2021版高考数学一轮复习核心素养测评五十二直线的倾斜角与斜率、直线的方程理北师大版
核心素养测评五十二 直线的倾斜角与斜率、直线的方程
(25分钟 50分)
一、选择题(每小题5分,共35分)
1.设直线ax+by+c=0的倾斜角为α,且sin α+cos α=0,则a,b满足 ( )
A.a+b=1 B.a-b=1
C.a+b=0 D.a-b=0
【解析】选D.因为sin α+cos α=0,所以tan α=-1.
又因为α为倾斜角,所以斜率k=-1.而直线ax+by+c=0的斜率k=-,所以-=-1,即a-b=0.
2.已知线段PQ两端点的坐标分别为P(-1,1)和Q(2,2),若直线l:mx+y+1=0与线段PQ有交点,则实数m的取值范围是 ( )
A.
B. (-∞,-2]∪
C.
D.∪[2,+∞)
【解析】选D.l:mx+y+1=0可写成y=-mx-1,即l过定点R(0,-1),直线PR的斜率k1==-2,直线QR的斜率k2==.
因为直线l与线段PQ有交点,
所以斜率k≥或k≤-2.
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又因为k=-m,所以m≤-或m≥2.
3.若直线mx+ny+3=0在y轴上的截距为-3,且它的倾斜角是直线x-y=3的倾斜角的2倍,则 ( )
A.m=-,n=1 B.m=-,n=-3
C.m=,n=-3 D.m=,n=1
【解析】选D.对于直线mx+ny+3=0,令x=0得y=-,即-=-3,n=1.
因为x-y=3的倾斜角为60°,直线mx+ny+3=0的倾斜角是直线x-y=3的2倍,所以直线mx+ny+3=0的倾斜角为120°,即-=-,m=.
4.直线l经过点A(1,2),在x轴上的截距的取值范围是(-3,3),则其斜率的取值范围是 ( )
A.-1
1或k<
C.k>1或k< D.k>或k<-1
【解析】选D.设直线的斜率为k,
则直线方程为y-2=k(x-1),
令y=0,得直线l在x轴上的截距为1-,
则-3<1-<3,
解得k>或k<-1.
5.如果AC<0,且BC<0,那么直线 Ax+By+C=0不通过 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
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【解析】选C.由题意知,A,B同号,所以直线Ax+By+C=0的斜率k=-<0,在y轴上的截距为->0,所以,直线不通过第三象限.
6.经过点A(3,-4),且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为 ( )
A.x+y+1=0
B.4x+3y=0
C.x-y-7=0或4x+3y=0
D.x+y+1=0或4x+3y=0
【解析】选D.设直线在x轴上的截距为a,则直线在y轴上的截距为a.
(1)当a=0时,直线过(0,0),此时方程为4x+3y=0.
(2)当a≠0时,直线方程为+=1.
又因A(3,-4)在直线上,
所以+=1,
解得a=-1,
故直线方程为x+y+1=0.综上选D.
7.直线xsin α+y+2=0的倾斜角的取值范围是( )
A.[0,π) B.0,∪,π
C.0, D.0, ∪,π
【解析】选B.由题意知,直线的斜率存在.
因为直线xsin α+y+2=0的斜率k=-sin α,又-1≤sin α≤1,所以-1≤k≤1.设直线xsin α+y+2=0的倾斜角为θ,所以-1≤tan θ≤1,而θ∈[0,π),故倾斜角的取值范围是0,∪,π.
二、填空题(每小题5分,共15分)
8.若直线2x+By+1=0与两坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形,则B=________________.
【解析】由已知C≠0,所以直线不过原点,且斜率应为±1,所以B=±2.
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答案:±2
9.已知点A(-1,t),B(t,4),若直线AB的斜率为2,则实数t的值为________________.
【解析】由题意知,kAB=2,即=2,解得t=.
答案:
10.数学家欧拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半,这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知△ABC的顶点A(2,0),B(0,4),AC=BC,则△ABC的欧拉线方程为________________________________.
【解析】由题意,线段AB的中点为M(1,2),kAB=-2,
所以线段AB的垂直平分线为y-2=(x-1),即x-2y+3=0,
因为AC=BC,所以△ABC的外心、重心、垂心都位于线段AB的垂直平分线上,
因此△ABC的欧拉线方程为x-2y+3=0.
答案:x-2y+3=0
(15分钟 35分)
1.(5分)设直线l的方程为x+ycos θ+3=0(θ∈R),则直线l的倾斜角α的取值范围是 ( )
A.[0,π) B.
C. D.∪
【解析】选C.当cos θ=0时,方程变为x+3=0,其倾斜角为;
当cos θ≠0时,由直线l的方程,可得斜率k=-.
因为cos θ∈[-1,1]且cos θ≠0,
所以k∈(-∞,-1]∪[1,+∞),
即tan α∈(-∞,-1]∪[1,+∞),
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又α∈[0,π),所以α∈∪,
综上知,直线l的倾斜角α的取值范围是.
2.(5分)(2020·西安模拟)已知直线x+a2y-a=0(a是正常数),当此直线在x轴,y轴上的截距和最小时,正数a的值是 ( )
A.0 B.2 C. D.1
【解析】选D.直线x+a2y-a=0(a是正常数)在x轴,y轴上的截距分别为a和,此直线在x轴,y轴上的截距和为a+≥2,当且仅当a=1时,等号成立.故当直线x+a2y-a=0在x轴,y轴上的截距和最小时,正数a的值是1.
3.(5分)若直线l:(a-2)x+(a+1)y+6=0,则直线l恒过定点________________.
【解析】直线l的方程变形为a(x+y)-2x+y+6=0,由
解得所以直线l恒过定点(2,-2).
答案:(2,-2)
4.(10分)设直线l的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R).
(1)若l在两坐标轴上截距相等,求l的方程;
(2)若l不经过第二象限,求实数a的取值范围.
【解析】(1)当直线过原点时,该直线在x轴和y轴上的截距为零,所以a=2,方程即为3x+y=0.
当直线不经过原点时,截距存在且均不为0.
所以=a-2,即a+1=1.
所以a=0,方程即为x+y+2=0.
综上,l的方程为3x+y=0或x+y+2=0.
(2)将l的方程化为y=-(a+1)x+a-2,
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所以
或所以a≤-1.
综上可知a的取值范围是(-∞,-1].
5.(10分)已知直线l:(2+m)x+(1-2m)y+4-3m=0.
(1)求证:不论m为何实数,直线l过一定点M.
(2)过定点M作一条直线l1,使夹在两坐标轴之间的线段被M点平分,求直线l1的方程.
【解析】(1)直线l的方程整理得(2x+y+4)+m(x-2y-3)=0,由
解得
所以不论m为何实数,直线l过定点M(-1,-2).
(2)过定点M(-1,-2)作一条直线l1,使夹在两坐标轴之间的线段被M点平分,则直线l1过点(-2,0),(0,-4),
设直线l1的方程为y=kx+b,
把两点坐标代入得
解得
则直线l1的方程为y=-2x-4,即2x+y+4=0.
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