2018届二轮复习第二讲导数课件（全国通用）

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第 二 讲 　 导数 (3) 导数在研究函数中的应用 ① 了解函数单调性和导数的关系 ; 能利用导数研究函数的单调性 , 会求函数的单调区间 ( 其中多项式函数一般不超过三次 ) . ② 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件 ; 会用导数求函数的极大值、极小值 ( 其中多项式函数一般不超过三次 ); 会求闭区间上函数的最大值、最小值 ( 其中多项式函数一般不超过三次 ) . (4) 生活中的优化问题 会利用导数解决某些实际问题 . 1 . 导数的几何意义 (1) 函数 y= f ( x ) 在 x=x 0 处的导数 f' ( x 0 ) 等于曲线 y= f ( x ) 在点 ( x 0 , f ( x 0 )) 处的切线的斜率 , 即 k= f' ( x 0 ) . (2) 曲线 y= f ( x ) 在点 ( x 0 , f ( x 0 )) 处的切线方程为 y-f ( x 0 ) = f' ( x 0 ) ( x-x 0 ) . (3) 导数的物理意义 : s' ( t ) = v ( t ), v' ( t ) = a ( t ) . 2 . 基本初等函数的导数公式和运算法则 (1) 基本初等函数的导数公式 z z z z z z z z z z 3 . 函数的性质与导数 (1) 在区间 ( a , b ) 内 , 如果 f' ( x ) > 0 , 那么函数 f ( x ) 在区间 ( a , b ) 内单调递增 ; 在区间 ( a , b ) 内 , 如果 f' ( x ) < 0 , 那么函数 f ( x ) 在区间 ( a , b ) 内单调递减 . (2) 求极值的步骤 : ① 求 f' ( x ); ② 求 f' ( x ) = 0 的根 ; ③ 判定根两侧导数的符号 ; ④ 根据根两侧的导数的符号鉴别是极大值还是极小值 . (3) 求函数 f ( x ) 在区间 [ a , b ] 上的最大值与最小值的步骤 : ① 求 f' ( x ); ② 求 f' ( x ) = 0 的根 ( 注意取舍 ); ③ 求出各极值及区间端点处的函数值 ; ④ 比较其大小 , 得出结论 ( 最大的就是最大值 , 最小的就是最小值 ) . z z z z 考点 1 考点 2 考点 3 考点 4 例 1 在平面直角坐标系 xOy 中 , 若曲线 y=ax 2 + bx ( a , b 为常数 ) 过点 P (2, - 5), 且该曲线在点 P 处的切线与直线 7 x+ 2 y+ 3 = 0 平行 , 则 a+b 的值是 　　　　　 .   解析 : 由曲线 y=ax 2 + bx 过点 P (2, - 5), 得 4 a+ b 2 =- 5 . ① 又 y'= 2 ax- bx 2 , 所以当 x= 2 时 ,4 a- b 4 =- 72 , ② 由 ①② 得 a = - 1 , b = - 2 , 所以 a+b =- 3 . 答案 : - 3 z z 考点 1 考点 2 考点 3 考点 4 考点 1 考点 2 考点 3 考点 4 z z 考点 1 考点 2 考点 3 考点 4 例 2 设函数 f ( x ) =x e kx ( k ≠0) . (1) 求曲线 y= f ( x ) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程 ; (2) 求函数 f ( x ) 的单调区间 ; (3) 若函数 f ( x ) 在区间 ( - 1,1) 内单调递增 , 求 k 的取值范围 . 思路分析 :(1) 利用曲线 f ( x ) 在 x=x 0 处切线的方程为 y-f ( x 0 ) =f' ( x 0 )( x-x 0 ) 求解 . (2) 先求出定义域 , 再利用 f' ( x ) > 0 求 f ( x ) 的单调增区间 , 利用 f' ( x ) < 0 求 f ( x ) 的单调减区间 . (3) 只需使区间 ( - 1,1) 为 (2) 中所求增区间的子集 . 解 : (1) 由题意可得 f' ( x ) = (1 +kx )e kx , f' (0) = 1, f (0) = 0, 故曲线 y= f ( x ) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程为 y=x. z z 考点 1 考点 2 考点 3 考点 4 考点 1 考点 2 考点 3 考点 4 考点 1 考点 2 考点 3 考点 4 z z 考点 1 考点 2 考点 3 考点 4 z 考点 1 考点 2 考点 3 考点 4 考点 1 考点 2 考点 4 考点 3 考点 1 考点 2 考点 4 考点 3 考点 1 考点 2 考点 3 考点 4 变式训练 3 ( 2015 湖南浏阳一中、攸县一中、醴陵一中联考 ,15) 已知函数 f ( x ) = e x - 2 x+a 有零点 , 则 a 的取值范围是 　　　　　 .   解析 : 由 f' ( x ) = e x - 2 = 0, 解得 x= ln 2 . 当 x ∈ ( -∞ , ln 2) 时 , f' ( x ) < 0, 函数 f ( x ) 单调递减 ; 当 x ∈ ( ln 2, +∞ ) 时 , f' ( x ) > 0, 函数 f ( x ) 单调递增 . 故该函数的最小值为 f (ln 2) = e ln 2 - 2ln 2 +a= 2 - 2ln 2 +a. 因为该函数有零点 , 所以 f (ln 2) ≤ 0, 即 2 - 2ln 2 +a ≤ 0, 解得 a ≤ - 2 + 2ln 2 . 故 a 的取值范围是 ( -∞ , - 2 + 2ln 2] . 答案 : ( -∞ , - 2 + 2ln 2] z z 考点 1 考点 2 考点 4 考点 3 例 4( 本小题满分 12 分 ) 设函数 f ( x ) = a ln x+ 1 - a 2 x 2 -bx ( a ≠1), 曲线 y= f ( x ) 在点 (1, f (1)) 处的切线斜率为 0 . (1) 求 b ; (2) 若存在 x 0 ≥ 1, 使得 f ( x 0 ) < aa - 1 , 求 a 的取值范围 . 解 : (1) f' ( x ) = ax + (1 -a ) x-b. 由题设知 f' (1) = 0, 解得 b= 1 . 4 分 (2) f ( x ) 的定义域为 (0, +∞ ), 由 (1) 知 , f ( x ) = a ln x+ 1 - a 2 x 2 -x , f' ( x ) = ax + (1 -a ) x- 1 = 1 - axx - a 1 - a ( x- 1) . 6 分 ① 若 a ≤ 12 , 则 a 1 - a ≤ 1, 故当 x ∈ (1, +∞ ) 时 , f' ( x ) > 0, f ( x ) 在 (1, +∞ ) 单调递增 . 所以 , 存在 x 0 ≥ 1, 使得 f ( x 0 ) < aa - 1 的充要条件为 f (1) < aa - 1 , 即 1 - a 2 - 1 < aa - 1 , 解得 - 2 - 1 1, 故当 x ∈ 1 , a 1 - a 时 , f' ( x ) < 0; 当 x ∈ a 1 - a , + ∞ 时 , f' ( x ) > 0 .f ( x ) 在 1 , a 1 - a 单调递减 , 在 a 1 - a , + ∞ 单调递增 . 所以 , 存在 x 0 ≥ 1, 使得 f ( x 0 ) < aa - 1 的充要条件为 f a 1 - aaa - 1 , 所以不合题意 . 10 分 ③ 若 a> 1, 则 f (1) = 1 - a 2 - 1 = - a - 12

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