安徽省宿州市砀山县第二中学2020届高三上学期第四次月考数学（文）试题

安徽省宿州市砀山县第二中学2020届高三上学期第四次月考数学（文）试题

砀山二中2020届高三上学期第四次月考 数学试题（理科）‎ ‎―、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）‎ ‎1.设全集，集合，，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简集合，再按补集、交集定义，即可求解.‎ ‎【详解】，‎ ‎，‎ 则，则．‎ 故选:D ‎【点睛】本题考查集合间的运算，化简集合是关键，属于基础题.‎ ‎2.已知复数满足：，其中是虚数单位，则的共轭复数为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】，，所以的共轭复数为.故选B.‎ ‎3.已知=(2,3)，=(3，t)，=1，则=‎ A. -3 B. -2‎ C. 2 D. 3‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量三角形法则求出t，再求出向量的数量积.‎ ‎【详解】由，，得，则，．故选C．‎ ‎【点睛】本题考点为平面向量的数量积，侧重基础知识和基本技能，难度不大．‎ ‎4.三内角的对边分别为,则“”是“”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 即不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：在三角形中，等价为，即．若，由正弦定理，得．充分性成立．若，则正弦定理，得，必要性成立．所以，“”是“”的充要条件．即是成立的充要条件，故选C．‎ 考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎5.设，，，则a，b，c的大小关系是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据对数函数和指数函数的单调性，比较它们与0和1的大小关系，从而得到答案.‎ ‎【详解】∵，∴‎ ‎∵，∴‎ 又∵.‎ 故选:D ‎【点睛】本题考查了对数值和指数值大小比较，考查了对数函数的单调性，是基础题.‎ ‎6.记为等差数列的前n项和．已知，则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 等差数列通项公式与前n项和公式．本题还可用排除，对B，，，排除B，对C，，排除C．对D，，排除D，故选A．‎ ‎【详解】由题知，，解得，∴，故选A．‎ ‎【点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前n项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养．利用等差数列通项公式与前n项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，在适当计算即可做了判断．‎ ‎7.函数（）的图象的大致形状是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对x分类讨论，去掉绝对值，即可作出图象.‎ ‎【详解】 ‎ 故选C．‎ ‎【点睛】识图常用的方法 ‎(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题；‎ ‎(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题；‎ ‎(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．‎ ‎8.等比数列中，，，函数，则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将函数看做与的乘积，利用乘法运算的求导法则，代入可求得；根据等比数列性质可求得结果.‎ 详解】‎ 又 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查导数运算中的乘法运算法则的应用，涉及到等比数列性质应用的问题，关键是能够将函数拆解为合适的两个部分，从而求解导数值时直接构造出数列各项之间的关系.‎ ‎9.已知函数图象相邻两条对称轴之间的距离为，将函数的图象向左平移个单位后，得到的图象关于轴对称，那么函数的图象（ ）‎ A. 关于点对称 B. 关于点对称 C. 关于直线对称 D. 关于直线对称 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据相邻两条对称轴的距离可得周期为，从而，再根据平移变换得到新图像对应的解析式，根据其对称性可计算，从而可确定图像的对称轴和对称中心，故可得正确答案．‎ ‎【详解】因为相邻两条对称轴的距离为，故，，从而．‎ 设将的图像向左平移单位后，所得图像对应的解析式为，‎ 则，因的图像关于轴对称，故，‎ 所以，，所以，‎ 因，所以．‎ 又，令，‎ 故对称轴为直线，所以C，D错误；‎ 令，故，所以对称中心为，所以A错误，D正确．‎ 综上，选D．‎ ‎【点睛】一般地，我们研究的图像和性质时，通常用复合函数的方法来讨论，比如求函数的单调区间时，我们先确定的单调性，再函数的单调性确定外函数的单调区间后求出的范围即可，比如求函数的对称轴、对称中心时，可以由的对称轴或对称中心得到相应的对称轴或对称中心.‎ ‎10.在中，点是线段上任意一点，是线段的中点，若存在实数和，使得，则 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意结合中点的性质和平面向量基本定理首先表示出向量，，然后结合平面向量的运算法则即可求得最终结果.‎ ‎【详解】如图所示，因为点D在线段BC上，所以存在，使得，‎ 因为M是线段AD的中点，所以：‎ ‎，‎ 又，所以，，‎ 所以.‎ 本题选择D选项.‎ ‎【点睛】(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．‎ ‎(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．‎ ‎11.已知x，y满足约束条件若z＝ax＋y的最大值为4，则a＝ (　　)‎ A. 3 B. 2‎ C. －2 D. －3‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：作出不等式组对应的平面区域，如图（阴影部分），则，，若过点A时取得最大值4，则．此时目标函数为，即，平移直线，当直线过点A时截距最大，此时z的最大值为4，符合题意．若过点B时取到最大值4，则，此时目标函数为，即，平移直线，当直线过点A时截距最大，此时z的最大值为6，不符合题意．．‎ 考点：简单的线性规划．‎ ‎【名师点睛】本题主要考察线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，确定目标函数的斜率关系是解决本题的关键．线性规划类问题的解题关键是先正确画出不等式组所表示的平面区域，然后确定目标函数的几何意义，通过数形结合确定目标函数何时取得最值．画不等式组所表示的平面区域时要通过特殊点验证，防止出现错误．‎ ‎12.已知锐角，满足，设，，则下列判断正确的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对范围分类讨论，进一步求出的范围，确定函数的单调性，即可求解.‎ ‎【详解】若锐角，满足，则，‎ ‎∴，即；‎ 同理可得这与矛盾，‎ 故锐角，满足，即，‎ ‎∴，‎ ‎∴且，‎ ‎∴，‎ ‎∴单调递减，‎ ‎∴.‎ 故选:A ‎【点睛】本题考查了正弦函数的单调性，以及利用对数函数的单调性比较数的大小，属于中档题.‎ 二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.已知向量，，则在方向上的投影为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量投影的定义即可求解.‎ ‎【详解】∵向量，，‎ ‎∴，，‎ ‎∴，，‎ ‎∴在方向上的投影为.‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查向量的坐标表示，以及向量的投影，属于基础题.‎ ‎14.已知数列为等比数列，为其前n项和，，，则________．‎ ‎【答案】﹣2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据已知条件求出数列的公比，再由等比数列的前n项和公式，即可求解.‎ ‎【详解】为等比数列，，，可知．‎ 可得：，‎ 解得：，．‎ 那么：．‎ 故答案：﹣2‎ ‎【点睛】本题考查等比数列前n项和公式，属于基础题.‎ ‎15.已知正数，满足，则的最大值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令，则，可得，再利用基本不等式求最值即可.‎ ‎【详解】令，则，‎ 所以 ，当且仅当可以取到最大值，此时.‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了均值不等式的性质和应用，解题时要注意公式的正确应用，属于基础题．在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.‎ ‎16.设函数，对任意，恒成立，则实数的取值范围是 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】根据题意，由于函数，对任意，恒成立，，分离参数的思想可知，, 递增，最小值为， 即可知满足即可成立故答案为．‎ 三、解答题（共6小题，共70分）‎ ‎17.在锐角中，分别是角所对的边，且.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，且的面积为，求的值.‎ ‎【答案】（1）；(2) .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由，利用正弦定理可得，结合是锐角可得结果；(2)由，可得，再利用余弦定理可得结果.‎ ‎【详解】（1）因为 所以由正弦定理得,因为，‎ 所以,‎ 因为是锐角，‎ 所以.‎ ‎(2)由于，，‎ 又由于 ‎，‎ ‎，‎ 所以.‎ ‎【点睛】解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．‎ ‎18.已知数列是递增的等比数列，且 ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设为数列的前n项和，，求数列的前n项和．‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）设等比数列的公比为q，，根据已知由等比数列的性质可得，联立解方程再由数列为递增数列可得则通项公式可得 ‎（2）根据等比数列的求和公式，有所以，裂项求和即可 试题解析：（1）设等比数列的公比为q，所以有 联立两式可得或者又因为数列为递增数列，所以q>1，所以 数列的通项公式为 ‎（2）根据等比数列的求和公式，有 所以 所以 考点：等比数列的通项公式和性质，数列求和 ‎19.如图，四边形是矩形，沿对角线将折起，使得点在平面上的射影恰好落在边上.‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）当时，求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先证明. 结合，得平面，又平面，所以平面平面.‎ ‎（2）以点为原点，线段所在的直线为轴，线段所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，用向量法求解即可.‎ ‎【详解】（1）设点在平面上的射影为点，连接 则平面，所以.‎ ‎ 因为四边形是矩形，所以，所以平面，‎ 所以. ‎ 又，所以平面，而平面，‎ 所以平面平面.‎ ‎（2）方法1：在矩形中，过点作的垂线，垂足为，连结.‎ 因为平面 ，又DM∩DE=D 所以平面 ，‎ 所以为二面角的平面角. ‎ 设，则.‎ 在中，易求出，.‎ 在中，，‎ 所以 ‎ 方法2：以点为原点，线段所在的直线为轴，线段所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示. ‎ 设，则，所以，.‎ 由（1）知，又，所以°，°，那么，，，‎ 所以，所以，. ‎ ‎ 设平面的一个法向量为，则即 取，则，，所以. ‎ 因为平面的一个法向量为，‎ 所以.‎ 所以求二面角的余弦值为.‎ ‎【点睛】此题考查二面角余弦值的计算，向量坐标的运算等.‎ ‎20.设函数=[]．‎ ‎（1）若曲线在点（1，）处的切线与轴平行，求；‎ ‎（2）若在处取得极小值，求的取值范围．‎ ‎【答案】(1) 1 (2)（，）‎ ‎【解析】‎ 分析：（1）先求导数，再根据得a；（2）先求导数的零点：，2；再分类讨论，根据是否满足在x=2处取得极小值，进行取舍，最后可得a的取值范围．‎ 详解：解：（Ⅰ）因为=[]，‎ 所以f ′（x）=［2ax–（4a+1）］ex+［ax2–（4a+1）x+4a+3］ex（x∈R）‎ ‎=［ax2–（2a+1）x+2］ex．‎ f ′(1)=(1–a)e．‎ 由题设知f ′(1)=0，即(1–a)e=0，解得a=1．‎ 此时f (1)=3e≠0．‎ 所以a的值为1．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得f ′（x）=［ax2–（2a+1）x+2］ex=（ax–1）(x–2)ex．‎ 若a>，则当x∈(，2)时，f ′(x)<0；‎ 当x∈(2，+∞)时，f ′(x)>0．‎ 所以f (x)<0在x=2处取得极小值．‎ 若a≤，则当x∈(0，2)时，x–2<0，ax–1≤x–1<0，‎ 所以f ′(x)>0．‎ 所以2不是f (x)的极小值点．‎ 综上可知，a的取值范围是（，+∞）．‎ 点睛：利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解.‎ ‎21.已知.‎ ‎（Ⅰ）求的最小值；‎ ‎（Ⅱ）若对任意都成立，求整数的最大值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）最小值；（Ⅱ）3.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）通过求导分析 函数单调性即可得最小值；‎ ‎（Ⅱ）由条件可得对任意都成立，记，通过求导分析函数单调性可得存在唯一的，在取唯一的极小值也是最小值，结合极值的等量关系可得，从而得解.‎ ‎【详解】（Ⅰ）的定义域是，令 ，‎ 所以在上单调递减，在上单调递增，‎ 在处取唯一的极小值，也是最小值 ‎（Ⅱ） （注意），记，则 考查函数， ，定义域上单调递增.‎ 显然有，，所以存在唯一的使得.‎ 在上，，单调递减；在上，，单调递增.‎ 所以在取唯一的极小值也是最小值，注意此时 ，‎ 所以 ，所以整数的最大值可以取3‎ ‎【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，极值与最值，考查了用变量分离求新函数的最值解决恒成立问题的等价转化，也考查了推理能力和计算能力，属于中档题．‎ 请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分．‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 已知在极坐标系中，点，，是线段的中点，以极点为原点，极轴为轴的正半轴，并在两坐标系中取相同的长度单位，建立平面直角坐标系，曲线的参数方程是（为参数）.‎ ‎（1）求点的直角坐标，并求曲线的普通方程；‎ ‎（2）设直线过点交曲线于两点，求的值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）,. （Ⅱ）12.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）根据将极坐标化为直角坐标，利用三角函数平方关系消参数得普通方程，（2）先设直线参数方程，再代人圆方程，利用参数几何意义求的值.‎ 试题解析：（（Ⅰ）将点，的极坐标化为直角坐标，得和.‎ 所以点的直角坐标为. ‎ 将消去参数，得，即为曲线的普通方程. ‎ ‎（Ⅱ）解法一：直线的参数方程为 （为参数，为直线的倾斜角）‎ 代入，整理得：.‎ 设点、对应的参数值分别为、.则，‎ ‎. ‎ 解法二：过点作圆：切线，切点为，‎ 连接，因为点由平面几何知识得： ‎ ‎，‎ 所以 .‎ ‎23.设函数．‎ ‎（1）解关于x的不等式；‎ ‎（2）若实数a，b满足，求的最小值．‎ ‎【答案】(1) (2) .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用平方去绝对值，然后解一元二次不等式；‎ ‎（2）利用绝对值不等式的性质，即可求得结果.‎ ‎【详解】解：（1）‎ ‎，‎ 解得，故原不等式的解集为．‎ ‎（2）‎ ‎．‎ ‎【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，以及利用绝对值不等式性质求最值，属于中档题.‎ ‎ ‎