河北省隆化县存瑞中学2020届高三上学期期中考试数学（文）试题

河北省隆化县存瑞中学2020届高三上学期期中考试数学（文）试题

存瑞中学2019-2020学年第一学期期中考试 高三数学（文）‎ ‎ ‎ 一、 选择题（本大题共12小题，共60.0分）‎ ‎1、若,则(     )．‎ A. 1 B. C. D. ‎ ‎2、已知实数集R,集合,集合,则    ‎ A. B. C. D. ‎ ‎3、设m、n是两条不同的直线,、、是三个不同的平面,给出下列四个命题,其中正确命题的序号是(     ) 若,,则  若,,,则   若,,则   若,,则 A. B. C. D. ‎ ‎4、已知,则的值等于(     )‎ A. ​ B. ​ C. D. ​‎ ‎5、已知函数,则其在点处的切线方程是 　‎ A. B. C. D. ‎ ‎6、在等差数列中,已知,则该数列前11项和       ‎ A. 58 B. 88 C. 143 D. 176‎ ‎7、若,则下列不等式：；；；中,不正确的不等式是(     )‎ A. B. C. D. ‎ ‎8、在正方体中,E为棱CD的中点,则(     )‎ A. B. C. D. ‎ ‎9、已知等差数列的前n项为,且,,则使得取最小值时的n为       ‎ A. 1 B. 6 C. 7 D. 6或7‎ ‎10、已知函数在上是单调递减函数,则实数a的取值范围是(     )‎ A. B. C. D. ‎ ‎11、已知是边长为1的等边三角形,点分别是边的中点,连接DE 并延长到点F ,使得,则的值为    ‎ A. B. C. D. ‎ ‎12、已知四棱锥的顶点都在球O的球面上,底面ABCD是矩形,平面底面ABCD,为正三角形,,则球O的表面积为      ‎ A. B. C. D. ‎ 一、 填空题（本大题共4小题，共20.0分）‎ 13、 已知向量,,,,若,则 的最小值______．‎ ‎14、如图在直三棱柱中,,,则异面直线与AC所成角的余弦值是______． ‎ 14、 在等比数列中,,且,是方程的两根,‎ 则 ______ ．‎ ‎16、将函数的图象向左平移个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到函数的图象,则函数具有性质______填入所有正确性质的序号 最大值为,图象关于直线对称； ‎ 图象关于y轴对称； 最小正周期为； 图象关于点对称； 在上单调递减．‎ 一、 解答题（本大题共6小题，共70.0分）‎ ‎17、（10分）已知向量,,且与夹角为, 求； 若,求实数k的值． ‎ ‎18、（12分）的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量与平行． Ⅰ求A； Ⅱ若,,求的面积． ‎ ‎19、（12分）如图,在直三棱柱中,已知,,设的中点为D,． 求证：平面；．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎20、（12分）党的十九大报告指出,建设生态文明是中华民族永续发展的千年大计而清洁能源的广泛使用将为生态文明建设提供更有力的支撑沼气作为取之不尽、用之不竭的生物清洁能源,在保护绿水青山方面具有独特功效通过办沼气带来的农村“厕所革命”,对改善农村人居环境等方面,起到立竿见影的效果为了积极响应国家推行的“厕所革命”,某农户准备建造一个深为2米,容积为32立方米的长方体沼气池,如果池底每平方米的造价为150元,池壁每平方米的造价为120元,沼气池盖子的造价为3000元,问怎样设计沼气池能使总造价最低？最低总造价是多少元？ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎21、（12分）如图,在三棱锥中,,,,,D为线段AC的中点,  E为线段PC上一点． 求证：； 求证：平面平面PAC； 当平面BDE时,求三棱锥的体积．‎ ‎ ‎ ‎22、（12分）已知数列的前n 项和满足．‎ 求数列的通项公式；   ‎ 求数列的前n 项和． ‎ 存瑞中学2019-2020学年第一学期期中考试试题 答案和解析 ‎【答案】‎ ‎1. D 2. A 3. A 4. B 5. C 6. C 7. D 8. C 9. B 10. A 11.D 12. B ‎ ‎13. ​   14.    15. 3   16.   ‎ ‎  ‎ ‎【解析】‎ ‎1. 解：由得,则故选D．‎ ‎2.解：由得,则集合,所以, 又集合,则．故选A．‎ ‎3.解：若,,则,正确；若,,,则,正确； 若,,则或相交或异面,不正确若,,则或相交,不正确． 故选A．‎ ‎4.解：,,故选B．‎ ‎5. 解：由,得, ,又当时, 切线方程为．故选C．‎ ‎6.解：等差数列中,已知, 则该数列前11项和．故选C． 7. 解：由,得． 因为,,所以,所以成立,即正确． 因为,所以,则,即,所以错误． 因为,且,所以,故正确． 因为,所以所以成立,所以错误． 故不正确的是．故选D．‎ ‎8. 解：连,由题意得,平面,且平面, ,,平面,平面,‎ ‎．故选C．‎ ‎9.解：设等差数列的公差是d,,, ,即,‎ ‎,即, 联立得到：,．故有． 令,可解得,由此知,数列的前6项为负项,第7项为正项, 故取最小值时,n等于6．故选：B．‎ ‎10.解：,, 要使函数在上是单调递减函数,则恒成立, 即恒成立,, 解得,即实数a的取值范围是故选A．‎ ‎11.解：如图所示： 由D、E分别是边AB、BC的中点, ,可得 ． 故选D．‎ ‎12. 解：令所在圆的圆心为,则圆的半径, 因为平面底面ABCD,所以,所以球O的半径, 所以球O的表面积．故选B．‎ ‎13.解：,,即, ,, ‎ ‎, 当且仅当时取等号,的最小值是．故答案为．‎ ‎14.解：在直三棱柱中,,异面直线与AC所成角为, 因为,,, ,,, ,,,故答案为：．‎ ‎15.解：等比数列中,设公比为q,且,是方程的两根,,,且,, 和同为正,．故答案为3．‎ ‎16.解：将函数的图象向左平移个单位长度, 得到的图象； 再向上平移1个单位长度,得到函数的图象． 对于函数： 它的最大值为,由于当时,,不是最值,故的图象不关于直线对称,故排除； 由于该函数为偶函数,故它的图象关于y轴对称,故正确； 它的最小正周期为,故正确； 当时,,故函数的图象关于点对称,故正确； 在上,,单调递增,故排除, 故答案为．‎ ‎17. 解：因为,, 又,与的夹角为, ． ‎ ‎ 由, 得,即, 所以 解得．  ‎ ‎18. 解：Ⅰ因为向量与平行, 所以,由正弦定理可知：． 因为,所以因为A为的内角,所以． Ⅱ,,由余弦定理可得,可得,解得负值舍去, 所以的面积为．  ‎ ‎19. 证明：如图所示, ​由据题意得, E为的中点,D为的中点,所以, 又因为平面,平面, 所以平面； 因为棱柱是直三棱柱,所以平面ABC, 因为平面ABC,所以, 又因为,平面,平面,‎ ‎,所以平面, 又因为平面,所以； 因为,所以矩形是正方形,所以平面； 又因为平面,所以． 20. 解：设沼气池的底面长为x米,沼气池的总造价为y元, 因为沼气池的深为2米,容积为32立方米,所以底面积为16平方米, ‎ 因为底面长为x米,所以底面的宽为, 依题意有 , 因为,由基本不等式和不等式的性质可得,即,所以,当且仅当,即时,等号成立, 所以当沼气池底面是边长为4米的正方形时,沼气池总造价最低,最低总造价是9240元．  ‎ ‎21. 解：证明：由,,平面ABC,平面ABC,且, 可得平面ABC,由平面ABC,可得； 证明：由,D为线段AC的中点,可得, 由平面ABC,平面PAC, 可得平面平面ABC, 又平面平面,平面ABC,且,即有平面PAC, 平面BDE,可得平面平面PAC； 平面BDE,平面PAC, 且平面平面,可得, 又D为AC的中点,可得E为PC的中点,且, 由平面ABC,可得平面ABC, 可得, 则三棱锥的体积为．  ‎ ‎22. 解：当时, ,所以；‎ 当时, ,则,即．‎ 又因为,所以数列是以1为首项,3为公比的等比数列,‎ 所以．‎ 由得, 所以 ,‎ ‎ ,‎ 得  ．‎ 所以．‎