山东省济宁市嘉祥一中2020届高三第三次质量检测数学试题

山东省济宁市嘉祥一中2020届高三第三次质量检测数学试题

嘉祥一中 高 三第二学期 质量检测三 数 学 试 题 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求 ‎1.已知集合,则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算，再计算交集得到答案 ‎【详解】,表示偶数，‎ 故.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了集合的交集，意在考查学生的计算能力.‎ ‎2.欧拉公式为,(虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，表示的复数位于复平面中的（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算，得到答案.‎ ‎【详解】根据题意，故，表示的复数在第一象限.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了复数的计算， 意在考查学生的计算能力和理解能力.‎ ‎3.已知不重合的平面 和直线 ，则“ ”的充分不必要条件是（ ）‎ A. 内有无数条直线与平行 B. 且 C. 且 D. 内的任何直线都与平行 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据充分不必要条件和直线和平面，平面和平面的位置关系，依次判断每个选项得到答案.‎ ‎【详解】A. 内有无数条直线与平行，则相交或，排除；‎ B. 且，故，当，不能得到 且，满足；‎ C. 且，，则相交或，排除；‎ D. 内的任何直线都与平行，故，若，则内的任何直线都与平行，充要条件，排除.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了充分不必要条件和直线和平面，平面和平面的位置关系，意在考查学生的综合应用能力.‎ ‎4.已知角的终边经过点P()，则sin()=‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】由题意可得三角函数的定义可知：‎ ‎，，则：‎ 本题选择A选项.‎ ‎5.若x∈（0，1），a＝lnx，b＝，c＝elnx，则a，b，c的大小关系为（　　）‎ A. b＞c＞a B. c＞b＞a C. a＞b＞c D. b＞a＞c ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用指数函数、对数函数的单调性直接求解．‎ ‎【详解】∵x∈（0，1），‎ ‎∴a＝lnx＜0，‎ b＝（）lnx＞（）0＝1，‎ ‎0＜c＝elnx＜e0＝1，‎ ‎∴a，b，c的大小关系为b＞c＞a．‎ 故选A．‎ ‎【点睛】本题考查三个数的大小的判断，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎6.函数的最小正周期是，则其图象向左平移个单位长度后得到的函数的一条对称轴是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由三角函数的周期可得，由函数图像的变换可得， 平移后得到函数解析式为 ‎，再求其对称轴方程即可.‎ ‎【详解】解：函数的最小正周期是，则函数，经过平移后得到函数解析式为，由，‎ 得，当时，.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题考查了正弦函数图像的性质及函数图像的平移变换，属基础题.‎ ‎7.“十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解.‎ 详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为，‎ 所以，‎ 又，则 故选D.‎ 点睛：此题考查等比数列的实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列. 等比数列的判断方法主要有如下两种：‎ ‎（1）定义法，若（）或（）， 数列是等比数列；‎ ‎（2）等比中项公式法，若数列中，且（），则数列是等比数列.‎ ‎8.已知点是抛物线：的焦点，点为抛物线的对称轴与其准线的交点，过作抛物线的切线，切点为，若点恰好在以，为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据抛物线的性质，设出直线方程，代入抛物线方程，求得k的值，设出双曲线方程，求得‎2a＝丨AF2丨﹣丨AF1丨＝（1）p，利用双曲线的离心率公式求得e．‎ ‎【详解】直线F‎2A的直线方程为：y＝kx，F1（0，），F2（0，），‎ 代入抛物线C：x2＝2py方程，整理得：x2﹣2pkx+p2＝0，‎ ‎∴△＝4k2p2﹣4p2＝0，解得：k＝±1，‎ ‎∴A（p，），设双曲线方程为：1，‎ 丨AF1丨＝p，丨AF2丨p，‎ ‎2a‎＝丨AF2丨﹣丨AF1丨＝（ 1）p，‎ ‎2c‎＝p，‎ ‎∴离心率e1，‎ 故选D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线及双曲线的方程及简单性质，考查转化思想，考查计算能力，属于中档题．‎ 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分.‎ ‎9.（多选题）下列说法中，正确的命题是（ ）‎ A. 已知随机变量服从正态分布，，则．‎ B. 以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则，的值分别是和0.3．‎ C. 已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为，若，，，则．‎ D. 若样本数据，，…，的方差为2，则数据，，…，的方差为16．‎ ‎【答案】BC ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据正态分布性质求即可判断A;根据方程变形即可确定，的值，再判断B; 根据回归直线方程过样本中心，即可判断C;根据数据变化与方差变化关系判断D.‎ ‎【详解】因为随机变量服从正态分布，，‎ 所以，即A错；‎ ‎，，从而，即B正确；‎ 过， ，即C正确；‎ 因为样本数据，，…，的方差为2，所以数据，，…，的方差为，即D错误；‎ 故选：BC ‎【点睛】‎ 本题考查正态分布、方差性质以及线性回归方程及其性质，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎10.甲、乙、丙三人在政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术7门学科中任选3门．若同学甲必选物理，则下列说法正确的是（ ）‎ A. 甲、乙、丙三人至少一人选化学与全选化学是对立事件 B. 甲的不同的选法种数为15‎ C. 已知乙同学选了物理，乙同学选技术的概率是 D. 乙、丙两名同学都选物理的概率是 ‎【答案】BD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据对立事件的概念可判断A；直接根据组合的意义可判断B；乙同学选技术的概率是可判断 C；根据相互独立事件同时发生的概率可判断D.‎ ‎【详解】甲、乙、丙三人至少一人选化学与全不选化学是对立事件，故A错误；‎ 由于甲必选物理，故只需从剩下6门课中选两门即可，即种选法，故B正确；‎ 由于乙同学选了物理，乙同学选技术的概率是，故C错误；‎ 乙、丙两名同学各自选物理的概率均为，故乙、丙两名同学都选物理的概率是，故D正确；‎ 故选BD.‎ ‎【点睛】本题主要考查了对立事件的概念，事件概率的求法以及相互独立事件同时发生的概率，属于基础题.‎ ‎11.如图所示，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，是正三角形，为线段的中点，点为底面内的动点，则下列结论正确的是（ ）‎ A. 若时，平面平面 B. 若时，直线与平面所成的角的正弦值为 C. 若直线和异面时，点不可能为底面的中心 D. 若平面平面，且点为底面的中心时，‎ ‎【答案】AC ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 推导出平面，结合面面垂直的判定定理可判断A选项的正误；设的中点为，连接、，证明出平面，找出直线与平面所成的角，并计算出该角的正弦值，可判断B选项的正误；利用反证法可判断C选项的正误；计算出线段和的长度，可判断D选项的正误.综合可得出结论.‎ ‎【详解】因为，，，所以平面，‎ 平面，所以平面平面，A项正确；‎ 设的中点为，连接、，则.‎ 平面平面，平面平面，平面.‎ 平面，设平面所成角为，则，‎ ‎，，，则，B项错误；‎ 连接，易知平面，由、、确定的面即为平面，‎ 当直线和异面时，若点为底面的中心，则，‎ 又平面，则与共面，矛盾，C项正确；‎ 连接，平面，平面，，‎ ‎、分别为、的中点，则，‎ 又，故，，则，D项错误.‎ 故选：AC.‎ ‎【点睛】本题考查立体几何综合问题，涉及面面垂直的判断、线面角的计算以及异面直线的判断，考查推理能力与计算能力，属于中等题.‎ ‎12.已知数列满足 给出下列四个命题，其中的真命题是（ ）‎ A. 数列单调递增； B. 数列 单调递增；‎ C. 数从某项以后单调递增； D. 数列从某项以后单调递增.‎ ‎【答案】BCD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算得到，A错误，化简，B正确，，C正确，，‎ D正确，得到答案.‎ ‎【详解】因为，所以，‎ 当时, ,所以，所以A错误；‎ ‎，，‎ 所以是等比数列，，所以B正确；‎ ‎，故，C正确；‎ 因为，所以，‎ 根据指数函数性质，知数列从某一项以后单调递增，所以D正确.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了数列的单调性，意在考查学生对于数列性质的综合应用.‎ 第Ⅱ卷（非选择题 90 分）‎ 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．‎ ‎13.已知向量，，若满足，且方向相同，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由向量平行坐标表示计算．注意验证两向量方向是否相同．‎ ‎【详解】∵，∴，解得或，‎ 时，满足题意，‎ 时，，方向相反，不合题意，舍去．‎ ‎∴．‎ 故答案为：1．‎ ‎【点睛】本题考查向量平行的坐标运算，解题时要注意验证方向相同这个条件，否则会出错．‎ ‎14.的展开式中，常数项为______；系数最大的项是______.‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出二项展开式的通项，令指数为零，求出参数的值，代入可得出展开式中的常数项；求出项的系数，利用作商法可求出系数最大的项.‎ ‎【详解】的展开式的通项为，‎ 令，得，所以，展开式中的常数项为；‎ 令，令，即，‎ 解得，，，因此，展开式中系数最大项为.‎ 故答案为：；.‎ ‎【点睛】本题考查二项展开式中常数项的求解，同时也考查了系数最大项的求解，涉及展开式通项的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎15.已知直线与圆心为的圆相交于两点，且，则实数的值为_________．‎ ‎【答案】0或6‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算得到圆心，半径，根据得到，利用圆心到直线的距离公式解得答案.‎ ‎【详解】，即，圆心，半径.‎ ‎，故圆心到直线的距离为，即，故或.‎ 故答案为：或.‎ ‎【点睛】本题考查了根据直线和圆的位置关系求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力。‎ ‎16.设函数 满足,且当时,‎ 又函数,则函数在上的零点个数为___________.‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 判断函数为偶函数，周期为2，判断为偶函数，计算，，画出函数图像，根据图像到答案.‎ ‎【详解】知，函数为偶函数，，函数关于对称。‎ ‎，故函数为周期为2周期函数，且。‎ 为偶函数，，，‎ 当时，，，函数先增后减。‎ 当时，，，函数先增后减。‎ 在同一坐标系下作出两函数在上的图像，发现在内图像共有6个公共点，‎ 则函数在上的零点个数为6．‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了函数零点问题，确定函数的奇偶性，对称性，周期性，画出函数图像是解题的关键.‎ 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17.设数列是等比数列，，已知, (1)求数列的首项和公比；（2）求数列的通项公式．‎ ‎【答案】(1)（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】本题主要考查了等比数列的通项公式的求解，数列求和的错位相减求和是数列求和中的重点与难点，要注意掌握．‎ ‎（1）设等比数列{an}公比为q，则q+q2=6，解方程可求q ‎（2）由（1）可求an=a1•qn-1=2n-1，结合数列的特点，考虑利用错位相减可求数列的和 解：（1）‎ ‎（2）， ‎ 两式相减：‎ ‎18.已知的内角、、的对边分别为、、，满足.有三个条件：①；②；③.其中三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件完成下面两个问题：‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）设为边上一点，且，求的面积.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先求出角，进而可得出，则①②中有且只有一个正确，③正确，然后分①③正确和②③正确两种情况讨论，结合三角形的面积公式和余弦定理可求得的值；‎ ‎（2）计算出和，计算出，可得出，进而可求得的面积.‎ ‎【详解】（1）因为，所以，得，‎ ‎，，‎ 为钝角，与矛盾，故①②中仅有一个正确，③正确.‎ 显然，得.‎ 当①③正确时，‎ 由，得（无解）；‎ 当②③正确时，由于，，得；‎ ‎（2）如图，因为，，则，‎ 则，.‎ ‎【点睛】本题考查解三角形综合应用，涉及三角形面积公式和余弦定理的应用，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎19.图1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°，将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2.‎ ‎（1）证明：图2中A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；‎ ‎（2）求图2中的二面角B−CG−A的大小.‎ ‎【答案】(1)见详解；(2) .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)因为折纸和粘合不改变矩形，和菱形内部的夹角，所以，依然成立，又因和粘在一起，所以得证.因为是平面垂线，所以易证.(2)在图中找到对应的平面角，再求此平面角即可.于是考虑关于的垂线，发现此垂足与的连线也垂直于.按照此思路即证.‎ ‎【详解】(1)证：，，又因为和粘在一起.‎ ‎，A，C，G，D四点共面.‎ 又.‎ 平面BCGE，平面ABC，平面ABC平面BCGE，得证.‎ ‎(2)过B作延长线于H，连结AH，因为AB平面BCGE，所以 而又，故平面，所以.又因为所以是二面角的平面角，而在中，又因为故，所以.‎ 而在中,，即二面角的度数为.‎ ‎【点睛】‎ 很新颖的立体几何考题．首先是多面体粘合问题，考查考生在粘合过程中哪些量是不变的．再者粘合后的多面体不是直棱柱，建系的向量解法在本题中略显麻烦，突出考查几何方法．最后将求二面角转化为求二面角的平面角问题考查考生的空间想象能力．‎ ‎20.手工艺是一种生活态度和对传统的坚持，在我国有很多手工艺品制作村落，村民的手工技艺世代相传，有些村落制造出的手工艺品不仅全国闻名，还大量远销海外.近年来某手工艺品村制作的手工艺品在国外备受欢迎，该村村民成立了手工艺品外销合作社，为严把质量关，合作社对村民制作的每件手工艺品都请3位行家进行质量把关，质量把关程序如下：（i）若一件手工艺品3位行家都认为质量过关，则该手工艺品质量为A级；（ii）若仅有1位行家认为质量不过关，再由另外2位行家进行第二次质量把关，若第二次质量把关这2位行家都认为质量过关，则该手工艺品质量为B级，若第二次质量把关这2位行家中有1位或2位认为质量不过关，则该手工艺品质量为C级；（iii）若有2位或3位行家认为质量不过关，则该手工艺品质量为D级.已知每一次质量把关中一件手工艺品被1位行家认为质量不过关的概率为，且各手工艺品质量是否过关相互独立.‎ ‎（1）求一件手工艺品质量为B级的概率；‎ ‎（2）若一件手工艺品质量为A，B，C级均可外销，且利润分别为900元，600元，300元，质量为D级不能外销，利润记为100元.‎ ‎①求10件手工艺品中不能外销的手工艺品最有可能是多少件；‎ ‎②记1件手工艺品的利润为X元，求X的分布列与期望.‎ ‎【答案】（1）；（2）①可能是2件；②详见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由一件手工艺品质量为B级的情形，并结合相互独立事件的概率公式，列式计算即可；（2）①先求得一件手工艺品质量为D级的概率为，设10件手工艺品中不能外销的手工艺品可能是件，可知，分别令、、，可求出使得最大的整数，进而可求出10件手工艺品中不能外销的手工艺品的最有可能件数；‎ ‎②分别求出一件手工艺品质量为A、B、C、D级的概率，进而可列出X的分布列，求出期望即可.‎ ‎【详解】（1）一件手工艺品质量为B级的概率为.‎ ‎（2）①由题意可得一件手工艺品质量为D级的概率为，‎ 设10件手工艺品中不能外销的手工艺品可能是件，则，‎ 则，其中，‎ ‎.‎ 由得，整数不存在，‎ 由得，所以当时，，即，‎ 由得，所以当时，，‎ 所以当时，最大，即10件手工艺品中不能外销的手工艺品最有可能是2件.‎ ‎②由题意可知，一件手工艺品质量为A级的概率为，一件手工艺品质量为B级的概率为，‎ 一件手工艺品质量为C级的概率为，‎ 一件手工艺品质量为D级的概率为，‎ 所以X的分布列为：‎ X ‎900‎ ‎600‎ ‎300‎ ‎100‎ P 则期望为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查相互独立事件的概率计算，考查离散型随机变量的分布列及数学期望，考查学生的计算求解能力，属于中档题.‎ ‎21.已知圆,定点 ,为平面内一动点，以线段为直径的圆内切于圆，设动点的轨迹为曲线 ‎（1）求曲线的方程 ‎（2）过点的直线与交于两点，已知点，直线分别与直线交于两点，线段的中点是否在定直线上，若存在，求出该直线方程；若不是，说明理由.‎ ‎【答案】（1）；（2）存在，.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设以为直径的圆心为，切点为，取关于轴的对称点，连接，计算得到，故轨迹为椭圆，计算得到答案.‎ ‎（2）设直线的方程为，设，联立方程得到 ‎，，计算，得到答案.‎ ‎【详解】（1）设以为直径的圆心为，切点为，则，‎ 取关于轴的对称点，连接，故，‎ 所以点的轨迹是以为焦点，长轴为4的椭圆，其中，‎ 曲线方程为.‎ ‎（2）设直线的方程为，设，‎ 直线的方程为，同理，‎ 所以，‎ 即，‎ 联立，‎ 所以，‎ 代入得，‎ 所以点都在定直线上.‎ ‎【点睛】本题考查了轨迹方程，定直线问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.‎ ‎22.已知函数 ‎（1）若函数有且只有一个零点，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若函数对恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求导得到，讨论和两种情况，计算函数的单调性，得到，再讨论，，三种情况，计算得到答案.‎ ‎（2）计算得到，讨论，两种情况，分别计算单调性得到函数最值，得到答案.‎ ‎【详解】（1），‎ ‎①当时恒成立，所以单调递增，因为，所以有唯一零点，即符合题意；‎ ‎②当时，令，‎ 函数在上单调递减，在上单调递增，函数。‎ ‎（i）当即,所以符合题意，‎ ‎（ii）当即 时，‎ 因为，‎ 故存在,所以 不符题意 ‎（iii）当 时，‎ 因为，‎ 设，‎ 所以,单调递增，即，‎ 故存在，使得，不符题意；‎ 综上，的取值范围为。‎ ‎（2）。‎ ‎①当时，恒成立，所以 单调递增，所以，‎ 即符合题意；‎ ‎②当 时，恒成立，所以单调递增，‎ 又因为，‎ 所以存在，使得，且当时，。‎ 即在上单调递减，所以，不符题意。‎ 综上，的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题考查了函数的零点问题，恒成立问题，意在考查学生的分类讨论能力和综合应用能力.‎ ‎ ‎