新疆实验中学2020届高三上学期第一次月考数学（理）试题

新疆实验中学2020届高三上学期第一次月考数学（理）试题

新疆实验中学2019-2020学年高三上学期 数学第一次月考试卷（理科）‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1.已知集合A={x|﹣2＜x＜4}，B={x|y=lg（x﹣2）}，则A∩（∁RB）=（　　）‎ A. （2，4） B. （﹣2，4） C. （﹣2，2） D. （﹣2，2]‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求得集合B,再进行补集和交集的运算即可．‎ ‎【详解】B={x|x＞2}；‎ ‎∴∁RB={x|x≤2}；‎ ‎∴A∩（∁RB）=（﹣2，2]．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题考查描述法表示集合，交集和补集的运算．‎ ‎2.函数的定义域是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意得到，解得答案.‎ ‎【详解】函数的定义域满足：，故.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了函数的定义域，意在考查学生对于函数定义域的理解.‎ ‎3.下列命题中，真命题是（ ）‎ A. B. ‎ C. 的充要条件是 D. 是的充分条件 ‎【答案】D ‎【解析】‎ A：根据指数函数的性质可知 恒成立，所以A错误． B：当 时， ，所以B错误． C：若 时，满足 ，但 不成立，所以C错误．‎ D： 则 ，由充分必要条件的定义，，是 的充分条件，则D正确． 故选D．‎ ‎4.设,则是的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：,，所以是必要不充分条件，故选B.‎ 考点：1.指、对数函数的性质；2.充分条件与必要条件.‎ ‎5.已知f(x)＝且f(0)＝2，f(－1)＝3，则f(f(－3))＝(　　)‎ A. －2 B. 2‎ C. 3 D. －3‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由题意得，解得．‎ 故 ‎∴，‎ ‎∴．选B．‎ ‎6.已知f（x）=ax2+bx是定义在[a–1，‎2a]上的偶函数，那么a+b的值是 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 依照偶函数的定义，对定义域内的任意实数，f（﹣x）=f（x），且定义域关于原点对称，a﹣1=﹣‎2a，即可得解.‎ ‎【详解】根据偶函数的定义域关于原点对称，且f（x）是定义在[a–1，‎2a]上的偶函数，‎ 得a–1=–‎2a，解得a=，又f（–x）=f（x），‎ ‎∴b=0，∴a+b=．故选B．‎ ‎【点睛】本题考查偶函数的定义，对定义域内的任意实数，f（﹣x）=f（x）；奇函数和偶函数的定义域必然关于原点对称，定义域区间两个端点互为相反数．‎ ‎7.的零点个数为（　　）‎ A. 1 B. ‎2 ‎C. 3 D. 4‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】函数 ‎ 当x＞1时，函数化为f（x）=2﹣xlog2x﹣1‎ 令2﹣xlog2x﹣1=0可得：2x=log2x，方程没有解，‎ 当0＜x＜1时，函数化为f（x）=2﹣xlog0.5x﹣1‎ 令2﹣xlog0.5x﹣1=0可得：2x=log0.5x，方程有一个解，‎ 所以函数的零点个数有1个．‎ 故选A．‎ ‎8.已知函数的极小值点，则（ ）‎ A. -16 B. ‎16 ‎C. -2 D. 2‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可求导数得到f′（x）＝3x2﹣12，可通过判断导数符号从而得出f（x）的极小值点，从而得出a的值．‎ ‎【详解】∵f（x）＝3x2﹣12；‎ ‎∴x＜﹣2时，f′（x）＞0，﹣2＜x＜2时，f′（x）＜0，x＞2时，f′（x）＞0；‎ ‎∴x＝2是f（x）的极小值点；‎ 又a为f（x）的极小值点；‎ ‎∴a＝2．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数极小值点的定义，考查了根据导数符号判断函数极值点的方法及过程，属于基础题．‎ ‎9.函数y＝xex的最小值是(　　)‎ A. －1 B. －e C. － D. 不存在 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号变化规律，确定单调性，进而确定最值.‎ ‎【详解】y′＝ex＋xex＝(1＋x)ex，令y′＝0，则x＝－1，因为x<－1时，y′<0，x>－1时，y′>0，所以x＝－1时，ymin＝－.选C.‎ ‎【点睛】利用导数解答函数最值的一般步骤：第一步：利用得可疑最值点，如导函数不变号，则根据函数单调性确定最值点在对应区间端点取得；第二步：比较极值同端点值的大小．在应用题中若极值点唯一，则极值点为开区间的最值点.‎ ‎10.函数满足，且，设，的大小关系是（ ）‎ A. B. C. D. 与有关，不确定 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 确定函数关于对称，故，，得到函数的单调性，讨论，，三种情况，分别计算得到大小关系.‎ ‎【详解】，故函数关于对称，故，.‎ 故，函数在上单调递减，在上单调递增.‎ ‎，，‎ 当时，，故；‎ 当时，，故；‎ 当时，，故；‎ 综上所述：.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了函数的对称性，根据函数单调性比较大小关系，意在考查学生对于函数性质的综合应用.‎ ‎11.已知函数，若，，则的最大值为（ ）‎ A. 1 B. C. 3 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算得到，故，即，再利用均值不等式得到答案.‎ ‎【详解】，故.‎ ‎，即.‎ ‎，故，当时等号成立.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了根据函数值求参数，均值不等式，化简得到是解题的关键.‎ ‎12.设函数，，若实数，满足，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 确定函数单调递增，且，计算得到，再代入计算比较大小关系.‎ ‎【详解】，，故，函数单调递增.‎ ‎，，即.‎ ‎，故或（舍去），‎ 故，，故.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了根据导数判断单调性，零点存在定理，意在考查学生的综合应用能力.‎ 二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）‎ ‎13.直线与曲线相切于点，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算，求导得到，根据，，计算得到答案.‎ 详解】过点，故.‎ ‎，则，，.‎ ‎，故，.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了切线问题，意在考查学生的计算能力.‎ ‎14.已知函数满足，且的导函数，则的解集为________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据条件构造函数，原不等式等价于,然后由已知，利用导数研究函数的单调性，从而可得结果.‎ ‎【详解】设，‎ 则, 因为, , 即函数在定义域上单调递减, , 所以当时,,‎ 不等式的解集为, 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题主要考查不等式的解法,利用条件构造函数, 利用导数研究函数的单调性、构造函数比较大小,属于难题.联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.‎ ‎15.已知函数，且关于的方程有且只有一个实根，则实数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出函数和的图像，根据图像得到答案.‎ ‎【详解】，即，画出函数和的图像，如图所示：‎ 根据图像知：.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了函数的零点问题，画出函数图像是解题的关键.‎ ‎16.设定义在上的函数同时满足以下条件：①；②；③当时，，则＝________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用周期性和奇偶性，直接将的值转化到 上的函数值，再利用解析式计算，即可求出结果．‎ ‎【详解】依题意知：函数为奇函数且周期为2，‎ 则，，即 .‎ ‎【点睛】本题主要考查函数性质——奇偶性和周期性的应用，以及已知解析式，求函数值，同时，考查了转化思想的应用．‎ 三、解答题（共70分）‎ ‎17.已知函数.‎ ‎（1）当时，求函数的值域；‎ ‎（2）若函数在上的最大值为1，求实数a的值.‎ ‎【答案】(1) (2) 或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用二次函数，配方通过闭区间以及二次函数的对称轴求解函数最值即可.‎ ‎（2）求出函数的对称轴，利用对称轴与求解的中点，比较，求解函数的最大值，然后求解a的值即可.‎ ‎【详解】（1）当时，，‎ 又，所以，‎ ‎，所以值域为.‎ ‎（2）对称轴为.‎ ‎①当，即时，‎ 所以，即满足题意；‎ ‎②当，即时，‎ ‎，‎ 所以，即满足题意 综上可知或.‎ ‎【点睛】本题考查二次函数的性质的应用，考查计算能力，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.‎ ‎18.设，其中，曲线在点处切线与轴相交于点．‎ ‎（1）确定的值；‎ ‎（2）求函数的极值．‎ ‎【答案】（1）；（2）在处取极大值为，在处取极小值为.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求导得到，计算切线方程为，解得答案.‎ ‎（2）求导得到，得到函数单调性，再计算极值得到答案.‎ ‎【详解】（1），则，故，.‎ 故切线方程为：，当时，，.‎ ‎（2），.‎ 故函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.‎ 故函数在处取极大值为，在处取极小值为.‎ ‎【点睛】本题考查了函数的切线问题，极值，意在考查学生的综合应用能力.‎ ‎19.设函数且是定义域为的奇函数.‎ ‎（1）若，试求不等式的解集；‎ ‎（2）若，且，求在上的最小值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由函数是奇函数求出，得到；‎ ‎（1）根据得到，单调递增；利用单调性转化不等式，求解，即可得出结果；‎ ‎（2）先由得，，令，先求出，得到的单调性，从而可求出最小值.‎ ‎【详解】因为函数且是定义域为的奇函数，‎ 所以，所以，；经检验满足题意 ‎（1）由得，解得或（舍）；‎ 又指数函数单调递增，单调递减；‎ 因此单调递增；‎ 又不等式可化为；‎ 所以，即，解得或；‎ 即不等式的解集为：；‎ ‎（2）因为，所以，即，解得或（舍）；‎ 因此，所以，‎ 令，易知在上单调递增，因此，‎ 则，‎ 又在上单调递减，在上单调递增；‎ 因此，即在上的最小值为.‎ ‎【点睛】本题主要考查由指数函数的单调性解不等式，以及求指数型复合函数的最值，熟记指数函数与二次函数的性质，以及函数奇偶性即可，属于常考题型.‎ ‎20.已知函数（，为自然对数的底数）在点处的切线经过点．‎ ‎（1）求的表达式；‎ ‎（2）讨论函数的单调性 ‎【答案】（1）；（2）答案不唯一，详见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求导得到，，，得到切线，计算得到答案.‎ ‎（2）求导，讨论和两种情况，分别计算得到答案.‎ ‎【详解】（1），则，故，.‎ 切线方程为：，经过，故，故.‎ 即.‎ ‎（2），.‎ 当时，，故函数单调递减；‎ 当时，取，故，故在上单调递减，‎ 在上单调递增.‎ 综上所述：时，单调递减；时，上单调递减，在上单调递增.‎ ‎【点睛】本题考查了函数的切线问题，函数单调性，意在考查学生的综合应用能力.‎ ‎21.已知函数．‎ ‎（Ⅰ）讨论函数在定义域内的极值点的个数；‎ ‎（Ⅱ）若函数在处取得极值，对恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）时在上没有极值点，当时，在上有一个极值点．（Ⅱ）．‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：（Ⅰ）显然函数的定义域为.‎ 因为，所以，‎ 当时，在上恒成立，函数在单调递减，‎ ‎∴在上没有极值点； ‎ 当时，由得，由得，‎ ‎∴在上递减，在上递增，即在处有极小值．‎ ‎∴当时在上没有极值点，当时在上有一个极值点 ‎（Ⅱ）∵函数在处取得极值，由（Ⅰ）结论知，‎ ‎∴，‎ 令，所以，‎ 令可得在上递减，令可得在上递增，‎ ‎∴，即. ‎ 考点：本小题主要考查函数的求导、函数的单调性、函数的极值最值和恒成立问题，考查学生分析问题、解决问题的能力和分类讨论思想的应用以及运算求解能力.‎ 点评：导数是研究函数问题的有力工具，常常用来解决函数的单调性、极值、最值等问题.对于题目条件较复杂，设问较多的题目审题时，应该细致严谨，将题目条件条目化，一一分析，细心推敲.对于设问较多的题目，一般前面的问题较简单，问题难度阶梯式上升，先由条件将前面的问题正确解答，然后将前面问题的结论作为后面问题解答的条件，注意问题之间的相互联系，使问题化难为易，层层解决.‎ ‎22.在直角坐标系中，以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为， 直线的参数方程为 (为参数)，直线和圆交于两点，是圆上不同于的任意一点.‎ ‎(1)求圆心的极坐标；(2)求△面积的最大值.‎ ‎【答案】(1);(2) .‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：（1）由题意可得圆的直角坐标方程，然后即可得圆的圆心及极坐标；（2）根据题意求得直线的方程，即可得圆心到直线的距离，然后求得的值，再根据数形结合可得到直线的最大距离，即可求出面积的最大值.‎ 试题解析：‎ ‎∴圆的圆心为 ‎ 又 ‎ 故圆心极坐标为 ‎ ‎⑵易知直线为，圆心到直线的距离 ‎∴‎ ‎∵由几何图形可知到直线的最大距离为 ‎∴面积的最大值为