2011年数学理（安徽）高考试题

2011年数学理（安徽）高考试题

‎2011年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）‎ 数学（理科）‎ 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。‎ 考生注意事项：‎ 答题前，务必在试题卷、答题卡规定填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位。‎ 答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。‎ 答第Ⅱ卷时，必须使用‎0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰。作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用‎0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。必须在题号所指示的答题区域作答，超出书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效。‎ 考试结束后，务必将试题卷和答题卡一并上交。‎ 参考公式：‎ 椎体体积，其中S为椎体的底面积，h为椎体的高.‎ 若（x，y），（x，y）…，（x，y）为样本点，为回归直线，则 ，‎ ‎，‎ 说明：若对数据适当的预处理，可避免对大数字进行运算.‎ 第Ⅰ卷（选择题 共50分）‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎（1）设 是虚数单位，复数为纯虚数，则实数为 ‎ （A）2 （B） 2 （C） （D） ‎ ‎（2）双曲线的实轴长是 ‎ （A）2 （B） 2 （C） 4 （D）4‎ ‎（3）设是定义在R上的奇函数，当 ‎ （A）－3 （B）－1 （C）1 （D） 3‎ ‎（4）设变量的最大值和最小值分别为 ‎ （A）1，－1 （B）2，－2 （C） 1，－2 （D） 2，－1‎ ‎（5）在极坐标系中，点的圆心的距离为 ‎ （A）2 （B） （C） （D）‎ ‎（6）一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 ‎ （A）48 ‎ ‎ （B）32+8 ‎ ‎ （C）48+8 ‎ ‎ （D）80‎ ‎（7）命题“所有能被2整聊的整数都是偶数”的否定是 ‎ （A）所有不能被2整除的数都是偶数 ‎ （B）所有能被2整除的整数都不是偶数 ‎ （C）存在一个不能被2整除的数都是偶数 ‎ （D）存在一个能被2整除的数都不是偶数 ‎（8）设集合则满足且的集合为 ‎ （A）57 （B）56 （C）49 （D）8‎ ‎（9）已知函数，其中为实数，若对恒成立，且 ，则的单调递增区间是 ‎ （A） （B）‎ ‎ （C） （D）‎ ‎（10）函数在区间[0,1]‎ ‎ 上的图像如图所示，则m，n的值可能是 ‎ （A）m=1，n=1 （B）m=1，n=2 ‎ ‎ （C）m=2，n=1 （D）m=3，n=1‎ 第II卷（非选择题 共100分）‎ 考生注意事项：‎ 请用‎0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.‎ 二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡的相应位置.‎ ‎（11）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是 .‎ ‎（12）设，则 .‎ ‎（13）已知向量满足，且，，‎ ‎ 则a与b的夹角为 .‎ ‎（14）已知 的一个内角为120o，并且三边长构成公差为4的 ‎ 等差数列，则的面积为_______________.‎ ‎（15）在平面直角坐标系中，如果与都是整数，就称点为整点，‎ ‎ 下列命题中正确的是_____________（写出所有正确命题的编号）.‎ ‎①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点 ‎②如果与都是无理数，则直线不经过任何整点 ‎③直线经过无穷多个整点，当且仅当经过两个不同的整点 ‎④直线经过无穷多个整点的充分必要条件是：与都是有理数 ‎⑤存在恰经过一个整点的直线 三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡的制定区域内.‎ ‎（16）(本小题满分12分)‎ 设，其中为正实数 ‎（Ⅰ）当时，求的极值点；‎ ‎（Ⅱ）若为上的单调函数，求的取值范围。‎ ‎（17）（本小题满分12分）‎ 如图，为多面体，平面与平面垂直，点在线段上，△OAB，,△，△，△都是正三角形。‎ ‎（Ⅰ）证明直线∥；‎ ‎（II）求棱锥F—OBED的体积。‎ ‎（18）（本小题满分13分）‎ 在数1和100之间插入个实数，使得这个数构成递增的等比数列，将这个数的乘积记作，再令.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设求数列的前项和.‎ ‎（19）（本小题满分12分）K]‎ ‎（Ⅰ）设证明，‎ ‎（Ⅱ），证明.‎ ‎（20）（本小题满分13分）‎ 工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个人进去，且每个人只派一次，工作时间不超过10分钟，如果有一个人10分钟内不能完成任务则撤出，再派下一个人。现在一共只有甲、乙、丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别，假设互不相等，且假定各人能否完成任务的事件相互独立.‎ ‎（Ⅰ）如果按甲最先，乙次之，丙最后的顺序派人，求任务能被完成的概率。若改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？‎ ‎（Ⅱ）若按某指定顺序派人，这三个人各自能完成任务的概率依次为，其中是的一个排列，求所需派出人员数目的分布列和均值（数字期望）；‎ ‎（Ⅲ）假定，试分析以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的均值（数字期望）达到最小。‎ ‎（21）（本小题满分13分）‎ ‎ 设，点的坐标为（1,1），点在抛物线上运动，点满足，经过点与轴垂直的直线交抛物线于点，点满足,求点的轨迹方程。‎ 参考答案 一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分50分.‎ ‎（1）A （2）C （3）A （4）B （5）D （6）C （7）D （8）B （9）C （10）B 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分25分.‎ ‎（1）15 （12）0 （13） （14） （15）①，③，⑤‎ 三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎（16）（本小题满分12分）本题考查导数的运算，极值点的判断，导数符号与函数单调性之间的关系，求解一元二次不等式基本知识，考查运算求解能力，综合分析和解决问题的能力.‎ ‎ 解：对求导得 ①‎ ‎ （I）当，若 ‎ 综合①,可知 ‎+‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ ‎ 所以,是极小值点,是极大值点.‎ ‎ （II）若为R上的单调函数，则在R上不变号，结合①与条件a>0，知 ‎ 在R上恒成立，因此由此并结合，知 ‎（17）（本小题满分12分）本题考查空间直线与直线，直线与平面、平面与平面的位置关系，空间直线平行的证明，多面体体积的计算等基本知识，考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力.‎ ‎ （I）（综合法）‎ ‎ 证明：设G是线段DA与EB延长线的交点. 由于△OAB与△ODE都是正三角形，所以 ‎=‎ ‎ ∥，OG=OD=2，‎ ‎ 同理，设是线段DA与线段FC延长线的交点，有 ‎ 又由于G和都在线段DA的延长线上，所以G与重合.‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎ 在△GED和△GFD中，由‎=‎ ∥和OC∥‎ ‎，可知B和C分别是GE和GF的中点，所以BC是△GEF的中位线，故BC∥EF.‎ ‎ （向量法）‎ ‎ 过点F作，交AD于点Q，连QE，由平面ABED⊥平面ADFC，知FQ⊥平面ABED，以Q为坐标原点，为轴正向，为y轴正向，为z轴正向，建立如图所示空间直角坐标系.‎ ‎ 由条件知 ‎ 则有 ‎ 所以即得BC∥EF.‎ ‎ （II）解：由OB=1，OE=2，，而△OED是边长为2的正三角形，故 ‎ 所以 ‎ 过点F作FQ⊥AD，交AD于点Q，由平面ABED⊥平面ACFD知，FQ就是四棱锥F—OBED的高，且FQ=，所以 ‎（18）（本小题满分13分）本题考查等比和等差数列，指数和对数的运算，两角差的正切公式等基本知识，考查灵活运用知识解决问题的能力，综合运算能力和创新思维能力.‎ ‎ 解：（I）设构成等比数列，其中则 ‎ ①‎ ‎ ②‎ ‎ ①×②并利用 ‎ ‎ ‎ （II）由题意和（I）中计算结果，知 ‎ 另一方面，利用 ‎ 得 ‎ 所以 ‎ ‎ ‎（19）（本小题满分12分）本题考查不等式的基本性质，对数函数的性质和对数换底公式等基本知识，考查代数式的恒等变形能力和推理论证能力.‎ ‎ 证明：（I）由于，所以 ‎ 将上式中的右式减左式，得 ‎ ‎ ‎ 从而所要证明的不等式成立.‎ ‎ （II）设由对数的换底公式得 ‎ ‎ ‎ 于是，所要证明的不等式即为 ‎ 其中 ‎ 故由（I）立知所要证明的不等式成立.‎ ‎（20）（本小题满分13分）本题考查相互独立事件的概率计算，考查离散型随机变量及其分布列、均值等基本知识，考查在复杂情境下处理问题的能力以及抽象概括能力、合情推理与演绎推理，分类读者论论思想，应用意识与创新意识.‎ ‎ 解：（I）无论以怎样的顺序派出人员，任务不能被完成的概率都是，所以任务能被完成的概率与三个被派出的先后顺序无关，并等于 ‎ ‎ ‎ （II）当依次派出的三个人各自完成任务的概率分别为时，随机变量X的分布列为 ‎ X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎ 所需派出的人员数目的均值（数学期望）EX是 ‎ ‎ ‎ （III）（方法一）由（II）的结论知，当以甲最先、乙次之、丙最后的顺序派人时，‎ ‎ ‎ ‎ 根据常理，优先派出完成任务概率大的人，可减少所需派出的人员数目的均值.‎ ‎ 下面证明：对于的任意排列，都有 ‎ ……………………（*）‎ ‎ 事实上，‎ ‎ ‎ ‎ 即（*）成立.‎ ‎ （方法二）（i）可将（II）中所求的EX改写为若交换前两人的派出顺序，则变为.由此可见，当时，交换前两人的派出顺序可减小均值.‎ ‎ （ii）也可将（II）中所求的EX改写为，或交换后两人的派出顺序，则变为.由此可见，若保持第一个派出的人选不变，当时，交换后两人的派出顺序也可减小均值.‎ ‎ 序综合（i）（ii）可知，当时，EX达到最小. 即完成任务概率大的人优先派出，可减小所需派出人员数目的均值，这一结论是合乎常理的.‎ ‎（21）（本小题满分13分）本题考查直线和抛物线的方程，平面向量的概念，性质与运算，动点的轨迹方程等基本知识，考查灵活运用知识探究问题和解决问题的能力，全面考核综合数学素养.‎ ‎ 解：由知Q，M，P三点在同一条垂直于x轴的直线上，故可设 ‎ ①‎ ‎ 再设 ‎ 解得 ②‎ ‎ 将①式代入②式，消去，得 ‎ ③‎ ‎ 又点B在抛物线上，所以，再将③式代入，得 ‎ ‎ ‎ 故所求点P的轨迹方程为