吉林省吉林市2020届高三上学期第一次调研测试数学（理）试题

吉林省吉林市2020届高三上学期第一次调研测试数学（理）试题

吉林市普通中学2019-2020学年度高中毕业班第一次调研测试 理科数学 一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求。‎ ‎1.设，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据集合的交集运算即可求解。‎ ‎【详解】，‎ ‎ ‎ ‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查集合的基本运算，属于基础题。‎ ‎2.函数的最小正周期是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由三角函数的最小正周期，即可求解。‎ ‎【详解】，‎ ‎ ‎ ‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查求三角函数的周期，属于基础题。‎ ‎3.已知向量，则（ ）‎ A. -8 B. 4 C. 7 D. -1‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由向量数量积的坐标运算即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎ ‎ ‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查向量的坐标运算，属于基础题.‎ ‎4.已知奇函数当时，，则当时，的表达式是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 设x<0，则−x>0，又当x>0时,f(x)=x(1−x)，故f(−x)=−x(1+x)，‎ 又函数为奇函数，故f(−x)=−f(x)=−x(x+1)，即f(x)=x(x+1)，‎ 本题选择C选项.‎ ‎5.若数列满足：且，则（ ）‎ A. B. -1 C. 2 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先由递推关系得出、、、且数列的周期为即可求出.‎ ‎【详解】由且，‎ 则，， ，‎ 所以数列为周期数列，周期为，‎ 所以 故选：B ‎【点睛】本题考查数列周期性的应用，属于基础题.‎ ‎6.若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本道题化简式子,计算出,结合,即可.‎ ‎【详解】,得到,所以 ‎,故选C.‎ ‎【点睛】本道题考查了二倍角公式,难度较小.‎ ‎7.将函数图像上的每一个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再将所得图像向左平移个单位得到数学函数的图像，在图像的所有对称轴中，离原点最近的对称轴为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析：根据平移变换可得，根据放缩变换可得函数的解析式，结合对称轴方程求解即可.‎ 详解：将函数的图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，‎ 纵坐标不变，得到，‎ 再将所得图象向左平移个单位得到函数的图象，‎ 即，‎ 由，‎ 得，‎ 当时，离原点最近的对称轴方程为，故选A.‎ 点睛：本题主要考查三角函数的图象与性质，属于中档题.由 函数可求得函数的周期为；由可得对称轴方程；由可得对称中心横坐标.‎ ‎8.已知是不共线的向量，，若三点共线，则满足（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析】‎ 根据平面向量的共线定理即可求解。‎ ‎【详解】由三点共线，则、共线，‎ 所以存在不为零的实数，使得 ‎ 即 ，‎ 又因为是不共线的向量，‎ 所以，消解得 故选：D ‎ ‎【点睛】本题考查平面向量的共线定理，需掌握共线定理的内容，属于基础题。‎ ‎9.若函数且在上为减函数，则函数的图象可以是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据且在上为减函数可得，结合，再根据对数函数的图像特征，得出结论.‎ ‎【详解】由且在上为减函数，则，令，‎ ‎ 函数的定义域为，‎ ‎，所以函数为关于对称的偶函数. ‎ 函数的图像，时是函数的图像向右平移一个单位得到的. ‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查复合函数的图像，可利用函数的性质以及函数图象的平移进行求解，属于基础题.‎ ‎10.等比数列的前项和为，若，,则（ ）‎ A. 510 B. 255 C. 127 D. 6540‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由等比数列的性质可得，由可得公比，，再由等比数列的求和公式即可求出 ‎【详解】由等比数列的性质可得，解得，‎ 又，‎ ‎ ，‎ ‎，‎ ‎ ‎ 即，‎ 又，所以 ‎ 由等比数列的求和公式 ‎ ‎ ‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查等比数列的求和公式和性质，属于基础题.‎ ‎11.已知向量满足，点在内，且，设，若，则（ ）‎ A. B. 4 C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意由得，建立如图所示的直角坐标系，由，不妨设 ‎，，则，再利用正切的定义结合建立关于的等式，即可解出的值。‎ ‎【详解】‎ 由得，建立如图所示的直角坐标系，‎ ‎，不妨设，， ‎ 由得 ‎，‎ ‎ ‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查了平面向量的坐标表示以及平面向量的坐标运算，属于基础题。‎ ‎12.设函数的定义域为，若满足条件：存在，使在上的值域为（且），则称为“倍函数”，若函数为“3倍函数”，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由函数与方程关系得：函数为“3倍函数”，即函数的图像与直线有两个不同的交点，设，再利用导数可得求出的单调区间，只需，即可求出 ‎【详解】因为函数为增函数，由函数为“3倍函数”，即函数的图像与直线有两个不同的交点，‎ 设，则，‎ 又，所以，‎ 则当时，，‎ 当时，，‎ 所以函数在减函数，在为增函数， ‎ 要使的图像与直线有两个不同的交点，‎ 则需，即 ‎ 所以， ‎ 所以 ‎ 所以 ‎ 所以 ‎ 所以 ‎ 即 ‎ 又，‎ 所以 ‎ 故选：A ‎ ‎【点睛】本题考查了函数的值域问题，解题时构造函数，利用转化思想，属于中档题.‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。请把答案填在答题卡中相应位置。‎ ‎13.已知函数，则________.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据解析式，先求，再求 即可。‎ ‎【详解】，‎ ‎ ，‎ ‎，‎ 故答案为：1‎ ‎【点睛】本题主要考查函数的表示方法，分段函数求值，属于基础题。‎ ‎14.已知向量与的夹角为，，则_______.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎=，所以，填2.‎ ‎15.我国古代的天文学和数学著作《周碑算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气唇（guǐ）长损益相同（暑是按照日影测定时刻的仪器，暑长即为所测量影子的长度），夏至、小署、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪是连续十二个节气，其日影子长依次成等差数列，经记录测算，夏至、处暑、霜降三个节气日影子长之和为16.5尺，这十二节气的所有日影子长之和为84尺，则夏至的日影子长为________尺.‎ ‎【答案】1.5‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意设此等差数列的公差为，则求出首项即可得到答案。‎ ‎【详解】设此等差数列的公差为， ‎ 由题意即解得 ‎ ‎ 所以夏至的日影子长为 ‎ ‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查等差数列性质以及求和公式，解题的关键把文字叙述转化为数学等式，属于基础题。‎ ‎16.已知函数 ‎ 若，则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由辅助角公式化简，再由得图像关于直线对称，利用正弦函数的性质得到，再由，得，由二倍角公式即可求解. ‎ ‎【详解】设，，‎ 所以，‎ 又因为，所以函数的图像关于直线对称，‎ 根据正弦函数的性质得到，‎ 因为，，‎ 所以，‎ 所以 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查三角函数以及辅助角公式、二倍角公式，属于中档题.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17.是底部不可到达的建筑物，是建筑物的最高点，为测量建筑物的高度，先把高度为1米的测角仪放置在位置，测得仰角为45°，再把测角仪放置在位置，测得仰角为75°，已知米，在同一水平线上，求建筑物的高度。‎ ‎【答案】（）米 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在中，利用正弦定理求出，在求出即可求出.‎ ‎【详解】‎ 中，，‎ ‎（米）‎ ‎ ‎ 因为 所以（米）‎ 所以建筑物的高度为（）米 ‎【点睛】本题考查正弦定理在生活中的应用，把生活中的问题转化到三角形中进行求解，属于基础题。‎ ‎18.已知等差数列的公差,前项和为.,且成等比数列。‎ ‎(1)求数列的通项公式；‎ ‎(2)设，记数列的前项和为,求证：.‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据等差的通项公式与等比中项求出，代入等差数列的通项公式即可。‎ 利用裂项相消法求和以及放缩法即可证明。‎ ‎【详解】（1）由题意得：，‎ 得， ‎ 因为，所以，代入（1）式求得， ‎ 所以；‎ ‎（2）由（1）根据等差数列求和公式可得，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎【点睛】本题考查等差数列的通项公式以及裂项相消法求和，属于中档题。‎ ‎19.在中，角，，的对边分别是，，.已知.‎ ‎（Ⅰ）求角的值；‎ ‎（Ⅱ）若，，求的面积.‎ ‎【答案】（I）；（II）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）由，利用正弦定理以及两角和与差的正弦公式可得，结合角的范围可得结果；（Ⅱ）由余弦定理可得，求出的值，利用三角形面积公式可得结果.‎ ‎【详解】（Ⅰ）∵，‎ ‎∴由正弦定理可得，‎ ‎，‎ 因为，‎ ‎∴，∴.‎ ‎∵，∴.‎ ‎（Ⅱ）∵，∴，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理及两角和与差的正弦公式，属于中档题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.‎ ‎20.设函数的正零点从小到大依次为……，，……，构成数列.‎ ‎（1）写出数列的通项公式，并求出数列的前项和；‎ ‎（2）设，求的值.‎ ‎【答案】（1），；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由函数的正零点，令即可求出，再有等差数列求和公式即可求出 ‎ ‎（2）首先求出，再讨论的奇偶即可求解。‎ ‎【详解】（1） ‎ ‎（2）‎ ‎ 当时， ‎ 当时，‎ ‎【点睛】本题主要考查数列的通项公式、等差数列的求和公式以及求三角函数值，属于综合性题目。‎ ‎21.已知函数.‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）当时，求函数的最大值与最小值。‎ ‎【答案】（1）增区间是和；递减区间是 ；（2）最大值是77，最小值是 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求函数的导数，求单调递增区间，求单调递减区间。‎ ‎（2）根据函数的单调性即可求出最值。‎ ‎【详解】（1） ‎ 当时，单调递增；‎ 当时，单调递减；‎ 当时，单调递增；‎ 所以的递增区间是和；递减区间是 ‎ ‎（2）由（1）知，在上单调递增，在区间上单调递减 ‎ 所以的极大值为极小值为- ‎ 又因为 ，所以的最大值是77，最小值是 ‎【点睛】本题考查了函数的导数求单调区间和最值，属于基础题。‎ ‎22.设函数 ‎（1）当时，求函数在点处的切线方程；‎ ‎（2）当时，恒成立，求整数的最大值 ‎【答案】（1）；（2）最大值为2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）把代入，求求导得出的斜率，代入点斜式方程即可求解。 ‎ ‎（2）由，分离参数（）恒成立，设，‎ 求导得出的的范围，又，即可得到的最大值为2。‎ ‎【详解】当时，， ‎ 所以，因为 ‎ 所以切线方程为， 整理得： ‎ ‎（2），因为，所以（）恒成立 设，则 ---------6分 设则 所以在上单调递增，又 所以存在使得，时，；时，‎ 所以在上单调递减，上单调递增 所以，又 所以 ‎ 当时， ，所以在上单调递增 所以，即 因为，所以，所以的最大值为2.‎ ‎【点睛】本题利用导数求切线方程以及求函数的最值，综合性比较强。‎ ‎ ‎ ‎ ‎