∞ +∞
( )f x
0a > ( ) 0f x′ = xe a= lnx a=
( ),lnx a∈ −∞ ( ) 0f x′ < ( )ln ,x a∈ +∞ ( ) 0f x′ >
( )f x ( ),ln a−∞ ( )ln ,a +∞
故 在 处取得极小值,且极小值为 ,无极大值．
综上,当 时,函数 无极小值
当 , 在 处取得极小值 ,无极大值．
（3）当 时,
令 ,
则直线 : 与曲线 没有公共点,
等价于方程 在 上没有实数解．
假设 ,此时 , ,
又函数 的图象连续不断,由零点存在定理,可知 在 上至少有一解,与“方程
在 上没有实数解”矛盾,故 ．
又 时, ,知方程 在 上没有实数解．
所以 的最大值为 ．
解法二:
（1）（2）同解法一．
（3）当 时, ．
直线 : 与曲线 没有公共点,
等价于关于 的方程 在 上没有实数解,即关于 的方程:
（*）
在 上没有实数解．
( )f x lnx a= ( )ln lnf a a=
0a ≤ ( )f x
0a > ( )f x lnx a= ln a
1a = ( ) 11 xf x x e
= − +
( ) ( ) ( ) ( ) 11 1 xg x f x kx k x e
= − − = − +
l 1y kx= − ( )y f x=
( ) 0g x = R
1k > ( )0 1 0g = > 1
1
1 11 01 k
g k e −
= − + < −
( )g x ( ) 0g x = R
( ) 0g x = R 1k ≤
1k = ( ) 1 0xg x e
= > ( ) 0g x = R
k 1
1a = ( ) 11 xf x x e
= − +
l 1y kx= − ( )y f x=
x 11 1 xkx x e
− = − + R x
( ) 11 xk x e
− =
R
①当 时,方程（*）可化为 ,在 上没有实数解．
②当 时,方程（*）化为 ．
令 ,则有 ．
令 ,得 ,
当 变化时, 的变化情况如下表:
减 增
当 时 ,同时当 趋于 时, 趋于 ,
从而 的取值范围为 ．
所以当 时,方程（*）无实数解, 解得 的取值范围是 ．
综上,得 的最大值为 ．
考点：导数的几何意义，极值，导数与单调性、值域，方程根的分布．
1k = 1 0xe
= R
1k ≠ 1
1
xxek
=−
( ) xg x xe= ( ) ( )1 xg x x e′ = +
( ) 0g x′ = 1x = −
x ( )g x′
x ( ), 1−∞ − 1− ( )1,− +∞
( )g x′ − 0 +
( )g x 1
e
−
1x = − ( )min
1g x e
= − x +∞ ( )g x +∞
( )g x 1 ,e
− +∞
1 1,1k e
∈ −∞ − − k ( )1 ,1e−
k 1
