浙江省宁波市效实中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学（理）试题

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www.ks5u.com 浙江省宁波市效实中学2019-2020学年高一上学期期中数学（理）试题 说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共100分.‎ 第Ⅰ卷（选择题共30分）‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.满足条件的所有集合的个数是( )‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用条件,则说明中必含有元素3，然后进行讨论即可.‎ ‎【详解】，一定属于，‎ 则满足条件的或或或，共有4个，故选D.‎ ‎【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系.‎ ‎2.已知函数，则的定义域为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求的定义域再构造使函数的解析式有意义的x的不等式组，解不等式组，即可得到函数的定义域．‎ ‎【详解】有意义， ，则有意义的x满足，故的定义域为 故选A ‎【点睛】本题考查的知识点是函数的定义域及其求法，其中熟练掌握抽象函数定义域的求法即对应法则f中括号内整体的取值范围不变，是解答本题的关键．‎ ‎3.已知则下列命题成立的是 （ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用不等式的性质去判断和证明A，当判断B．利用函数图像判断C；利用幂函数f（x）＝x3的单调性判断D．．‎ ‎【详解】当c＝0时，ac2＝bc2＝0，所以A错误．‎ 当 则，所以B错误．‎ 在同一个坐标系画出的图像：‎ 易知所以C错误．‎ 因为函数 f（x）＝x3在定义域上单调递增，所以由a3＞b3得a＞b，又ab>0，所以a，b，同号，所以成立．所以D正确．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题考查不等关系以及不等式的性质，要求熟练掌握不等式的性质以及不等式成立的条件．‎ ‎4.用列表法将函数表示为如图所示，则（ ）‎ A. 为奇函数 B. 为偶函数 C. 为奇函数 D. 为偶函数 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据平移关系，得到函数与 过的点，判断函数的奇偶性.‎ ‎【详解】向左平移2个单位得到，所以过的点是，，，三个点关于原点对称，所以是奇函数；‎ 向右平移2个单位得到，所以过的点是，，，可知函数的三点即不关于原点对称，也不关于轴对称，所以既不是奇函数也不是偶函数.‎ 故选A ‎【点睛】本题考查根据函数过的点，判断函数的奇偶性，属于基础题型.‎ ‎5.若关于的不等式的解集为，则的值（ ）‎ A. 与有关，且与有关 B. 与无关，但与有关 C. 与有关，且与无关 D. 与无关，但与无关 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解不等式求，逐一判断选项.‎ ‎【详解】 ‎ ‎ ，‎ 即， ，‎ ‎ ，‎ 与无关，与有关.‎ 故选B ‎【点睛】本题考查含绝对值不等式的解法，意在考查计算能力，属于基础题型.‎ ‎6.已知，，，则的大小关系为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用等中间值区分各个数值的大小．‎ ‎【详解】，‎ ‎，‎ ‎，故，‎ 所以．‎ 故选A．‎ ‎【点睛】本题考查大小比较问题，关键选择中间量和函数的单调性进行比较．‎ ‎7.函数（其中为自然对数的底数）的图象如图所示，则（ ）‎ A. ，‎ B. ，‎ C. ，‎ D. ，‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析】‎ 根据函数的对称轴确定的范围，再根据函数有最大值确定的范围.‎ ‎【详解】函数关于对称，而根据图象可知，，‎ 函数可拆成，，根据图象可知，函数有最大值，‎ 有最大值，即图象开口向下，‎ ‎ ‎ ‎.‎ 故选C ‎【点睛】本题考查由函数图象确定解析式参数的范围，意在考查识图能力，属于基础题型.‎ ‎8.已知函数是上的增函数，则实数的取值范围是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎∵函数f（x）=是R上的增函数，‎ ‎∴，‎ 解得：a∈[4，8），‎ 故选D．‎ 点睛：本题主要考查函数的单调性，考查分段函数连续单调的问题.分段函数有两段，第一段是指数函数，第二段是一次函数.对于一次函数，要单调递增就需要斜率大于零，对于指数函数，要单调递增就需要底数大于1.两段分别递增还不行，还需要在两段交接的地方，左边比右边小，这样才能满足在身上单调递增.‎ ‎9.已知是正实数，则下列条件中是“”的充分条件为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 逐一分析选项，得到答案.‎ ‎【详解】A.当时，，所以时，不能推出，所以不是充分条件，故不正确；‎ B.若 ，‎ 化简为，‎ 是正实数，，‎ ‎ ，故是的充分条件；‎ C.当时，满足不等式，所以当时，不能推出，所以不是充分条件，故不正确；‎ D. 当时，满足不等式，所以当时，不能推出，所以不是充分条件，故不正确；‎ 故选B ‎【点睛】本题考查判断命题成立的充分条件，意在考查推理，变形和转化，属于中档题型，对于不成立的命题，可以举反例，说明不成立，成立的需严格证明.‎ ‎10.若在定义域内存在实数，满足，则称为“有点奇函数”，若为定义域上的“有点奇函数”，则实数的取值范围是（ ）．‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 根据“局部奇函数”定义可知，函数有解即可，‎ 即，‎ ‎∴，‎ 即有解即可，‎ 设，则，‎ ‎∴方程等价为在时有解，‎ 设，‎ 对称轴，‎ ‎①若，则，‎ 即，‎ ‎∴，此时．‎ ‎②若，要使在时有解，‎ 则，‎ 即，‎ 解得，‎ 综上：．‎ 选B.‎ 点睛:研究二次函数最值或单调性，一般根据对称轴与定义区间位置关系进行分类讨论；研究二次方程在定义区间有解，一般从开口方向，对称轴位置，判别式正负，以及区间端点函数值正负四个方面进行考虑.‎ 第Ⅱ卷（非选择题共70分）‎ 二、填空题：本大题共7小题，共25分.‎ ‎11.化简求值：‎ ‎（1）__________；‎ ‎（2）若，且，则_________．‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据指数运算法则计算求解；‎ ‎（2）首先指对互化，，，，再根据对数运算法则求解.‎ ‎【详解】（1）原式 ‎ ‎ ；‎ ‎（2），， ‎ ‎，‎ ‎ ， ‎ ‎.‎ 故答案为 ；‎ ‎【点睛】本题考查指数和对数运算，意在考查计算，变形和转化能力，属于基础题型.‎ ‎12.若，则_________；________．‎ ‎【答案】 (1). 24 (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用换元法求函数的解析式即可求解 ‎【详解】令，则 故，则24‎ 故答案为 24 ； ‎ ‎【点睛】本题考查换元法求函数解析式，注意换元时新元的范围，是中档题 ‎13.已知函数（且）．若，则的单调递增区间是_________；若的值域为，值的取值范围是_________．‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）时，，利用复合函数单调性求解；‎ ‎（2）若函数的值域为，则内层函数需和轴有交点，求的取值范围.‎ ‎【详解】（1）时，‎ 拆成，，‎ 外层函数是增函数，‎ 内层函数需满足 ，‎ 解得： ，‎ 单调递增区间是；‎ ‎（2）若函数的值域为，则内层函数需和轴有交点 ‎ ，解得：.‎ 故答案为；‎ ‎【点睛】本题考查根据对数的复合函数的形式求参数的取值范围，意在考查对函数的理解，转化与化归，和计算能力，属于中档题型，若本题第二问是定义域为，即内层函数与轴无交点，即，做题时，需理解这两个题的不同.‎ ‎14.已知定义在上的偶函数，当时，，则函数的解析式为______；若有，则的取值范围为________．‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）首先设，，利用函数是偶函数求函数的解析式；‎ ‎（2）因为函数是偶函数，所以不等式转化为，利用函数在的单调性解不等式.‎ 详解】（1）设， ‎ 函数是偶函数，‎ ‎，‎ 函数的解析式为 ；‎ ‎（2）当时，，‎ 当时，函数单调递增，‎ ‎，‎ ‎ ，即 ，‎ ‎ ，‎ 或.‎ 故答案为 ；‎ ‎【点睛】本题考查利用函数的奇偶性，求函数的解析式和解不等式，意在考查转化与化归，属于基础题型，如果函数在定义域内是连续的，奇函数，并且单调递增，那么解，只需解；若函数是偶函数，并且在单调递增，解，需转化为，解.‎ ‎15.函数的函数值表示不超过的最大整数，例如：，．若，则中所有元素的和为_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分，，，，，5种情况讨论的范围，计算函数值，并求元素的和.‎ ‎【详解】①当时， ‎ ‎ ，，‎ ‎ ， ；‎ ‎②当时， ， ，‎ ‎，‎ ‎；‎ ‎③当时， ， ‎ ‎， ， ，‎ ‎；‎ ‎④时， ， ‎ ‎，，，‎ ‎；‎ ‎⑤当时，， ，‎ ‎，‎ 则中所有元素的和为.‎ 故答案为12‎ ‎【点睛】本题考查新定义的题型，需读懂题意，并能理解，应用，分类讨论解决问题，本题的难点是分类较多，不要遗漏每种情况 ‎16.若二次函数在区间上有两个不同的零点，则的取值范围为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先根据两根式写出函数的解析式，，，根据零点的范围，求的范围.‎ ‎【详解】有两个不同的零点，设为 ，且，‎ ‎ ，‎ ‎ ，‎ ‎ ，‎ ‎，‎ ‎， ， ‎ ‎ ，‎ 但只有当时，才成立，所以不满足条件，‎ 综上：‎ 的取值范围是.‎ 故答案为 ‎【点睛】本题考查根据函数零点个数求参数范围，意在考查转化与化归能力，本题的关键点是首先设函数的两根式，这样后面迎刃而解.已知函数零点求参数的范围的常用方法，(1)‎ 直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，作出函数的图象，然后数形结合求解．‎ ‎17.函数设，若其定义域内不存在实数，使得，则的取值范围是_____.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：若：，符合题意；若：的定义域为，故取，其中，显然，当时，可取负值，故不合题意；若：①：，，定义域为，显然恒成立，符合题意；②：的定义域为，此时，恒成立，符合题意；③：：的定义域为，取，‎ 其中，显然，当时，可取负值，故不合题意；综上所述，可知实数的取值范围是，故填：.‎ 考点：1.恒成立问题；2.函数综合题；3.分类讨论的数学思想.‎ ‎【思路点睛】一般地，对含参的不等式求范围问题通常采用分离变量转化为恒成立问题，对于“恒成立”的不等式，一般的解题方法是先分离然后求函数的最值，另外，要记住几个常见的有关不等式恒成立的等价命题：1.恒成立；2.恒成立；3.有解；4.有解.‎ 三、解答题：本大题共5小题，共45分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎18.已知正数满足．‎ ‎（1）求的最大值；‎ ‎（2）求的最小值．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）根据基本不等式，求的最大值；‎ ‎（2）利用，展开求式子的最小值.‎ ‎【详解】（1），‎ ‎，‎ ‎ ， ‎ 当时等号成立，‎ 的最大值是；‎ ‎（2） ，‎ 等号成立的条件是 ‎ ‎ ，解得：，，‎ 所以，当，时，的最小值是.‎ ‎【点睛】本题考查根据基本不等式乘积的最大值和求和的最小值，意在考查公式的熟练掌握，以及转化与计算能力，属于基础题型.‎ ‎19.已知集合.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）已知集合，若，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）化简集合A、B，求出（2）化简集合C，知C⊆B，由此列不等式求出a的取值范围．‎ ‎【详解】（1）因为A＝‎ B＝{x|－x≤2x﹣6≤x}＝{x|2≤x≤6}，‎ 所以 ‎（2）‎ 若，则 ‎ 当 ，满足题意 当，，则，即 当，，则，即 综上：实数的取值范围是 ‎【点睛】本题考查了集合的化简与运算问题，考查集合的包含关系求，考查含参二次不等式解法，准确分类是关键，是中档题．‎ ‎20.求下列两个函数的值域．‎ ‎（1）；‎ ‎（2）．‎ ‎【答案】（1）;（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）首先函数化简为，然后再换元，令，利用基本不等式求取值范围；‎ ‎（2）函数变形为，再通过换元可得 ，分别讨论函数在定义域下的单调性求取值范围.‎ ‎【详解】（1）函数的定义域是，‎ ‎ ，‎ 设 ， ‎ ‎ ，‎ ‎ ，‎ 当时， ，‎ 当时， ，，‎ 当时， ， ，‎ 当时， ，‎ 综上：函数的值域是 .‎ ‎（2）函数的定义域 ，‎ 解得或，‎ 即定义域是 ‎ ‎ ，‎ 设 ，或 ‎ ‎ ，‎ 当时，函数是增函数+增函数=增函数 时，函数取值最小值3，‎ ‎ ‎ 当时，函数的值域是 ‎ 当时， ，‎ 函数单调递减，当时，取得最小值1，‎ 当时， ，‎ 所以当时，函数的值域是 ‎ 综上：函数的值域是 ‎【点睛】本题考查函数值域求法，意在考查变形与转化，以及计算求解能力，属于中档题型.‎ ‎21.已知定义在上的函数满足以下三个条件：‎ ‎①对任意实数，都有；‎ ‎②；‎ ‎③在区间上为增函数．‎ ‎（1）判断函数的奇偶性，并加以证明；‎ ‎（2）求证：；‎ ‎（3）解不等式．‎ ‎【答案】（1）奇函数，证明见解析；（2）证明见解析；（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）通过赋值，令，求，再赋值，求得函数是奇函数；‎ ‎（2）同样是赋值令，，再赋值证明；‎ ‎（3）根据奇函数和周期性可得函数关于对称，并且在单调递增，在单调递减，再利用赋值，可得，再利用函数性质解不等式.‎ ‎【详解】（1）令 ，‎ ‎ ，‎ ‎ ， ，‎ 令 ，代入得 ，‎ ‎ ，‎ ‎ ，，‎ 函数是奇函数.‎ ‎（2）令 ，‎ ‎，‎ ‎ ，，‎ ‎ ，‎ ‎.‎ ‎（3）因为函数是上奇函数，所以满足， ‎ 又 ，‎ ‎ ，函数关于对称，‎ 因为函数在单调递增，并且是奇函数，‎ 在上也是单调递增，‎ 在上单调递减，‎ 令 ，代入可得，‎ 函数关于对称，，‎ ‎ ，‎ 解得： 或 ，‎ 在单调递增，且 ，（舍）‎ ‎ ，‎ 当 时， ，‎ 又是周期为4的函数，‎ 不等式的解集是.‎ ‎【点睛】本题考查判断抽象函数的奇偶性，周期性，以及根据函数的性质解抽象不等式，意在考查转化与化归，以及逻辑推理和证明，属于中档题型，抽象函数判断函数性质时，一般都采用赋值法，利用赋特征值，利用函数性质的定义证明.‎ ‎22.已知，函数．‎ ‎（1）当时，写出的单调递增区间（不需写出推证过程）；‎ ‎（2）当时，若直线与函数的图象相交于两点，记，求的最大值；‎ ‎（3）若关于的方程在区间上有两个不同的实数根，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）4；（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）当时，，由此能求出的单调递增区间;‎ ‎（2）由，得当时，的图象与直线没有交点；当 或 时，y=f（x）的图象与直线只有一个交点；当时，；当时，由，得，由，得，由此能求出的最大值;‎ ‎（3）要使关于x的方程有两个不同的实数根，则，且，根据，且进行分类讨论能求出的取值范围．‎ ‎【详解】（1）当时， ‎ 在和单调递增 ‎（2）因为x＞0，所以 ‎（ⅰ）当a＞4时，，函数的 ，‎ 函数的图像与直线y＝4没有交点；‎ ‎（ⅱ）当a＝4时， ，函数的最小值是4，‎ 的图象与直线只有一个交点；‎ 当时， 与有1个交点，交点坐标，不满足条件；‎ ‎（ⅲ）当0＜a＜4时， ‎ 即 ‎ ‎ ‎，‎ ‎ ，‎ ‎；‎ ‎（ⅳ）当a＜0时，如图：‎ 由 ‎ 得,‎ 解得；‎ 由， ‎ 得 解得.‎ 所以.‎ 综上：的最大值是4.‎ ‎（Ⅲ）要使关于的方程 （*）‎ 当时，去绝对值得，解得，不成立，舍；‎ 当时，去绝对值 ， ‎ 化简为：，不成立，舍；‎ 当时，，，也不成立，舍；‎ ‎.‎ ‎（ⅰ）当时，由（*）得，‎ 所以，不符合题意；‎ ‎（ⅱ）当时，由（*）得，其对称轴，不符合题意；‎ ‎（ⅲ）当，且时，‎ 当时，，，‎ 整理为：，不成立，‎ 当时，‎ 要使直线与函数图像在内有两个交点，‎ 当时，，当时，‎ 只需满足 ，‎ 解得：；①‎ 当时 ‎ ，‎ 整理得： ，‎ 若在区间方程有2个不等实数根，只需满足 ‎ ，‎ 解得： ②，‎ 综上①②可知，的范围是 ‎ 综上所述，a的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题考查函数的增区间的求法，考查两点间的距离的最大值的求法，考查实数的取值范围的求法，考查函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是难题．‎ ‎ ‎