2013年高考湖北卷（理）数学试题

2013年高考湖北卷（理）数学试题

‎2013年湖北省理科数学高考试题WORD解析版 一、选择题 ‎ ‎1、在复平面内，复数（为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（ ）‎ ‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【解析与答案】，。‎ 故选D ‎【相关知识点】复数的运算 ‎2、已知全集为，集合，，则（ ）‎ ‎ A. B. ‎ ‎ C. D.‎ ‎【解析与答案】，，。‎ 故选C ‎【相关知识点】不等式的求解，集合的运算 ‎3、在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题是“甲降落在指定范围”，是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（ ）‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎【解析与答案】“至少有一位学员没有降落在指定范围”‎ 即：“甲或乙没有降落在指定范围内”。‎ 故选A。‎ ‎【相关知识点】命题及逻辑连接词 ‎4、将函数的图像向左平移个长度单位后，所得到的图像关于轴对称，则的最小值是（ ） ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【解析与答案】的图像向左平移个长度单位后变成，所以的最小值是。故选B。‎ ‎【相关知识点】三角函数图象及其变换 ‎5、已知，则双曲线与的（ ）‎ A.实轴长相等 B.虚轴长相等 C.焦距相等 D. 离心率相等 ‎【解析与答案】双曲线的离心率是，双曲线的离心率是，故选D ‎【相关知识点】双曲线的离心率，三角恒等变形 ‎6、已知点、、、，则向量在方向上的投影为（ ）‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎【解析与答案】，，，故选A。‎ ‎【相关知识点】向量的坐标运算，向量的投影 ‎7、一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度（的单位：，的单位：）行驶至停止。在此期间汽车继续行驶的距离（单位;）是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【解析与答案】令 ，则。汽车刹车的距离是，故选C。‎ ‎【相关知识点】定积分在实际问题中的应用 ‎8、一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为，，，，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有（ ）‎ ‎ A. B. ‎ ‎ C. D. ‎ ‎ ‎ ‎【解析与答案】C 由柱体和台体的体积公式可知选C ‎【相关知识点】三视图，简单几何体体积 ‎9、如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割成125个同样大小的小正方体。经过搅拌后，从中随机取出一个小正方体，记它的涂油漆面数为，则的均值为 ‎ A. B. C. D. ‎ 第9题图 ‎【解析与答案】三面涂有油漆的有8块，两面涂有油漆的有36块，一面涂有油漆的有54块，没有涂有油漆的有27块，所以。故选B。‎ ‎【相关知识点】古典概型，数学期望 ‎10、已知为常数，函数有两个极值点，则（ ）‎ ‎ A. B. ‎ ‎ C. D. ‎ ‎【解析与答案】令得，。‎ 又，。，‎ 故选D。‎ ‎【相关知识点】函数导数与极值，函数的性质 二、填空题 ‎（一）必考题 ‎11、从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50到350度之间，频率分布直方图所示。‎ ‎（I）直方图中的值为 ；‎ ‎（II）在这些用户中，用电量落在区间内的户数为 ‎ ‎ 。‎ ‎ 第11题图 ‎ ‎【解析与答案】，‎ ‎ ‎ ‎【相关知识点】频率分布直方图 ‎12、阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果 。‎ 否 开始 是 结束 是奇数 是 否 输出 ‎ ‎ ‎【解析与答案】5 程序框图运行过程如表所示：‎ i ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ a ‎10‎ ‎5‎ ‎16‎ ‎8‎ ‎4‎ ‎【相关知识点】程序框图 ‎13、设，且满足：，，则 。‎ ‎【解析与答案】由柯西不等式知，结合已知条件得，从而解得，。 ‎ ‎【相关知识点】柯西不等式及其等号成立的条件）‎ ‎14、古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数。如三角形数1,3,6,10，…，第个三角形数为。记第个边形数为，以下列出了部分边形数中第个数的表达式：‎ 三角形数 ‎ 正方形数 ‎ 五边形数 ‎ 六边形数 ‎ ‎ ……‎ 可以推测的表达式，由此计算 。‎ ‎【解析与答案】观察和前面的系数，可知一个成递增的等差数列另一个成递减的等差数列，故， ‎ ‎【相关知识点】归纳推理，等差数列 ‎（二）选考题 第15题图 ‎15、如图，圆上一点在直线上的射影为，点在半径上的射影为。若，则的值为 。‎ ‎【解析与答案】由射影定理知 ‎【相关知识点】射影定理，圆幂定理 ‎16、在直角坐标系中，椭圆的参数方程为。在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，直线与圆的极坐标方程分别为与。若直线经过椭圆的焦点，且与圆相切，则椭圆的离心率为 。‎ ‎【解析与答案】直线的方程是，作出图形借助直线的斜率可得，所以，‎ ‎【相关知识点】极坐标与直角坐标的转化，椭圆的几何性质，直线与圆 三、解答题 ‎17、在中，角，，对应的边分别是，，。已知。‎ ‎（I）求角的大小；‎ ‎（II）若的面积，，求的值。‎ ‎【解析与答案】（I）由已知条件得：‎ ‎，解得，角 ‎（II），由余弦定理得：，‎ ‎【相关知识点】二倍角公式，解三角函数方程，三角形面积，正余弦定理 ‎18、已知等比数列满足：，。‎ ‎（I）求数列的通项公式；‎ ‎（II）是否存在正整数，使得？若存在，求的最小值；若不存在，说明理由。‎ ‎【解析与答案】（I）由已知条件得：，又，，‎ 所以数列的通项或 ‎（II）若，，不存在这样的正整数；‎ 若，，不存在这样的正整数。‎ ‎【相关知识点】等比数列性质及其求和 ‎19、如图，是圆的直径，点是圆上异于的点，直线平面，，分别是，的中点。‎ ‎（I）记平面与平面的交线为，试判断直线与平面的位置关系，并加以证明；‎ ‎（II）设（I）中的直线与圆的另一个交点为，且点满足。记直线与平面所成的角为，异面直线与所成的角为，二面角的大小为，求证：。‎ 第19题图 ‎【解析与答案】（I），，‎ 又 ‎（II）连接DF，用几何方法很快就可以得到求证。（这一题用几何方法较快，向量的方法很麻烦，特别是用向量不能方便的表示角的正弦。个人认为此题与新课程中对立体几何的处理方向有很大的偏差。）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎【相关知识点】‎ ‎20、假设每天从甲地去乙地的旅客人数是服从正态分布的随机变量。记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为。‎ ‎（I）求的值；（参考数据：若，有，，。）‎ ‎（II）某客运公司用、两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次，、两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的运营成本分别为1600元/辆和2400元/辆。公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求型车不多于型车7辆。若每天要以不小于的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的运营成本最小，那么应配备型车、型车各多少辆？‎ ‎【解析与答案】（I）‎ ‎（II）设配备型车辆，型车辆，运营成本为元，由已知条件得 ‎，而 作出可行域，得到最优解。‎ 所以配备型车5辆，型车12辆可使运营成本最小。‎ ‎【相关知识点】正态分布，线性规划 ‎21、如图，已知椭圆与的中心在坐标原点，长轴均为且在轴上，短轴长分别为，，过原点且不与轴重合的直线与，的四个交点按纵坐标从大到小依次为，，，。记，和的面积分别为和。‎ ‎（I）当直线与轴重合时，若，求的值；‎ ‎（II）当变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线，使得？并说明理由。‎ 第21题图 ‎【解析与答案】（I），‎ 解得：（舍去小于1的根）‎ ‎（II）设椭圆，，直线：‎ 同理可得，‎ 又和的的高相等 如果存在非零实数使得，则有，‎ 即：，解得 当时，，存在这样的直线；当时，，不存在这样的直线。‎ ‎【相关知识点】直线与椭圆相交的问题（计算异常复杂）‎ ‎22、设是正整数，为正有理数。‎ ‎（I）求函数的最小值；‎ ‎（II）证明：；‎ ‎（III）设，记为不小于的最小整数，例如，，。令，求的值。‎ ‎（参考数据：，，，）‎ 证明：（I）‎ 在上单减，在上单增。‎ ‎（II）由（I）知：当时，（就是伯努利不等式了）‎ 所证不等式即为：‎ 若，则 ‎ …………①‎ ‎，‎ ‎，故①式成立。‎ 若，显然成立。‎ ‎ …………②‎ ‎，‎ ‎，故②式成立。‎ 综上可得原不等式成立。‎ ‎（III）由（II）可知：当时，‎ ‎ ‎