河北省衡水中学2020届高三年级模拟试题（三）数学（文科）

河北省衡水中学2020届高三年级模拟试题（三）数学（文科）

河北省衡水中学2020届高三年级模拟试题（三）‎ 数学（文科）‎ 本试卷总分150分，考试时间120分钟.‎ 注意事项：‎ ‎1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上相应的位置.‎ ‎2.全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效.‎ ‎3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案用0.5mm黑色笔迹签字笔写在答题卡上.‎ ‎4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.若，为实数，且，则（）‎ A. B.2 C. D.4‎ ‎2.已知全集，，则（）‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎3.已知某种商品的广告费支出（单位：万元）与销售额（单位：万元）之间有如下对应数据：‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎30‎ ‎40‎ ‎65‎ ‎70‎ 根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出关于的线性回归方程为，则表中的值为（）‎ A.45 B.50 C.55 D.60‎ ‎4.设曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的值为（）‎ A. B. C. D.2‎ ‎5.函数的部分图象大致为（）‎ A.B.C.D.‎ ‎6.已知直线与抛物线交于，两点，直线的斜率为3，线段的中点的横坐标为，则（）‎ A. B. C. D.‎ ‎7.榫卯（sǔn mǎo）是古代中国建筑，家具及其它器械的主要结构方式，是在两个构件上采用凹凸部位相结合的一种连接方式，其中凸出部分叫榫（或，叫榫头）；凹进部分叫卯（或叫榫眼、榫槽），其特点是在物件上不使用钉子，利用卯榫加固物件，体现出中国古老的文化和智慧.如图所示的网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某榫卯构件的三视图，则该构件的体积为（）‎ A. B. C. D.‎ ‎8.甲、乙、丙、丁四人参加完机器人设计编程比赛，当问到四人谁得第一时，甲说：“是乙或丙获得第一名”；乙说：“甲、丙都未获得第一名”；丙说：“我获得第一名”；丁说：“是乙获得第一名”.已知他们四人中只有两人说的是真话，根据以上信息可以判断得第一名的人是（）‎ A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 ‎9.设变量，满足线性约束条件，若取得最大值时的最优解不唯一，则实数的值为（）‎ A.或1 B.1或 C.或 D.或2‎ ‎10.已知在中，，，点满足，则（）‎ A. B. C. D.‎ ‎11.已知等比数列的前项和为，且，若，则数列中最小的项为（）‎ A. B. C. D.或 ‎12.已知函数若关于的不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围是（）‎ A. B. C. D.‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.2020年抗击新冠肺炎疫情期间，为不影响学生的学习生活，学校实行停课不停学.为督促学生按时学习，某校要求所有学生每天打卡，全校学生的总人数为1200人.某日随机抽查200人，发现因各种原因未及时打卡的学生数为12，估计该日这个学校未及时打卡的学生数为______.‎ ‎14.已知函数是定义在上的奇函数，若，则______.‎ ‎15.已知在数列中，，且，则______；的最小值为______.（本题第一空2分，第二空3分）‎ ‎16.已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，过原点的直线与的左、右两支分别交于，两点，直线交双曲线于另一点（，在的两侧）.若，且，则双曲线的渐近线方程为______.‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎（一）必考题：共60分.‎ ‎17.（12分）‎ 已知的内角，，的对边分别为，，，且满足.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，的面积为，求的周长.‎ ‎18.（12分）‎ 如图，矩形所在平面垂直于直角梯形所在平面，，，，，，，分别是，的中点.‎ ‎（1）证明：平面.‎ ‎（2）求多面体的体积.‎ ‎19.（12分）‎ 某企业对某种产品的生产线进行了改造升级，已知该种产品的质量以其质量指标值衡量，并依据质量指标值划分等级如下表：‎ 质量指标值 或 或 等级 一等品 二等品 三等品 该企业从生产的这种产品中随机抽取100件产品作为样本，检测其质量指标值，得到如下的频率分布直方图.‎ ‎（1）根据频率分布直方图估计这100件产品的质量指标值的平均数（同一区间数据用该区间数据的中点值代表）；‎ ‎（2）用分层抽样的方法从样本质量指标值在区间和内的产品中随机抽取4件，再从这4件中任取2件作进一步研究，求这2件都取自区间的概率；‎ ‎（3）该企业统计了近100天中每天的生产件数，得下面的频数分布表：‎ 件数 天数 ‎20‎ ‎30‎ ‎40‎ ‎10‎ 该企业计划引进新的设备对该产品进行进一步加工，有，两种设备可供选择.设备每台每天最多可以加工30件，每天维护费用为500元/台；设备每台每天最多可以加工4件，每天维护费用为80元/台.该企业现有两种购置方案：‎ 方案一：购买100台设备和800台设备；‎ 方案二：购买200台设备和450台设备.‎ 假设进一步加工后每件产品可以增加25元的收入，在抽取的这100天的生产件数（同一组数据用该区间数据的中点值代表）的前提下，试依据使用，两种设备后的日增加的利润（日增加的利润日增加的收入日维护费用）的均值为该公司决策选择哪种方案更好？‎ ‎20.（12分）‎ 如图，椭圆：（）的离心率为，直线：与只有一个公共点.‎ ‎（1）求椭圆的方程.‎ ‎（2）不经过原点的直线与平行且与交于，两点，记直线，的斜率分别为，，证明：为定值.‎ ‎21.（12分）‎ 已知函数（）.‎ ‎（1）讨论的单调性.‎ ‎（2）证明：当时，（）.‎ ‎（二）选考题：共10分.请考生从第22.23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.‎ ‎22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）‎ 在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（）.‎ ‎（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）若直线与轴交于点，与曲线交于，两点，且，求的值.‎ ‎23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）‎ 已知函数.‎ ‎（1）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（2）求不等式的解集.‎ 数学（文科）参考答案 一、选择题 ‎1.D【解析】由得，，即，所以.故选D.‎ ‎2.D【解析】因为，，所以.故选D.‎ ‎3.A【解析】，，因为当时，，所以，解得，故选A.‎ ‎4.A【解析】由题意得，所以曲线在点处的切线的斜率，又直线的斜率，由，解得，故选A.‎ ‎5.B【解析】易知函数的定义域为，且，所以函数为偶数，排除选项D；当时，，排除选项C；由，排除选项A.故选B.‎ ‎6.B【解析】设，，，则，，两式相减得，所以，解得，得，所以，得直线：与，联立得，则，，所以，故选B.‎ ‎7.B【解析】由三视图可知，该构件是由榫（上部分为圆锥，下部分为圆柱的组合体）插入到卯（一个四棱柱）得到的几何体，结合图中的数据可知该构件的体积为.故选B.‎ ‎8.C【解析】若甲获得第一名，则四人说的都是假话，不符合题意；若乙获得第一名，则甲、乙、丁都说真话，丙说假话，不符合题意；若丁获得第一名，则甲、丁、丙都说假话，乙说真话，不符合题意；若丙获得第一名，则甲、丙说的是假话，乙、丁说的是真话，符合题意.故获得第一名的人是丙.故选C.‎ ‎9.B【解析】作出不等式组所表示的可行域如图阴影部分所示，‎ 因为目标函数取得最大值时的最优解不唯一，所以当时，直线与直线重合，此时；当时，直线与直线重合，此时，所以或.故选B.‎ ‎10.A ‎【解析】由题可知为等边三角形，以的中点为坐标原点，分别以，为，轴建立如图所示的直角坐标系，则，，，所以，，所以，，，所以.故选A.‎ ‎11.D【解析】因为，所以，.因为数列是等比数列，所以，即，所以，所以当或7时，最小，故选D.‎ ‎12.B【解析】由，当时，，令，则，由，得；由，得，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以；当时，；当趋近于正无穷大时，趋近于1，；当时，，令，则，所以，所以实数的取值范围是.故选B.‎ 二、填空题 ‎13.72‎ ‎【解析】由题意得，所以该日这个学校未及时打卡的学生数为72.‎ ‎14.‎ ‎【解析】由题意得，即，解得，即，所以.‎ ‎15. 44‎ ‎【解析】因为，所以，两式相减得，所以，所以数列为等差数列.当时，由得，由，得公差，所以，所以，当且仅当，即时等号成立.‎ ‎16.‎ ‎【解析】连接，，，如图所示，由双曲线的对称性得四边形是平行四边形，所以，令，，，由双曲线的定义，得，所以，在中，由及余弦定理得，代入化简可得，又得，.在中，，即，可得，，，所以的渐近线方程为.‎ 三、解答题 ‎17.解：（1）由题意及正弦定理得，‎ 即，即.‎ 又因为，所以，‎ 所以，所以.（5分）‎ ‎（2）因为，又由（1）得，‎ 所以，解得.（8分）‎ 又由余弦定理得，（10分）‎ 所以.‎ 所以的周长为.（12分）‎ ‎18.（1）证明：取的中点，连接，，如图所示.‎ 因为是的中点，‎ 所以.‎ 又因为平面，平面，‎ 所以平面.‎ 同理平面.‎ 又因为，所以平面平面，‎ 所以平面.（5分）‎ ‎（2）连接，，‎ 因为平面平面，‎ 平面平面，，‎ 所以平面，‎ 由题意知易得直角梯形的面积为，，‎ 所以.（8分）‎ 在中，由余弦定理得，‎ 所以，所以.‎ 因为平面平面，平面平面，‎ 所以平面，‎ 所以，‎ 所以多面体的体积为（12分）‎ ‎19.解：（1）由题意得.（3分）‎ ‎（2）因为区间和上的频率之比为，所以应从区间上抽取1件，记为从区间上抽取3件，记为，，，则从中任取两件的情况有，，，，，共6种，‎ 其中两件都取自区间上：的情况有，，，共3种，‎ 所以其概率.（7分）‎ ‎（3）每天生产件数的频数分布表为：‎ 件数 ‎6000‎ ‎7000‎ ‎8000‎ ‎9000‎ 天数 ‎20‎ ‎30‎ ‎40‎ ‎10‎ 若采用方案一，使用100台设备和800台设备每天可进一步加工的件数为，可得实际加工件数的频数分布表为 实际加工件数 ‎6000‎ ‎6200‎ 频数 ‎20‎ ‎80‎ 所以方案一中使用，设备进一步加工后的日增加的利润均值为；‎ 若采用方案二，使用200台设备和450台设备每天可进一步加工的件数为，可得实际加工件数的频数分布表为 实际加工件数 ‎6000‎ ‎7000‎ ‎7800‎ 频数 ‎20‎ ‎30‎ ‎50‎ 所以方案二中使用，设备进一步加工后的日增加的利润均值为 ‎.‎ 综上所述，公司应该选择方案二.（12分）‎ ‎20.（1）解：由，得，‎ 由，得，‎ 所以的方程为，即，‎ 与：联立得，‎ 令，得，‎ 所以椭圆的方程为.（5分）‎ ‎（2）证明：由（1）得，所以，‎ 设：，，，‎ 联立方程组 整理得，‎ ‎，得，‎ 则，，（9分）‎ ‎，‎ 所以.（12分）‎ ‎21.（1）解：因为（），‎ 当时，令，得或，‎ 令，得，‎ 所以在区间，上单调递增，在区间上单调递减；‎ 当时，，‎ 所以在区间上单调递增；（3分）‎ 当时，‎ 令，得或；‎ 令，得，‎ 所以在区间，上单调递增，在区间上单调递减；‎ 当时，令，得；‎ 令，得，‎ 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减.（6分）‎ ‎（2）证明：当时，，‎ 所以，即.‎ 当时，‎ ‎，（8分）‎ 令，得 ‎，‎ ‎，‎ ‎，…，‎ ‎，‎ 所以，‎ 所以（）.（12分）‎ ‎22.解：（1）将的参数方程（为参数），‎ 消去参数，得直线的普通方程为.‎ 因为 代入（），‎ 所以曲线的直角坐标方程为（）.‎ ‎（2）由（1）得点，设直线的参数方程为 ‎（为参数），‎ 代入（）中得（），‎ 整理得（）.‎ 设点，对应的参数分别为，，‎ 则，，‎ 所以，‎ 解得（负值舍去）.‎ 因为，所以符合条件，故所求的值为3.（10分）‎ ‎23.解：（1）因为 所以，‎ 由，得，‎ 解得.‎ 所以实数的取值范围为.（5分）‎ ‎（2）在同一坐标系中作出函数，的图象如图所示，‎ 当时，，‎ 由联立得，‎ 所以不等式的解集为.（10分）‎