广东省广州市广东实验中学2020届高三第三次阶段考试文科数学试题

广东省广州市广东实验中学2020届高三第三次阶段考试文科数学试题

广东省实验中学2020届高三年级第三次阶段考试 数学（文科）‎ 本试卷共4页，考试时间120分钟满分150分 一、单项选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．请将答案填涂在答题卷上 ‎1.已知集合，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别解出两个集合，注意集合中元素全为整数，然后求出交集.‎ ‎【详解】解，即，所以，‎ 解，所以 所以 故选：D ‎【点睛】此题考查解一元二次不等式和指数不等式，易错点在于漏掉集合中的限制条件.‎ ‎2.已知复数，其中i为虚数单位，则复数z的共轭复数所对应的点在（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复数运算法则求出，再求出其共轭复数即可得出对应点所在象限.‎ ‎【详解】由题：，‎ 其共轭复数，对应点 在第一象限.‎ 故选：A ‎【点睛】此题考查复数的基本运算，共轭复数，复数所对应的点所在象限，属于简单题目.‎ ‎3.已知向量，且，则等于（ ）‎ A. 1 B. 3 C. 4 D. 5‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据已知求出x,y的值，再求出的坐标和的值.‎ ‎【详解】由向量，且，则，解得，所以，所以，所以，故答案为D ‎【点睛】本题主要考查向量坐标运算和向量的模的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.‎ ‎4.若，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：用特殊值法，令，，得，选项A错误，，选项B错误， ，选项D错误， ‎ 因为选项C正确，故选C．‎ ‎【考点】指数函数与对数函数的性质 ‎【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.‎ ‎5.某商场一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中正确的是（ ）‎ ‎①2至3月份的收入的变化率与11至12月份的收入的变化率相同；‎ ‎②支出最高值与支出最低值的比是6:1;‎ ‎③第三季度平均收入为50万元；‎ ‎④利润最高的月份是2月份.‎ A. ①②③ B. ②③ C. ②③④ D. ①②④‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据统计折线图，逐一检验便可选出正确选项.‎ ‎【详解】由图：‎ ‎2至3月份的收入的变化率与11至12月份的收入的变化率均为-20万元每月，所以①正确；‎ 支出最高2月60万元，最低5月10万元，所以比值为6:1，所以②正确；‎ 第三季度平均收入为万元，所以③正确；‎ ‎2月利润20万元，而3月和10月利润都是30万元，所以④错误.‎ 故选：A ‎【点睛】此题考查图像识别能力，读取图象提取有效信息，考查综合能力.‎ ‎6.，若，则（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 4 D. 8‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意代换化简分子，利用半角公式化简即可求解.‎ ‎【详解】由题：‎ ‎.‎ 故选：B ‎【点睛】此题考查三角恒等变换，对基本公式考查比较全面，涉及半角公式化简，考查综合能力.‎ ‎7.某同学用“随机模拟方法”计算曲线与直线所围成的曲边三角形的面积时，用计算机分别产生了10个在区间[1，e]上的均匀随机数xi和10个在区间[0，1]上的均匀随机数，其数据如下表的前两行．‎ x ‎2.50‎ ‎1.01‎ ‎1.90‎ ‎1.22‎ ‎2.52‎ ‎2.17‎ ‎1.89‎ ‎1.96‎ ‎1.36‎ ‎2.22‎ y ‎0.84‎ ‎025‎ ‎0.98‎ ‎0.15‎ ‎0.01‎ ‎0.60‎ ‎0.59‎ ‎0.88‎ ‎0.84‎ ‎0.10‎ lnx ‎0.90‎ ‎0.01‎ ‎0.64‎ ‎0.20‎ ‎0.92‎ ‎0.77‎ ‎0.64‎ ‎0.67‎ ‎0.31‎ ‎0.80‎ 由此可得这个曲边三角形面积的一个近似值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据“随机模拟方法”，有序数对落在曲线与直线所围成的曲边三角形的内部的个数与总个数的比值约等于曲边三角形面积与直线 所围成的矩形的面积之比.‎ ‎【详解】用计算机分别产生在区间[1，e]上的均匀随机数xi，在区间[0，1]上的均匀随机数 ‎，形成有序数对所在区域为直线所围成的矩形及其内部区域，如图所示，面积，‎ 作图：‎ 随机产生的十个点，当时，该点落在曲边三角形内部，共有6个，‎ 设曲边三角形面积为，则，‎ 所以.‎ 故选：A ‎【点睛】此题考查用“随机模拟方法”解决不规则多边形面积问题，关键在于弄清这种模拟方式，两个区域面积之比近似等于落在该区域点的个数之比.‎ ‎8.正方体的棱长为2，点为的中点，点为线段上靠近的三等分点，平面交于点，则的长为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 如图，将平移至为靠近的三个等分点处，，为的中点，也为中点，，根据四点共面，，，故选D.‎ ‎9.直线l过抛物线的焦点F且与抛物线交于A，B两点，若线段的长分别为m，n，则等于（ ）‎ A. B. C. 1 D. 2‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 当直线斜率不存在时，直线方程，易解出的长度；‎ 当直线斜率存在时，设直线方程为：，联立方程：，整理后利用抛物线焦半径公式表示，结合韦达定理可得.‎ ‎【详解】当直线斜率不存在时，直线方程，代入，解得，‎ 所以，，‎ 所以；‎ 当直线斜率存在时，设直线方程为：，联立方程：，‎ 整理得： ，设，由韦达定理：‎ ‎，‎ 故选：C ‎【点睛】此题考查直线与抛物线位置关系和焦半径公式基本运算，考查直线与圆锥曲线问题的通式通法，容易出现漏掉直线斜率不存在的情况，虽然不影响结果，但体现思维逻辑的严密性；另外若能熟记一些二级结论的话，此题结果瞬间可得，大大提升解题效率.‎ ‎10.函数图象的大致形状是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先判断函数的奇偶性，再求，利用排除法可得解.‎ ‎【详解】由题意得，，所以 ‎，所以函数为奇函数，图象关于原点对称，排除选项A，C；‎ 令，则，．故选B．‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性及函数的图象，属于基础题.．‎ ‎11.在△ABC中，，则的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据正弦定理求出三角形外接圆直径，再用正弦定理表示出，结合三角函数最值求法即可解得.‎ ‎【详解】由题：在△ABC中，设，‎ 三角形△ABC外接圆半径为，，‎ ‎，‎ 其中，‎ 当时，取得最大值.‎ 故选：C ‎【点睛】此题考查利用正弦定理解决三角形相关问题，转化成三角函数求最大值之后一定注意最大值是否能够取到，当然此题也可用余弦定理结合基本不等式求得最大值.‎ ‎12.已知离心率为e，焦点为的双曲线C上一点P满足，则双曲线的离心率e的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题，根据正弦定理转化成边的比例关系即可求解.‎ ‎【详解】由题：因为，，‎ 考虑焦点在轴上，左右焦点，则点一定在左支（除去实轴端点），,‎ 在△中，根据正弦定理，‎ 所以，且，‎ 解得：，‎ 同理可得焦点在轴上离心率同解 故选：D ‎【点睛】此题考查双曲线几何性质与正弦定理知识相结合，解题中可以考虑焦点在轴上，左右焦点，则点一定在左支，体现出数形结合和转化与化归思想.‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，请将答案填在答题卷上）‎ ‎13.已知数列为等比数列，为其前n项和，，且，，则__________.‎ ‎【答案】45‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】可以将每三项看作一项，则也构成一个等比数列.‎ 所以,故答案为45.‎ ‎14.己知直线l与正方体的所有面所成的角都相等，且平面，则与平面所成角的正切值是___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直线l与正方体的所有面所成的角都相等，这样的直线只需与正方体的任一条体对角线平行即可，要与平面相交，考虑直线即可求出.‎ ‎【详解】作图：‎ 由题：与正方体的所有面所成的角都相等且与平面相交的直线，可以考虑与平面所成角，设所成角为，平面，所以与平面 所成角与互余，‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】此题考查直线与平面所成角，求直线与平面所成角可以考虑作出线面角，也可转化成求这条直线与平面的垂线所成角的余角，或者此题几何体特殊还可以建立空间直角坐标系，用向量求解.‎ ‎15.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则对任意的都必须满足___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 根据三角形三内角和关系对已知不等式进行恒等变形，可得出为钝角，转化成，即，利用不等式放缩便可得出所求大小关系.‎ ‎【详解】在△ABC中，，‎ 即，‎ 所以，‎ ‎，所以，，‎ 根据余弦定理：，，‎ 即，且，‎ 所以当时，‎ 所以，两边同时乘以，‎ 即.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】此题考查依据三角形三内角关系对不等式进行三角恒等变形和余弦定理处理边角关系，考查依据指数型函数单调性对不等式进行放缩比较大小，对综合能力要求较高.‎ ‎16.若定义在R上的函数，其图像是连续不断的，且存在常数使得对任意实数x都成立，则称是一个“k～特征函数”．则下列结论中正确命题序号为____________.‎ ‎①是一个“k～特征函数”；②不是“k～特征函数”；‎ ‎③是常数函数中唯一的“k～特征函数”；④“～特征函数”至少有一个零点；‎ ‎【答案】①②④‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意：依次检验定义域，连续性，是否存在常数使得对任意实数x都成立即可.‎ ‎【详解】①，考虑即：，，‎ 考虑，必存在使，‎ 即存在，使得对任意实数x都成立，所以①正确；‎ ‎②，讨论，即 当时，关于的方程无解，‎ 不存在使对任意实数x都成立，‎ 所以不是“k～特征函数”，所以②正确；‎ ‎③设常数函数，讨论，即，‎ 当时对任意实数x都成立，所以任何一个常数函数都可以是“-1～特征函数”，‎ 所以③错误；‎ ‎④设是“～特征函数”， 则是定义在R上的连续函数，‎ 且对任意实数x都成立，‎ 下面利用反证法证明必有零点：‎ 证明：假设没有零点，因为是定义在R上的连续函数，则恒成立，或恒成立；‎ 当恒成立，则，，与题矛盾；‎ 当恒成立，则，，与题矛盾；‎ 所以必有零点，所以④正确.‎ 故答案为：①②④‎ ‎【点睛】此题作为一个新定义题型，重点考查函数的相关性质，对函数性质的综合应用能力要求极高，关键在于读懂题意，抓住细节，如定义域，连续函数，存在常数对任意实数x都成立，对转化与化归思想要求较高.‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎（一）必考题：60分.‎ ‎17.各项均不为零的数列前n项和为，数列前n项和为，且 ‎(1)求的值；‎ ‎(2)求数列的通项公式．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据即可解出；‎ ‎（2）根据，必有两式作差，注意的取值范围，即可求解.‎ ‎【详解】解：（1）因为，所以．‎ 所以，或（舍）．‎ ‎（2）因为，所以 所以 因为，所以①‎ 可得：②‎ ‎②一①得：，‎ 故 当时，上式也成立，所以 方法2：‎ 因，所以.‎ 所以 因为，所以 所以.‎ 所以，‎ 当时，上式也成立．‎ 所以.‎ 当时，上式也成立，所以.‎ ‎【点睛】此题重点考查数列前项之和与通项之间的关系，考查对此类问题常规解法掌握程度，注重细节，特别考虑的取值范围；另外也可考虑先求前项之和再求通项公式.‎ ‎18.2019年2月13日《烟台市全民阅读促进条例》全文发布，旨在保障全民阅读权利，培养全民阅读习惯，提高全民阅读能力，推动文明城市和文化强市建设．某高校为了解条例发布以来全校学生的阅读情况，随机调查了200名学生每周阅读时间（单位：小时）并绘制如图所示的频率分布直方图．‎ ‎（1）求这200名学生每周阅读时间的样本平均数和中位数（的值精确到0.01）；‎ ‎（2）为查找影响学生阅读时间的因素，学校团委决定从每周阅读时间为，的学生中抽取9名参加座谈会．‎ ‎（i）你认为9个名额应该怎么分配？并说明理由；‎ ‎（ii）座谈中发现9名学生中理工类专业的较多．请根据200名学生的调研数据，填写下面的列联表，并判断是否有的把握认为学生阅读时间不足（每周阅读时间不足8.5小时）与“是否理工类专业”有关？‎ 阅读时间不足8.5小时 阅读时间超过8.5小时 理工类专业 ‎40‎ ‎60‎ 非理工类专业 附：（）.‎ 临界值表：‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎【答案】（1）平均数9，中位数；（2）（i）按照进行名额分配；理由见详解；‎ ‎（ii）有.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据平均数，中位数的定义进行求解即可 ‎（2）完成列联表，计算的观测值，结合独立性检验的性质进行判断即可.‎ ‎【详解】（1）该组数据的平均数，‎ 因为，所以中位数，‎ 由，解得；‎ ‎（2）（i）每周阅读时间为的学生中抽取3名，每周阅读时间为的学生中抽取6名．‎ 理由：每周阅读时间为与每周阅读时间为是差异明显的两层，为保持样本结构与总体结构的一致性，提高样本的代表性，宜采用分层抽样的方法抽取样本；因为两者频率分别为0.1，0.2，所以按照进行名额分配．‎ ‎（ii）由频率分布直方图可知，阅读时间不足8.5小时的学生共有人，超过8.5小时的共有人．‎ 于是列联表为：‎ 阅读时间不足8.5小时 阅读时间超过8.5小时 理工类专业 ‎40‎ ‎60‎ 非理工类专业 ‎26‎ ‎74‎ 的观测值，‎ 所以有的把握认为学生阅读时间不足与“是否理工类专业”有关．‎ ‎【点睛】本题主要考查独立性检验的应用，根据数据计算出K2的观测值是解决本题的关键．考查学生的计算能力．‎ ‎19.如图，在直三棱柱中，分别为的中点，，.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）设为边的中点，连接，，∵，分别为，的中点，根据三角形中位线定理以及题设条件可证明四边形为平行四边形，可得，从而根据线面平行的判定定理可得结论；（2）先证明平面，知，从而可得三角形的面积为，三角形的面积为，利用等积变换可得 .‎ 试题解析：（1）设为边的中点，连接，‎ ‎∵，分别为，的中点，‎ ‎∴，，‎ 又∵，，‎ ‎∴，，‎ ‎∴ 四边形为平行四边形.‎ ‎∴，‎ 又平面，平面，‎ ‎∴平面，‎ ‎（2）在直三棱柱中，‎ 又，‎ 平面，平面，，‎ ‎∴平面，‎ 知，可得三角形的面积为，三角形的面积为，‎ 由（1）平面知：到平面的距离等于到平面的距离 ‎∴ .‎ ‎【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、线面垂直的判定定理、利用等积变换求三棱锥体积，属于难题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（1）是就是利用方法①证明的.‎ ‎20.已知函数 ‎(1)求函数在点处的切线方程；‎ ‎(2)若存在极小值点与极大值点，求证：‎ ‎【答案】（1）（2）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据函数在某点处切线方程的求法求出和可得；‎ ‎（2）函数存在极小值点与极大值点，即有两个零点，且在零点左右两侧异号，依据根的存在性定理，确定根所在区间即可求解.‎ ‎【详解】(1)解：‎ ‎，所以函数在点处的切线方程为；‎ ‎(2)设，则，设，则 所以在上单调递增．‎ 又因为，所以在上，，即 所以在上单调递增．‎ 当时，，所以在上，，即 所以函数在上是单调增函数.‎ 又是奇函数，所以函数在上单调递增，无极值点；‎ 当时，‎ 又因为函数在上单调递增，所以函数在上有且只有一个零点 x ‎（0，）‎ ‎(，+∞)‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 可知是的唯一极小值点，且 又是奇函数，所以函数必存在唯一极大值点，记为，且，‎ 所以，所以成立.‎ ‎【点睛】此题第一问考查函数在某点处的切线方程，属于简单题目；第二问证明不等式重点考查利用导函数处理函数单调性和极值问题，转化成函数零点问题，关键点在于如何限制其中一个根所在区间，以及为何要与作比较，考查转化与化归思想.‎ ‎21.设椭圆的离心率与双曲线的离心率互为倒数，且内切于圆.‎ ‎(1)求椭圆M的方程；‎ ‎(2)已知R是椭圆M上的一动点，从原点O引圆R:的两条切线，分别交椭圆M于P、Q两点，直线OP与直线OQ的斜率分别为，试探究是否为定值并证明你所探究出的结论.‎ ‎【答案】（1）（2）为定值36，证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）椭圆内切于圆，得出圆的长半轴长，根据离心率求出半焦距便可得解；‎ ‎（2）依据直线与圆相切，得出的关系和切点坐标，可用的关系表示，整体代换即可求出定值.‎ ‎【详解】解：(1)∵双曲线的离心率为，‎ ‎∴椭圆M的离心率为 ‎∵椭圆M内切于圆，的半径为 得：‎ 所求椭圆M的方程为：‎ ‎(2)设直线OP：，OQ：，设圆R过O点的切线方程为：‎ 则有：，整理得：‎ 故，又可得：‎ 将代入得：‎ 同理可得：‎ 故为定值36‎ ‎【点睛】此题考查椭圆基本量的常规求法，过圆外一点作圆的两条切线，通过圆心到直线距离等于半径可以转化成关于切线斜率的方程，得出的关系，联立直线和圆求出切点坐标，容易漏掉R是椭圆M上的一动点则 这一关系在化简过程中的重要作用.‎ ‎（二）选考题：共10分.请在第22、23题中任选一题作答，多做，按所做的第一题计分.‎ ‎22.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．‎ 求l和C的直角坐标方程；‎ 设，l和C相交于A，B两点，若，求的值．‎ ‎【答案】（1）l的直角坐标方程为，或；C的直角坐标方程为；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 代入法消去参数t可得直线l的直角坐标方程，利用极坐标与直角坐标的互化公式可得曲线C的直角坐标方程；‎ 将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，利用参数t的几何意义可得．‎ 详解】解：‎ ‎，‎ 由 ‎ 综上，l的直角坐标方程为，或 由C的极坐标方程得，‎ 将代入，得 ‎，在l上，‎ ‎【点睛】本题考查了参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查了直线参数方程中t的几何意义，属中档题．‎ ‎23.设函数 ‎(1)当时，求不等式的解集；‎ ‎(2)当时，恒成立，求的最小值．‎ ‎【答案】（1）（2）最小值为3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用零点分段讨论法即可解出绝对值不等式得解集；‎ ‎（2）当时，恒成立，即恒成立，数形结合求解.‎ ‎【详解】解(1)当时，不等式化为 ‎，或，或 综上，原不等式的解集为 ‎(2)时，‎ 作与的图像，‎ 可知 的最小值为3(这时)‎ ‎【点睛】零点分段法求解绝对值不等式，注意分段求解；求解集，注意书写形式；不等式恒成立转化成两个函数比较大小，数形结合可以事半功倍.‎ ‎ ‎