2019届二轮复习复数学案（全国通用）

2019届二轮复习复数学案（全国通用）

1.理解复数的基本概念 2.理解复数相等的充要条件 3.了解复数的代数表示法及其几何意义 4.会进行复数代数形式的四则运算 5.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义 热点题型一 复数的有关概念 例 1、（2018 年浙江卷）复数 (i 为虚数单位)的共轭复数是 A. 1+i B. 1−i C. −1+i D. −1−i 【答案】B 【变式探究】【2017 课标 1，文 3】下列各式的运算结果为纯虚数的是 A．i(1+i)2 B．i2(1-i) C．(1+i)2 D．i(1+i) 【答案】C 【解析】由 为纯虚数知选 C． 【变式探究】(1)复数 满足( －3)(2－i)＝5(i 为虚数单位)，则 的共轭复数z为(　　) A．2＋i　　　　　　B．2－i C．5＋i D．5－i (2)设 i 是虚数单位，若复数 a－ 10 3－i(a∈R)是纯虚数，则 a 的值为(　　) A．－3 B．－1 C．1 D．3 【解析】(1)由( －3)(2－i)＝5， 得 ＝ 5 2－i ＋3＝ 52＋i 2－i2＋i ＋3＝52＋i 5 ＋3＝5＋i， ∴z＝5－i.故选 D。 (2)复数 a－ 10 3－i ＝a－103＋i 10 ＝(a－3)－i 为纯虚数， 2(1 ) 2i i+ = ∴a－3＝0，∴a＝3。故选 D。 【答案】（1）D （2）D 【提分秘籍】 处理有关复数的基本概念问题，关键是找准复数的实部和虚部，从定义出发，把复数问题转化成实数 问题来处理。 【举一反三】 设 a，b∈R，i 是虚数单位，则“ab＝0”是“复数 a＋b i 为纯虚数”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 热点题型二 复数的几何意义 例 2、（2018 年北京卷）在复平面内，复数 的共轭复数对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 的共轭复数为 ，对应点为 ，在第四象限，故选 D. 【变式探究】【2017 课标 3，文 2】复平面内表示复数 的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【解析】由题意： ，在第三象限. 所以选 C. 【变式探究】(1)复数 ＝i·(1＋i)(i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 (2)复数 ＝2－i2 i (i 为虚数单位)，则 ＝(　　) A．25 B. 41 i( 2 i)z = − + 1 2z i= − − C．5 D. 5 【答案】（1）B （2）C 【提分秘籍】 (1)复数 、复平面上的点 及向量OZ→ 相互联系，即 ＝a＋bi(a，b∈R)⇔ (a，b)⇔OZ→ 。 (2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解 题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观。 提醒： 的几何意义：令 ＝x＋yi(x，y∈R)，则 ＝ x2＋y2，由此可知表示复数 的点到原点的距离 就是 的几何意义； 1－ 2 的几何意义是复平面内表示复数 1， 2 的两点之间的距离。 【举一反三】 如图，在复平面内，点 A 表示复数 ，则图中表示 的共轭复数的点是(　　) A．A B．B C．C D．D 【解析】设 ＝－a＋bi(a，b∈R＋)，则 的共轭复数z＝－a－bi，它的对应点为(－a，－b)，是第三象限 的点，故选 B。 【答案】B 热点题型三 复数的运算 例 3．（2018 年全国Ⅱ卷文数） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 选 D. 【变式探究】【2017 山东，文 2】已知 i 是虚数单位,若复数 满足 ,则 = A.-2i B.2i C.-2 D.2 【答案】A 【解析】由 得 ,即 ,所以 ,故选 A. 【变式探究】(1)已知复数 ＝ 3＋i 1－ 3i2 ，z是 的共轭复数，则 ·z＝__________。 (2) 2＋ 2i34＋5i 5－4i1－i ＝__________。 (3)已知复数 满足 i z＋i ＝2－i，则 ＝__________。 (2) 2＋ 2i34＋5i 5－4i1－i ＝2 21＋i3i5－4i 5－4i1－i ＝2 21＋i4i 2 ＝ 2i(1＋i)4＝ 2i[(1＋i)2 2＝ 2i(2i)2＝－ 4 2i。 (3)由 i z＋i ＝2－i，得 ＝ i 2－i －i＝i2＋i 5 －i＝2 5i－1 5 －i＝－1 5 －3 5i。 【提分秘籍】 利用复数的四则运算求复数的一般思路 (1)复数的乘法运算满足多项式的乘法法则，利用此法则后将实部与虚部分别写出即可。 (2)复数的除法运算主要是利用分子、分母同乘以分母的共轭复数进行运算化简。 (3)利用复数的相关概念解题时，通常是设出复数或利用已知联立方程求解。 【举一反三】 设 ＝1＋i，则2 z ＋ 2 等于(　　) A．1＋i B．－1＋i C．－i D．1－i 【解析】2 z ＋ 2＝ 2 1＋i ＋(1＋i)2＝ 21－i 1＋i1－i ＋2i＝21－i 2 ＋2i＝1－i＋2i＝1＋i。 i 1 iz = + 2z i 1 iz = + 2 2( i) (1 i)z = + 2 2iz− = 2 2iz = − 【答案】A 1. （2018 年全国Ⅲ卷文数） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 ，故选 D. 2. （2018 年浙江卷）复数 (i 为虚数单位)的共轭复数是 A. 1+i B. 1−i C. −1+i D. −1−i 【答案】B 3. （2018 年全国 I 卷文数）设 ，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】因为 ，所以 ，故选 C. 4.（2018 年全国Ⅱ卷文数） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 选 D. 5. （2018 年北京卷）在复平面内，复数 的共轭复数对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 的共轭复数为 ，对应点为 ，在第四象限，故选 D. 6. （2018 年江苏卷）若复数满足 ，其中 i 是虚数单位，则的实部为________． 【答案】2 【解析】因为 ，则 ，则的实部为 . 7. （2018 年天津卷）已知圆 的圆心为 C，直线 (为参数)与该圆相交于 A，B 两点，则 的面积为___________. 【答案】 8. （2018 年天津卷）i 是虚数单位，复数 ___________. 【答案】4–i 【解析】由复数的运算法则得： . 1.【2017 课标 1，文 3】下列各式的运算结果为纯虚数的是 A．i(1+i)2 B．i2(1-i) C．(1+i)2 D．i(1+i) 【答案】C 【解析】由 为纯虚数知选 C． 2.【2017 课标 II，文 2】 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由题意 ，故选 B. 3.【2017 课标 3，文 2】复平面内表示复数 的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【解析】由题意： ，在第三象限. 所以选 C. 2(1 ) 2i i+ = (1 i)(2 i)+ + = 1 i− 1 3i+ 3 i+ 3 3i+ i( 2 i)z = − + 1 2z i= − − 4.【2017 北京，文 2】若复数 在复平面内对应的点在第二象限，则实数 的取值范围是 （A） （B） （C） （D） 【答案】B 5.【2017 山东，文 2】已知 i 是虚数单位,若复数 满足 ,则 = A.-2i B.2i C.-2 D.2 【答案】A 【解析】由 得 ,即 ,所以 ,故选 A. 1.【2016 高考新课标 2 文数】设复数 满足 ，则 =（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】C 【解析】由 得， ，所以 ，故选 C. 2. [2016 高考新课标Ⅲ文数 若 ，则 ＝（ ） （A）1 （B） （C） （D） 【答案】D 【解析】 ，故选 D． 3.【2016 高考四川文 】设 为虚数单位，则复数 =( ) (A) 0 　　 (B)2 　　　 (C)2 　　　 (D)2+2 【答案】C 【解析】由题意， ，故选 C. 4.【2016 高考山东文数】若复数 ，其中 i 为虚数单位，则 =（ ） （A）1+i （B）1−i （C）−1+i （D）−1−i 【答案】B i 3 iz + = − z 1 2i− + 1 2i− 3 2i+ 3 2i− 3z i i+ = − 3 2z i= − 3 2z i= + 4 3iz = + | | z z 1− 4 3i5 5 + 4 3i5 5 − 2 2 4 3i 4 3i| | 5 54 3 z z −= = − + i 2(1 )i+ i i 2 2(1 ) 1 2 2i i i i+ = + + = 2 1 iz = − z (1 i)( i)a− + a ( ,1)−∞ ( , 1)−∞ − (1, )+∞ ( 1, )− +∞ i 1 iz = + 2z i 1 iz = + 2 2( i) (1 i)z = + 2 2iz− = 2 2iz = − 【解析】 ，选 B. 5.【2016 高考天津文数】i 是虚数单位，复数 满足 ，则 的实部为_______. 【答案】1 【解析】 ，所以 的实部为 1 1.【2015 高考新课标 1，文 3】已知复数 满足 ，则 （ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】C 2.【2015 高考山东，文 2】若复数 满足 ，其中 为虚数单位，则 =( ) （A） （B） （C） （D） 【答案】 【解析】由题意 所以， ，故选 . 3.【2015 高考湖南，文 1】已知 = （ 为虚数单位），则复数 ( ) A、 B、 C、 D、 【答案】D 【解析】由题 ，故选 D. 4.【2015 高考湖北，文 1】 为虚数单位， （ ） A． B． C． D．1 【答案】 . 【解析】因为 ，所以应选 . 5.【2015 高考广东，文 2】已知 是虚数单位，则复数 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 2 2(1 ) 1 , 11 (1 )(1 ) iz i z ii i i += = = + ∴ = −− − + z (1 ) 2i z+ = z 2(1 ) 2 11i z z ii + = ⇒ = = −+ z z ( 1) 1z i i− = + z = 2 i− − 2 i− + 2 i− 2 i+ 1 z i− i= i 1 i− 1 i+ 1 i− − 1 i− + A (1 ) 1 ,z i i i= − = + 1z i= − A 2(1 )i z − 1 i+ i z = 1 i+ 1 i− 1 i− + 1 i− − 2 2(1 ) (1 ) 2 2 (1 i)1 , 11 1 2 i i i ii z iz i i − − − − −= + ∴ = = = = − −+ + i 607i = i− i 1− A 607 2 303( )i i i i= ⋅ = − A i ( )21 i+ = 2− 2 2i− 2i 【解析】 ，故选 D． 6.【2015 高考福建，文 1】若 （ 是虚数单位），则 的值分别等于 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 7.【2015 高考安徽，文 1】设 是虚数单位，则复数 （ ） （A）3+3i （B）-1+3i （3）3+i （D）-1+i 【答案】C 【解析】因为 ，故选 C. 8.【2015 高考北京，文 9】复数 的实部为 ． 【答案】 【解析】复数 ，其实部为 . 9.【2015 高考重庆，文 11】复数 的实部为________. 【答案】-2 【解析】由于 ,故知其实部为-2，故填：-2. 10.【2015 高考四川，文 11】设 i 是虚数单位，则复数 ＝_________. 【答案】2i 【解析】 11.【2015 高考天津，文 9】i 是虚数单位,计算 的结果为 ． 【答案】-i 【解析】 . 12.【2015 高考上海，文 3】若复数 满足 ，其中 是虚数单位，则 . ( )2 21 1 2 1 2 1 2i i i i i+ = + + = + − = (1 ) (2 3 )i i a bi+ + − = + , ,a b R i∈ ,a b 3, 2− 3,2 3, 3− 1,4− i ( )( )1 1 2i i− + = 2(1 )(1 2 ) 1 2 2 3i i i i i i− + = + − − = + ( )1i i+ 1− (1 ) 1 1i i i i+ = − = − + 1− (1 2i)i+ 2(1 2i)i 2 2i i i+ = + = - + 1i i − 1 2i i i ii − = + = 1 2i 2 i − + ( )2 i i 21 2i i 2i i2 i 2 i 2 i − +− − −= = = −+ + + z izz +=+ 13 i =z 【答案】 （2014·浙江卷）已知 i 是虚数单位，a，b∈R，得“a＝b＝1”是“(a＋bi)2＝2i”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A　 【解析】由 a，b∈R，(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi＝2i, 得{a2－b2＝0， 2ab＝2， 所以{a＝1， b＝1 或{a＝－1， b＝－1. 故选 A. （2014·全国卷）设 ＝ 10i 3＋i ，则 的共轭复数为(　　) A．－1＋3i B．－1－3i C．1＋3i D．1－3i 【答案】D　 【解析】 ＝ 10i 3＋i ＝ 10i（3－i） （3＋i）（3－i）＝10（1＋3i） 10 ＝1＋3i，根据共轭复数的定义，其共轭复数是 1－ 3i. （2014·北京卷）复数(1＋i 1－i )2 ＝________． 【答案】－1　 【解析】(1＋i 1－i )2 ＝[ （1＋i）2 （1－i）（1＋i）]2 ＝(2i 2 )2 ＝－1. . （2014·福建卷）复数 ＝(3－2i)i 的共轭复数 等于(　　) A．－2－3i B．－2＋3i C．2－3i D．2＋3i 【答案】C　 【解析】由复数 ＝(3－2i)i＝2＋3i，得复数 的共轭复数 ＝2－3i. （2014·广东卷）已知复数 满足(3＋4i) ＝25，则 ＝(　　) i2 1 4 1 + A．－3＋4i B．－3－4i C．3＋4i D．3－4i 【答案】D　 （2014·湖北卷）i 为虚数单位，(1－i 1＋i )2 ＝(　　) A．－1 B．1 C．－i D．i 【答案】A　 【解析】(1－i 1＋i )2 ＝－2i 2i ＝－1.故选 A. （2014·湖南卷）满足z＋i z ＝i(i 为虚数单位)的复数 ＝(　　) A.1 2 ＋1 2i B.1 2 －1 2i C．－1 2 ＋1 2i D．－1 2 －1 2i 【答案】B　 【解析】因为z＋i z ＝i，则 ＋i＝ i，所以 ＝ i i－1 ＝ i（－1－i） （i－1）（－1－i）＝1－i 2 . 10．（2014·江西卷） z － 是 的共轭复数，若 ＋ z － ＝2，( － z － )i＝2(i 为虚数单位)，则 ＝(　　) A．1＋i B．－1－i C．－1＋i D．1－i 【答案】D　 【解析】设 ＝a＋bi(a，b∈R)，则 z － ＝a－bi，所以 2a＝2，－2b＝2，得 a＝1，b＝－1，故 ＝1－i. 11．（2014·辽宁卷）设复数 满足( －2i)(2－i)＝5，则 ＝(　　) A．2＋3i B．2－3i C．3＋2i D．3－2i 【答案】A　 【解析】由( －2i)(2－i)＝5，得 －2i＝ 5 2－i ，故 ＝2＋3i. 12．（2014·新课标全国卷Ⅰ （1＋i）3 （1－i）2 ＝(　　) A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i 【答案】D　 【解析】（1＋i）3 （1－i）2 ＝（1＋i）2（1＋i） （1－i）2 ＝2i（1＋i） －2i ＝－1－i. / 13．（2014·新课标全国卷Ⅱ 设复数 1， 2 在复平面内的对应点关于虚轴对称， 1＝2＋i，则 1 2＝(　　) A．－5 B．5 C．－4＋i D．－4－i 【答案】A　 【解析】由题知 2＝－2＋i，所以 1 2＝(2＋i)(－2＋i)＝i2－4＝－5. 14．（2014·山东卷）已知 a，b∈R，i 是虚数单位，若 a－i 与 2＋bi 互为共轭复数，则(a＋bi)2＝(　　) A．5－4i B．5＋4i C．3－4i D．3＋4i 【答案】D　 15．（2014·四川卷）复数2－2i 1＋i ＝________． 【答案】－2i　 【解析】2－2i 1＋i ＝ 2（1－i）2 （1＋i）（1－i）＝－2i. 16．（2014·天津卷）i 是虚数单位，复数 7＋i 3＋4i ＝(　　) A．1－i B．－1＋i C.17 25 ＋31 25i D．－17 7 ＋25 7 i 【答案】A