四川省资阳市2020届高三一诊考试数学（理）试题
资阳市高中 2017 级第一次诊断性考试
理科数学
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1.已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
求出 N 中不等式的解集确定出 N，找出 M 与 N 的交集即可．
【详解】由 N 中不等式变形得：x（x﹣2）≤0，
解得：0≤x≤2，即 N＝[0，2]，
∵M＝{﹣1，0，1，2，3}，
∴M∩N＝{0，1，2}，
故选 C．
【点睛】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
2.复数 （ ）
A. i B. -i C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【详解】∵ ．
故选 A．
【点睛】本题考查复数代数形式 乘除运算，是基础题．
3.已知向量 ，若 （λ∈R），则 m＝（ ）
的
{ 1,0,1,2,3}M = − { }2| 2 0= − N x x x M N =
{ 1,0,1,2}− { 1,0,1}− {0,1,2} {0,1}
2
1 2
i
i
+ =−
4 i5
+ 4 i5
−
( )( )
( )( )
2 1 22 2 2 4
1 2 1 2 1 2 5
i ii i i ii i i
+ ++ − + += = =− − +
( ) ( )1 2 1a b m= − = − ， ， ， a bλ=
A. -2 B. C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】
根据向量的坐标运算计算即可．
【详解】∵向量 ， （λ∈R），
∴ ＝λ ，
∴ ，
∴m＝ ，
故选 C．
【点睛】本题考查了共线向量的坐标运算，属于基础题．
4.已知等差数列 的前 n 项和为 ，若 ，则 （ ）
A 7 B. 14 C. 21 D. 42
【答案】B
【解析】
【分析】
由等差数列的性质可得：a4＝2，而由求和公式可得 S7＝7a4，代入可得答案．
【详解】由等差数列的性质可得：2a4＝a2+a6，又 ，解得 a4＝2，
而 S7 7a4＝14
故选 B．
【点睛】本题考查等差数列的性质和求和公式，属基础题．
5.已知 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要比充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
.
1
2
− 1
2
( ) ( )1 2 1a b m= − = − ， ， ， a bλ=
( )1 2− ， ( )1m −，
1
2
mλ
λ
− =
= −
1
2
{ }na nS 2 4 6 6+ + =a a a 7S =
2 4 6 6+ + =a a a
( )1 7 47 7 2
2 2
a a a+ ×= = =
,a b∈R 0a b< < 1 1
a b
>
【答案】A
【解析】
【分析】
根据充分必要条件的定义分别判断其充分性和必要性即可．
【详解】若 ，即 0，
∴ 或 ，
即 a，b 同号时：a
b，
∴当 a b a
ab
− >
0
0
b a
ab
− >
＞
0
0
b a
ab
− <
＜
1 1
a b
> 1 1
a b
>
0a b< < 1 1
a b
>
n =
第二次执行循环体后，n＝2，不满足退出循环的条件，
第三次执行循环体后，n＝3，不满足退出循环的条件，
第四次执行循环体后，n＝4，不满足退出循环的条件，
第四次执行循环体后，n＝5，满足退出循环的条件，
故输出的 n 值为 5，
故选 C．
【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正
确的结论，是基础题．
7.已知 ， ， ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
容易得出 ，从而得出 a，b，c 的大小关系．
【详解】 ；
∴a＞b＞c．
故选 B．
【点睛】本题考查指数函数、对数函数的单调性，考查了比较大小的方法：中间量法．
8.函数 的图象大致是（ ）
A. B.
1.22a = 0.43b = 8ln 3
=c
b a c> > a b c> > b c a> > a c b> >
1.2 0.4 82 21 3 2 0 13ln> < < <， ， ＜
1.2 1 0.5 0.4 0 82 2 2 2 3 3 3 1 0 13a b c ln lne= > = > > = = < = =， ＞ ， ＜
3
( ) e 1
= +x
xf x
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用特殊值及函数的导数判断函数的单调性进行排除，即可得到函数的图象．
【详解】当 x<0 时，f（x） 0．排除 AC，
f′（x） ，令 g(x)
g′（x） ，当 x∈（0，2），g′（x）＞0，函数 g(x)是增函数，
当 x∈（2，+∞），g′（x）＜0，函数 g(x)是减函数，g(0)= ，g(3)=3>0， g(4)=
<0，
存在 ，使得 g( )=0，
且当 x∈（0， ），g(x)>0，即 f′（x）＞0，函数 f（x）是增函数，
当 x∈（ ，+∞），g(x)<0，即 f′（x）＜0，函数 f（x）是减函数，
∴B 不正确，
故选 D．
【点睛】本题考查函数图象的判断，一般通过函数的定义域、值域、奇偶性、对称性、单调
性、特殊点以及变化趋势判断．
9.已知角 的顶点在坐标原点 O，始边与 x 轴的非负半轴重合，将 的终边按顺时针方向旋
转 后经过点（3，4），则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
<
( )
( )
( )
3
2 2
22 3 33 ( 1)
1 1
x xx x
x x
x e xex e x e
e e
+ −+ −= =
+ + 3 3x xe xe+ − =
( ) ( )3 1 2x x xe x e x e= − + = −
6 0> 43 e−
( )0 3,4x ∈ 0x
0x
0x
α α
4
π
sin 2α =
12
25
− 7
25
− 7
25
24
25
【分析】
由题意利用任意角的三角函数的定义及二倍角的余弦公式，求得结果．
【详解】∵角 α 的顶点在坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边按顺时针方向旋转
后经过点（3，4），∴ ，
∴
∴ ，
故选 B．
【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，二倍角的余弦公式，考查了逻辑思维能力，
属于基础题．
10.若函数 的图象关于点 对称，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由正弦函数图象的性质可得 φ＝ ，（k∈z）再求解即可．
【详解】由 f(x)＝sin（2x+φ），
令 2 +φ＝kπ，（k∈z）
得：φ ，（k∈z）
又 φ＞0，所以 k=1 时
则 φmin ，
故选 C．
【点睛】本题考查了正弦函数图象的性质，属简单题．
11.已知向量 = ，.若 ，则 的取值范围是（ ）
4
π
3
4 5cos
πα − =
2 72 1 2 2 24 25 4 2cos cos cos sin
π π πα α α α − − = − = − = − =
72 25sin α = −
( ) sin(2 )( 0)f x x ϕ ϕ= + > ,03
π
ϕ
12
π
6
π
3
π 5
12
π
2
3k
ππ −
3
π×
2
3k
ππ= −
3
π=
a 2 2b a b= ⋅ = − ， 1c a b− − = c
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意得到 ， 是夹角为 ，模为 2 的两个向量，设 ， ， ，
利用向量加减法的几何意义求出 C 的轨迹，则可求得 的取值范围.
【详解】因为向量 = 可得 ，
所以 ， 是夹角为 ，模为 2 的两个向量，
设 ， ， ，则 A，B 在以原点为圆心，2 为半径的圆上，如图，
不妨令 A（2，0），则 B（-1， ），则 ，则
，所以 C 在以 D 为圆心，1 为半径的圆
上， ，即求以 D 为圆心，1 为半径的圆上的动点 C 到（0，0）的距离的最值问题，
又|OD| ．
所以 ∈[ ， ]= [ ， ]，
故选 D．
【点睛】本题考查了向量加减法的几何意义的应用，考查了动点的轨迹问题，考查了转化思
想，解题时我们要根据题目中已知的条件，选择转化的方向，属于中档题.
1 3,2 2
1 5,2 2
[2,3] [1,3]
a b 2
3
π
OA a= OB b= OC c=
c
a 2 2b a b a b cosθ= ⋅ = = − ， ， 1
2cosθ = −
a b 2
3
π
OA a= OB b= OC c=
3 1 3OA OB OD+ = = ，
1c a b OC OA OB OC OD DC− − = − − = − = =
c OC=
2=
OC 2 1− 2 1+ 1 3
12.定义在 R 上的可导函数 满足 ，记 的导函数为 ，
当 时恒有 .若 ，则 m 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
令 g（x）＝f（x） x，求得 g（x）＝g（2﹣x），则 g（x）关于 x=1 对称，再由导数可知 g
（x）在 时为减函数，化 f（m）﹣f（1﹣2m）≥3m﹣1 为 g（m）≥g（1﹣2m），利用单调
性及对称性求解．
【详解】令 g（x）＝f（x） x，
g′（x）＝f′（x）﹣1，当 x 1 时，恒有 f'（x）＜1．
∴当 x 1 时，g（x）为减函数，
而 g（2﹣x）＝f（2﹣x） （2﹣x），
∴由 得到
f（2﹣x） （2﹣x）=f（x） x
∴g（x）＝g（2﹣x）．
则 g（x）关于 x=1 对称，
由 f（m）﹣f（1﹣2m）≥3m﹣1，得 f（m） m≥f（1﹣2m） （1﹣2m），
即 g（m）≥g（1﹣2m），
∴ ，即 1 ．
∴实数 m 的取值范围是[﹣1， ]．
故选 D．
【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，构造函数是解答该题的关键，属于中档题．
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13.求值： ________.
【答案】1
【解析】
( )f x (2 ) ( ) 2 2− = − +f x f x x ( )f x ( )f x′
1x ( ) 1f x′ < ( ) (1 2 ) 3 1− − −f m f m m
( ], 1−∞ − 1 ,13
−
[ )1,− +∞ 11, 3
−
-
1x
-
≤
≤
-
(2 ) ( ) 2 2− = − +f x f x x
- -
- -
1 1 2 1m m− ≥ − − - 1
3m≤ ≤
1
3
3 3 4log 15 log 4 log 5− ⋅ =
【分析】
直接利用对数运算法则及性质化简求解即可．
【详解】log315﹣log34 log45=log315﹣log35＝log33＝1．
故答案为 1．
【点睛】本题考查对数的运算法则及性质的应用，是基础题．
14.已知 x，y 满足 ，若 的最小值为________.
【答案】5
【解析】
【分析】
作出题中不等式组表示的平面区域，再将目标函数 z＝x+2y 对应的直线进行平移，可得当 x＝
3 且 y＝1 时，z 取得最小值．
【详解】作出不等式组 表示的平面区域，
其中 解得 A（3，1）
设 z＝x+2y，将直线 l：z＝x+2y 进行平移，
观察 y 轴上的截距变化，可得当 l 经过点 A 时，目标函数 z 达到最小值
∴z 最小值＝3+2＝5
故答案为 5．
⋅
0
4
2 1
x
x y
x y
+
−
2x y+
0
4
2 1
x
x y
x y
≥
+ ≥
− ≤
4
2 1
x y
x y
+ =
− =
【点睛】本题给出二元一次不等式组，求目标函数 z＝x+2y 的最小值，着重考查了二元一次
不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．
15.若等比数列 的前 项和为 ,且 ， ，则 ____．
【答案】511
【解析】
由等比数列 性质可得： ，
即： ，解得： .
16.已知当 且 时，函数 取得最大值，则 a 的值为
________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据二倍角公式化简函数 f（x），运用整体思想，当 f（x）的最大值时，确定 的取值，运
用诱导公式计算 进而得到 ，再利用二倍角的正切公式求 a 的取值即可.
【 详 解 】 函 数 f （ x ） ＝ sinx (sinx+acosx)=
的
{ }na n nS 3 7S = 6 63S = 9S =
( ) ( )2
6 3 3 9 6S S S S S− = −
( ) ( )2
6 97 7 63S S− = × − 9 511S =
x θ= tan 2θ = ( ) sin ( cos sin )= +f x x a x x
4
3
ϕ
2 2cos x sin x， ， 2tan x
( )2
2 1 1 21 2 2
2 2
a sin xcos x asin xsin x asinxcosx
ϕ+ + −− ++ = =
( ，cos ),
当 时，函数 f（x）取得最大值，此时
∴cos ，∴ ，
∴a＝
故答案为 ．
【点睛】考查三角函数的化简变形，三角函数两角和与差公式逆用（辅助角公式），三角函数
诱导公式、二倍角公式，考查逻辑思维能力及运算能力，属于中档题．
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
17.已知函数
（1）求 在 上的零点；
（2）求 在 上的取值范围．
【答案】（1） ， ；（2）
【解析】
【分析】
（1）利用三角函数中的恒等变换应用化简解析式可得 f（x）＝2sin（2x ），令 f（x）＝
0 得：sin（2x ） ，从而解得 x，又 x∈[0，π]，即可得函数 f（x）的零点．
（2）利用整体思想及正弦函数的性质求出函数的取值范围．
【详解】（1）
2
1
1 4
sin
a
ϕ =
+ 21 4
a
a
ϕ =
+
2 2 ,2 k k Z
πθ ϕ π− = + ∈
2
12
1 4
sin cos
a
ϕ θ= − =
+
2
2
1 4
asin
a
ϕ θ= =
+ 2
2 4 42 1 1 4 3
tantan a tan
θθ θ= − = = =− − −
4
3
4
3
( ) sin 2 cos 26 3
π π = + + − f x x x
( )f x [0, ]π
( )f x ,4 4
π π −
5
12
π 11
12
π
[ 3,2]−
6
π+
6
π+ 0=
3 1 1 3( ) sin 2 cos2 cos2 sin 22 2 2 2
= + + +f x x x x x
3sin 2 cos2 2sin 2 6
π = + = + x x x
令 ，即 ，
则 ， ，得
由于 ，令 ，得 ，令 ，
所以， 在 上的零点为 ，
（2）由 ，则
所以，
故 在 上的取值范围是
【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦型函数性质的应用，主
要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
18.已知等差数列 的前 n 项和为 ， ，且 .
（1）求 ；
（2）求数列 的前 n 项和 ；
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】
（1）由已知得 ，与已知式子相减，得到 ，求得 an；
（2）利用错位相减法可求 Tn；
【详解】（1）由 ，得 ，
两式相减，得 ，
所以， .
（2）由题
( ) 0f x = sin 2 06
π + = x
2 6x k
π π+ = k ∈Z 1
2 12
ππ= −x k k ∈Z
[0, ]x π∈ 1k = 5
12x
π= 2k = 11
12
π=x
( )f x [0, ]π 5
12
π 11
12
π
,4 4x
π π ∈ −
22 ,6 3 3
π π π + ∈ − x
3 sin 2 12 6
π − + x
( )f x ,4 4
π π − [ 3,2]−
{ }na nS 1 1a = 2( 1)= + −n nS a n
na
2
n
n
a nT
2 1na n= − 2 33 2n n
nT
+= −
2
1 1+ += +n nS a n 1 1 2 1+ += − + −n n na a a n
2( 1)= + −n nS a n 2
1 1+ += +n nS a n
1 1 2 1+ += − + −n n na a a n
2 1na n= −
2 3
1 3 5 2 1
2 2 2 2
−= + + + +n n
nT
两边同乘以 ，有
两式相减，得
所以，
【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，考查错位相减法求和，考查了运算能力，属于基
础题．
19.在锐角 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知
．
（1）求角 B 的大小；
（2）求 的取值范围
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据正弦定理边化角，与两角和的正弦公式求得 B 的值；
（2）根据正弦定理边化角，再利用同角的三角函数关系结合角的范围求得取值范围．
【详解】（1）由 ，
根据正弦定理，有
即有
则有 ，又 ，
1
2 2 3 4 1
1 1 3 5 2 1
2 2 2 2 2 +
−= + + + +n n
nT
2 3 4 1
1 1 2 2 2 2 2 1
2 2 2 2 2 2 2 +
−− = + + + + + −n n n n
nT T
1
1 1
1 111 2 1 3 2 34 22 12 2 2 21 2
−
+ +
− − + = + × − = −
−
n
n n
n n
2 33 2n n
nT
+= −
ABC∆
sin sin 3b A a B
π = +
c
a
3B
π= 1 ,22
sin sin 3b A a B
π = +
sin sin sin sin 3B A A B
π = +
1 3sin sin sin cos3 2 2
π = + = + B B B B
tan 3B = 0 B π< <
所以，
（2）由（1）， ，则 ，又 锐角三角形，
所以， 且 ，
所以 ，于是
则
又
所以， 的取值范围是
【点睛】本题主要考查了正弦定理、同角的三角函数关系以及两角和差的正弦公式，正确求
得角的范围是解题的关键．
20.已知函数 ，且函数 为偶函数．
（1）求 的解析式；
（2）若方程 有三个不同的实数根，求实数 m 的取值范围．
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】
（1）利用 是偶函数得到 关于 对称，从而 ，解得 a，进而得到
解析式.
（2）问题转化为方程 有三个不同实数根，令 ，对 求导，研
究单调性及极值，得到大致图像，由图可得 m 的范围.
【详解】（1）由题可知 所以函数 的对称轴为 ，
由于 是偶函数，
为
3B
π=
3B
π= 2
3A C
π+ = ABC∆
0 2A
π< < 20 3 2A< − <π π
6 2A
π π< < 3tan 3
>A
2 3 1sin cos sinsin 3 13 2 2 2sin sin sin 2tan 2
π − + = = = = + <
A A Ac C
a A A A A
3 1 1
2tan 2 2
+ >
A
c
a
1 ,22
2( ) 2 2 1= − +f x ax x ( 1)f x +
( )f x
( ) e
= x
mf x
2( ) 2 1f x x x= − + 40, e
( 1)y f x= + ( )f x 1x = 1 12a
=
e= xm ( )f x ( ) e ( )= ⋅xg x f x ( )g x
0，≠a 2( ) 2 2 1= − +f x ax x 1
2x a
=
( 1)y f x= +
所以 ，即 关于 对称
所以 ，即 ，
所以
（2）方程 有三个不同的实数根，即方程 有三个不同实数根.
令 ，由（1）有 ，
所以 ，令 ，则 或 ．
当 时， ；当 时， ；当 时，
故当 时， 单调递增；当 时， 单调递减；当 时， 单调递
增.
所以，当 时， 取得极大值 ；当 时， 取得极小值，
又由于 ≥0，且当 时， ；当 时， ，
其大致图像：
所以，方程 有三个不同实数根时，m 的范围是
【点睛】本题考查运用导数研究函数的单调性、极值，考查方程有解的条件，注意运用数形
结合思想方法，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
21.已知函数 在点 处的切线与 y 轴垂直.
( 1) ( 1)− + = +f x f x 2( ) 2 2 1= − +f x ax x 1x =
1 12a
= 1
2a =
2( ) 2 1f x x x= − +
( ) e
= x
mf x e= xm ( )f x
( ) e ( )= ⋅xg x f x ( )2( ) 2 1 e= − + xg x x x
( )2( ) 1 e′ = − xg x x ( ) 0g x′ = 1x = − 1x =
1x < − ( ) 0g x′ > 1 1x− < < ( ) 0g x′ < 1x > ( ) 0g x′ >
1x < − ( )g x 1 1x− < < ( )g x 1x > ( )g x
1x = − ( )g x 4( 1) e
− =g 1x = ( )g x (1) 0g =
( )g x x → ∞ ( ) 0g x → x → +∞ ( )g x → +∞
e= xm ( )f x 40, e
2( ) ln (1 ) 1= + − − +f x a x a x bx (1, (1))f
（1）若 ，求 的单调区间；
（2）若 ， 成立，求 a 的取值范围
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）令 f′（1）＝0 求出 b，再根据 f′（x）的符号得出 f（x）的单调区间；
（2）分类讨论，分别求出 在（0，e）上的最小值，即可得出 a 的范围．
【详解】（1） ，由题 ，
解得 ，由 ，得 .
因为 的定义域为 ，所以 ，
故当 时， ， 为增函数，
当 时， ， 为减函数，
（2）由（1）知 ，
所以
（ⅰ）若 ，则由（1）知 ，即 恒成立
（ⅱ）若 ，则 且
故当 时， ， 为增函数，
当 时， ， 为减函数，
，即 恒成立
1a = ( )f x
0 ex< < ( ) 0f x
2
2
e 2e 1,e e 1
− + +∞ − −
( )f x
( ) 2(1 )′ = + − −af x a x bx (1) 2(1 ) 0′ = + − − =f a a b
2a b+ = 1a = 1b =
( )f x (0, )+∞ 1 ( 1)( ) 1′ − −= − = xf x x x
(0,1)x∈ ( ) 0f x′ > ( )f x
(1, )x∈ +∞ ( ) 0f x′ < ( )f x
2b a= −
22(1 ) ( 2) (2(1 ) )( 1)( ) 2(1 ) (2 )′ − + − + − − −= + − − − = =a a x a x a a x a xf x a x ax x x
1a = max( ) (1) 0f x f= = ( ) 0f x
1a > 2(1 ) ( 1)2(1 )(2(1 ) )( 1)( )′
− − − −− − − = =
aa x xaa x a xf x x x
02(1 )
<−
a
a
(0,1)x∈ ( ) 0f x′ > ( )f x
(1, )x∈ +∞ ( ) 0f x′ < ( )f x
max( ) (1) 0f x f= = ( ) 0f x
（ⅲ）若 ，则 且
故当 时， ， 为增函数，
当 时， ， 为减函数，
由题只需 即可，即 ，解得 ，
而由 ，且 ，
得
（ⅳ）若 ，则 ， 为增函数，且 ，
所以 ， ，不合题意，舍去；
（ⅴ）若 ，则 ， 在 上都为增函数，且
所以 ， ，不合题意，舍去；
综上所述，a 的取值范围是
【点睛】本题考查了函数单调性与导数的关系、导数的几何意义，函数恒成立问题与函数最
值的计算，考查了分类讨论思想，属于中档题．
22.在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数），以原点 O 为
极点，x 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为 .
2 13 a< < 2(1 ) ( 1)2(1 )(2(1 ) )( 1)( )′
− − − −− − − = =
aa x xaa x a xf x x x
12(1 )
>−
a
a
(0,1)x∈ ( ) 0f x′ > ( )f x
1, 2(1 )
∈ −
ax a ( ) 0f x′ > ( )f x
(e) 0f 2(1 )e (2 )e 1 0+ − − − + a a a
2
2
e 2e 1
e e 1
− +
− −a
2 2
2 2
e 2e 1 2 (e 2) 1 0e e 1 3 3e 3e 3
− + − +− = >− − − −
2
2 2
e 2e 1 2 e1 0e e 1 e e 1
− + −− = <− − − −
2
2
e 2e 1 1e e 1
− + <− − a
2
3a = 22( 1)( ) 03
′ −=
xf x x
( )f x (1) 0f =
(1,e)x∈ ( ) (1) 0f x f> =
2
3
=
2
2
e 2e 1,e e 1
− + +∞ − −
2
2
21 2
x t
y t
=
= − +
2
2
4
1 sin
ρ θ= +
（1）求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程；
（2）设 P（0，-1），直线 l 与 C 的交点为 M，N，线段 MN 的中点为 Q，求 .
【答案】（1） ， ；（2）
【解析】
【分析】
（1）直线 l 的参数方程为 （t 为参数）．将 代入 消去
参数 t 可得直线 l 的普通方程．利用极坐标与直角坐标的互化公式可得曲线 C 的直角坐标方
程．
（2）将 代入 得： ，利用根与系数的关系及
参数的意义可得 ．
【详解】（1）直线 l 的参数方程为 （t 为参数）．消去参数 t 可得直线 l 的普
通方程为
由 ，得 ，则有 ，即 ，
则曲线 C 的直角坐标方程为
（2）将 l 的参数方程代入 ，得 ，设两根为 ，
则 ， 为 M，N 对应的参数，且
所以，线段 MN 的中点为 Q 对应的参数为 ，
− OP OQ
1y x= − 2 2
14 2
x y+ = 2 2
3
2
2
21 .2
x t
y t
=
= − +
2
2x t= 21 2y t= − +
2
2
21 .2
x t
y t
=
= − +
2 22 4x y+ = 23 2 2 2 02
− − =t t
− OP OQ
2
2
21 .2
x t
y t
=
= − +
1y x= −
2
2
4
1 sin
ρ θ= +
2 2 2sin 4ρ ρ θ+ = 2 2 2 4+ + =x y y 2 22 4x y+ =
2 2
14 2
x y+ =
2 22 4x y+ = 23 2 2 2 02
− − =t t 1t 2t
1t 2t 1 2
4 2
3
+ =t t
1 2 2 2
2 3
+ =t t
所以，
【点睛】本题考查了直线的参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、一元二
次方程的根与系数的关系，考查了直线参数的几何意义的应用，考查了推理能力与计算能力，
属于中档题．
23.已知 ，且 .
（1）求 的最大值；
（2）证明： .
【答案】（1） ；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）由柯西不等式得（ ）2≤（12+12+12）（a+b+c）＝3，即可得出结论．
（2）将 代入所证等式的左边，利用基本不等式，证得结论.
详解】（1）（ ）2≤（12+12+12）（a+b+c）＝3，
所以 ≤ ，
当且仅当 取“=”.所以， 的最大值为
（2）
当且仅当 取“=”
【点睛】本题考查了基本不等式与柯西不等式的应用，利用柯西不等式时，关键是如何凑成
能利用一般形式的柯西不等式的形式，属于中档题．
【
2 2
3
− = = OP OQ PQ
, , +∈a b c R 1a b c+ + =
+ +a b c
1 1 11 1 1 8 − − − a b c
3
a b c+ +
1a b c+ + =
a b c+ +
+ +a b c 3
1
3a b c= = = + +a b c 3
1 1 11 1 1 1 1 1
+ + + + + + − − − = − − −
a b c a b c a b c
a b c a b c
2 2 2 8
+ + += ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =
b c a c a b bc ac ab
a b c a b c
1
3a b c= = =