湖南省衡阳市第八中学2020届高三月考数学（文）试题

湖南省衡阳市第八中学2020届高三月考数学（文）试题

衡阳市八中第二次月考数学（文科）试卷 一：选择题。‎ ‎1.己知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解出集合，再利用集合的交集运算律得出.‎ ‎【详解】，因此，，故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查集合的交集运算，解题的关键就是交集运算律的应用，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎2.设，则“”是“”的（ ）‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解出不等式，得出解集，再利用集合的包含关系得出两条件的充分必要性关系.‎ ‎【详解】解不等式，得或，是的真子集，‎ 因此，“”是“”的必要不充分条件，故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查必要条件的判定，一般转化为集合间的包含关系来判断，具体关系如下：‎ ‎（1），则“”是“”的充分不必要条件；‎ ‎（2），则“”是“”的必要不充分条件；‎ ‎（3），则“”是“”的充要条件；‎ ‎（4），则“”是“”既不充分也不必要条件.‎ ‎3.下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的函数是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分析各选项中函数的奇偶性与单调性，可得出正确选项.‎ ‎【详解】对于A选项，函数的定义域为，，该函数为奇函数，不合乎题意；‎ 对于B选项，函数的定义域为，，该函数为偶函数，且该函数在上单调递增，合乎题意；‎ 对于C选项，函数的定义域为，该函数为非奇非偶函数，不合乎题意；‎ 对于D选项，函数的定义域为，，该函数为偶函数，由于，所以，该函数在上不可能为增函数，不合乎题意.故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查函数奇偶性与单调性的判断，考查函数单调性与奇偶性定义的应用，属于中等题.‎ ‎4.设，向量，且则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析】‎ 根据向量垂直、平行的坐标运算可求出 利用向量加法求出和向量的坐标，根据模的公式计算即可.‎ ‎【详解】因为 所以，‎ 即 ‎，‎ 所以.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查了向量的平行垂直的坐标运算，向量的模，属于中档题.‎ ‎5.已知直线 是曲线的一条切线，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据切线的斜率的几何意义可知，求出切点，代入切线即可求出.‎ ‎【详解】设切点为 因为切线，‎ 所以，‎ 解得（舍去）‎ 代入曲线得，‎ 所以切点为 代入切线方程可得，解得.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数导数的几何意义，函数的切线方程，属于中档题.‎ ‎6.函数的部分图象如图所示，则 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用函数的图象求出函数的解析式，然后由解析式结合诱导公式计算出的值.‎ ‎【详解】由图象可知，函数的最小正周期满足，则，‎ ‎，，‎ ‎，得.‎ ‎，，，，.‎ 因此，，故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查利用图象求三角函数的解析式，基本步骤如下：‎ ‎（1）先求振幅与：，；‎ ‎（2）求频率：；‎ ‎（3）求初相：将对称中心坐标或顶点坐标代入解析式，利用特殊值以及角的范围确定初相的值.‎ ‎7.要得到函数的图象，只需的图象（ ）‎ A. 向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变）‎ B. 向左平移个单位，再把各点的纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变）‎ C. 向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变）‎ D. 向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变）‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先将函数的解析式化为，再利用三角函数图象的变换规律得出正确选项.‎ ‎【详解】，‎ 因此，将函数的图象向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变），可得到函数的图象，故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查三角函数的图象变换，处理这类问题的要注意以下两个问题：‎ ‎（1）左右平移指的是在自变量上变化了多少；（2）变换时两个函数的名称要保持一致.‎ ‎8.函数的图象大致为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 利用排除法：‎ 由函数的解析式可得：，函数为奇函数，函数图象关于坐标原点对称，选项CD错误；‎ 当时，，选项B错误，‎ 本题选择A选项.‎ 点睛：函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．‎ ‎9.已知函数满足，且在上是连续函数，且当时,成立，即，，，则、、的大小关系是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 构造函数，判断出该函数的奇偶性与单调性，由，，，并比较、、的大小关系，结合函数的单调性可得出、、的大小关系.‎ ‎【详解】，则函数为偶函数，‎ 构造函数，则函数为奇函数，‎ 当时，，‎ 则函数在上为增函数，‎ 由奇函数的性质可知，函数在上也为增函数，‎ 由于函数在上是连续函数，则函数在上也是连续函数，‎ 由此可知，函数在上为增函数，‎ 且，，，‎ 由中间值法可知，则，‎ 因此，，故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查函数奇偶性与单调性的综合问题，考查函数值大小的关系，解题时要充分利用函数单调性与奇偶性之间的关系，难点在于构造新函数，考查函数思想的应用，属于中等题.‎ ‎10.已知函数若曲线上存在不同的两点、使得曲线在、处的切线垂直，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出函数的导数，求出在上的值域，将问题转化为，解出该不等式可得出结果.‎ ‎【详解】，，‎ 易知，函数在上单调递减，当时，则，‎ 所以，，函数在上的值域，‎ 由于曲线上存在不同的两点、使得曲线在、处的切线垂直，‎ 所以，，整理得，解得，‎ 因此，实数的取值范围是，故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查导数的几何意义，考查两直线垂直关系的转化，解题的关键就是转化为导数值域问题进行求解，考查化归与转化思想，属于难题.‎ ‎11.定义在R上的奇函数满足，且当时，，则函数，在区间上的零点个数是( )‎ A. 4 B. 5 C. 6 D. 7‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用抽象函数的性质求出函数的对称中心及函数的周期，利用数形结合判断函数交点个数，得到零点个数.‎ ‎【详解】由,令，则，‎ 又，‎ 所以的图象关于点对称，‎ 又是定义在R上的奇函数，‎ 所以，‎ 是周期为2的函数，‎ 当时，为增函数，‎ 画出及在上的函数图象如图所示：‎ 经计算，结合函数图象易知，函数的图象与直线在上有3个不同的交点，由函数是奇函数知，函数在区间上的零点个数是5个.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数零点个数的判断，抽象函数的性质，数形结合思想及运算，属于难题.‎ ‎12.若存在唯一的正整数 ，使得不等式成立，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由可得，令，利用导数判断出在上有唯一极大值点，根据存在唯一的正整数使不等式成立，即可求出的范围.‎ ‎【详解】由可得，令,‎ 则，令, 得，‎ ‎，，‎ 所以函数在上有唯一极大值点，在上是减函数，‎ 因为 所以要使不等式存在唯一的正整数，需 故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查了与不等式成立有关的特称命题，利用导数研究函数的单调性与极值，考查了计算能力，属于中档题.‎ 二：填空题。‎ ‎13.已知函数f(x)＝则f(f(－2))＝________.‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】∵f(x)＝‎ ‎∴f(－2)=，∴f(f(－2))＝f()=‎ 故答案为：3‎ 点睛：本题主要考查分段函数的解析式、分段函数求函数值，属于中档题.对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清出，思路清晰.本题解答分两个层次：首先求出f(－2) 的值，进而得到f(f(－2))的值.‎ ‎14.若函数，，则的最小值是_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由计算出的取值范围，再利用正弦函数的性质得出函数的最小值.‎ ‎【详解】，，所以，函数在区间上单调递增，‎ 因此，函数的最小值为，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查正弦型函数的最值问题，解题时要求出对象角的取值范围，结合正弦函数的图象得出最值，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题.‎ ‎15.已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是________.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在等式两边同时除以得到，将代数式和相乘，展开后利用基本不等式求出的最小值，由题意得出，解出该不等式即可得出实数的取值范围.‎ ‎【详解】，，且，在等式两边同时除以得，‎ 由基本不等式得，‎ 当且仅当时，等号成立，所以，的最小值为，‎ 由于不等式恒成立，则，即，‎ 解得，因此，实数取值范围是，故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查基本不等式处理不等式恒成立问题，同时也考查了一元二次不等式的解法，在利用基本不等式求最值时，要创造出定值条件，并对代数式进行配凑，考查化归与转化数学思想，属于中等题.‎ ‎16.设与是定义在同一区间上两个函数，若函数在上有两个不同的零点，则称和在上是“关联函数”，区间称为“关联区间”.若与在上是“关联函数”，则实数的取值范围是_________.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令，可得出，将问题转化为直线与函数在区间上的图象有两个交点，求实数的取值范围，然后利用导数分析函数的单调性与极值以及端点函数值，可得出实数的取值范围.‎ ‎【详解】令，得，得.‎ 问题等价于直线与曲线在区间上的图象有两个交点，求实数的取值范围.‎ ‎，令，得.‎ 当时，；当时，.‎ 所以，函数在处取得极小值，亦即最小值，且.‎ 又，，且.‎ 因此，当时，直线与函数在区间上的图象有两个交点，故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查函数新定义问题，解题的关键就是将问题转化为函数零点来处理，并利用参变量分离法来处理，考查化归与转化数学思想，属于难题.‎ 三．解答题.‎ ‎17.已知函数，在时有极大值.‎ ‎（1）求、的值；‎ ‎（2）求函数在上的最值.‎ ‎【答案】（1），；（2）最大值，最小值.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出函数的导数，由题意得出，列出、的方程组，可解出实数、的值；‎ ‎（2）由（1）得出，利用导数求出函数在区间上的极值，并与端点函数值比较大小，可得出函数在区间上的最大值和最小值.‎ ‎【详解】（1），，‎ 由题意得，解得；‎ ‎（2）由（1）知，则.‎ 令，得或，列表如下：‎ 极小值 极大值 因此，函数在区间上的最大值，最小值.‎ ‎【点睛】本题考查导数与导数的极值、以及利用导数求最值，解题时要注意导数与极值、最值之间的关系，同时要注意导数求函数最值的基本步骤，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎18.已知函数的最大值为.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的最小正周期及单调递减区间.‎ ‎【答案】（1）；（2）最小正周期为，单调递减区间为.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将函数的解析式利用二倍角公式以及辅助角公式将函数的解析式化简，利用函数的最大值可求出实数的值；‎ ‎（2）由（1）得出，利用周期公式可计算出函数的最小正周期，再由，解出该不等式可得出函数的单调递减区间.‎ ‎【详解】（1）由题意可得 ‎，‎ 所以，函数的最大值为，因此，；‎ ‎（2）由（1）知，，‎ 所以，函数的最小正周期为.‎ 由，解得，‎ 因此，函数的单调递减区间为.‎ ‎【点睛】本题考查三角函数的基本性质，解题的关键就是利用三角恒等变换思想将三角函数解析式进行化简，并结合正、余弦函数的基本性质进行求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎19.在中，内角的对边分别为，且，．‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）设边的中点为，，求的面积 ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由已知可求的值，由正弦定理，两角和的正弦公式，同角三角函数基本关系可求的值，进而可求A的值（2）由余弦定理解得的值，进而可求的值，利用三角形的面积公式即可求解.‎ ‎【详解】（1）由，得， ‎ 又，∴ ，‎ 由正弦定理有得，‎ ‎∴ 即，‎ ‎∴ ，；‎ ‎（2）由余弦定理有， ‎ 即，解得，∴ ，‎ ‎∴ .‎ ‎【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，两角和的正弦公式，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式，考查了计算能力和转化思想，属于中档题.‎ ‎20.如图，在五面体中，侧面是正方形，是等腰直角三角形，点是正方形对角线的交点，且.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）若侧面与底面垂直，求五面体的体积.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）取的中点，连接、，证明四边形为平行四边形，可得出，再利用直线与平面平行的判定定理可证明出平面；‎ ‎（2）取的中点，的中点，连接、、，将五面体分割为三棱柱和四棱锥，证明出底面和平面，然后利用柱体和锥体体积公式计算出两个简单几何体的体积，相加可得出五面体的体积.‎ ‎【详解】（1）取的中点，连接、，‎ 侧面为正方形，且，为的中点，‎ 又为的中点，且，‎ 且，，所以，四边形为平行四边形，.‎ 平面，平面，平面；‎ ‎（2）取的中点，的中点，连接、、，‎ 四边形为正方形，.‎ 平面平面，平面平面，平面，‎ 底面，‎ 易知，，，‎ ‎，‎ 为中点，，，‎ 平面，平面，，‎ ‎，、平面，平面.‎ ‎，平面，且，‎ ‎，因此，.‎ ‎【点睛】本题考查直线与平面平行的证明，以及多面体体积的计算，在计算多面体体积时，一般有以下几种方法：（1）直接法；（2）等体积法；（3）割补法.在计算几何体体积时，要结合几何体的结构选择合适的方法进行计算，考查逻辑推理能力与计算能力，属于中等题.‎ ‎21.已知.‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）若对任意，都有，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出函数的定义域和导数，对分和两种情况，分析在上的符号，可得出函数的单调区间；‎ ‎（2）由，转化为，构造函数，且有，问题转化为，对函数求导，分析函数的单调性，结合不等式求出实数的取值范围.‎ ‎【详解】（1）函数的定义域为，.‎ ‎①当时，对任意的，，此时，函数的单调递减区间为；‎ ‎②当时，令，得；令，得.‎ 此时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；‎ ‎（2），即，得，‎ 又，不等式两边同时除以，得，即.‎ 易知，由题意可知对任意的恒成立，.‎ ‎①若，则当时，，，此时，‎ 此时，函数在上单调递减，则，不合乎题意；‎ ‎②若，对于方程.‎ ‎（i）当时，即，恒成立，‎ 此时，函数上单调递增，则有，合乎题意；‎ ‎（ii）当时，即时，‎ 设方程的两个不等实根分别为、，且，‎ 则，，所以，，，.‎ 当时，；当时，，，不合乎题意.‎ 综上所述，实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，以及利用导数研究不等式恒成立问题，解题方法就是利用分类讨论法进行求解，解题时要找出参数分类讨论的依据，考查分类讨论数学思想的应用，属于难题.‎ ‎22.在直角坐标系中，直线的参数方程为（是参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为.‎ ‎（1）求圆的直角坐标方程；‎ ‎（2）过直线上的一点向圆引切线，求切线长的最小值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将圆的极坐标方程利用两角和的正弦公式展开，并在等式两边同时乘以，再由可将圆的极坐标方程化为普通方程；‎ ‎（2）设直线上任意一点的坐标为 ‎，利用勾股定理以及两点间的距离公式得出切线长为，转化为关于的二次函数求出切线长的最小值.‎ ‎【详解】（1），，‎ 即，等式两边同时乘以得，‎ 所以，圆的普通方程为，即；‎ ‎（2）设上任意一点，，半径，‎ 切线长为，‎ 当且仅当时，切线长取最小值.‎ ‎【点睛】本题考查极坐标方程与普通方程的互化，同时也考查了圆的切线长的计算，计算时可以代数法求解，也可以利用几何法结合勾股定理求解，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎23.已知函数，.‎ ‎（1）若，求不等式的解集；‎ ‎（2）若关于的不等式.恒成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】(1)；(2) .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将代入函数的解析式，得出所求不等式为，然后利用零点分段法去绝对值，分段解出不等式即可；‎ ‎（2）利用绝对值三角不等式得出，由题意得出，即，在时，解出该不等式可得出实数的取值范围.‎ ‎【详解】（1）时，不等式为.‎ 当时，不等式化为，，此时；‎ 当时，不等式化为恒成立，此时；‎ 当时，不等式化为，，此时.‎ 综上，不等式的解集为；‎ ‎（2），‎ ‎，，‎ 又，，解得或，‎ 即的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，以及绝对值不等式恒成立问题的求解，涉及绝对值三角不等式的应用，在求解恒成立问题时，需结合条件转化为函数的最值来处理，考查化归与转化数学思想的应用，属于中等题.‎ ‎ ‎