2019-2020学年江西省赣州市石城中学高一上学期期中数学试题（解析版）

2019-2020学年江西省赣州市石城中学高一上学期期中数学试题（解析版）

‎2019-2020学年江西省赣州市石城中学高一上学期期中数学试题 一、单选题 ‎1．设集合，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据交集的定义，即可求出结果。‎ ‎【详解】‎ ‎，故选C。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查交集的运算。‎ ‎2．在映射中，，且，则元素在作用下的原像是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由，解得 在作用下的原像是 故答案选 ‎3．下列函数中哪个与函数是相同函数（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据函数的两要素定义域和对应法则，即可判定.‎ ‎【详解】‎ 对于A，的定义域为，与 的定义域R不相同，故不是同一函数；对于 B，的定义域为，与 ‎ 的定义域R不相同，故不是同一函数；对于C， 的对应法则与的对应法则不同，故不是同一函数；对于D.,与定义域及对应法则相同，故是同一个函数.故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数的定义域，解析式，属于中档题.‎ ‎4．若函数，则等于（ ）‎ A． B． C．1 D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由函数，令，即可求解的值，得到答案．‎ ‎【详解】‎ 由题意，函数，令，则．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数值的计算，其中解答中根据函数的解析式，合理赋值求解是解答的关键，着重考查了赋值思想，以及计算能力，属于基础题．‎ ‎5．函数的定义域，则实数的值为（ ）‎ A． B．3 C．9 D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由函数函数的定义域为，结合函数定义域的定义，得到，即可求解．‎ ‎【详解】‎ 由题意，函数有意义，满足，‎ 又由函数的定义域为，所以，解得．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数的定义域的概念及运算，其中解答中熟记函数的定义域的定义，结合对数的运算，合理计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎6．设， ，，则的大小关系为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】结合指数函数与对数函数的图象与性质，分别求得的取值范围，即可求解．‎ ‎【详解】‎ 由题意，根据指数函数的性质，可得，即，‎ 根据对数函数的性质，可得，即，‎ ‎，即，所以．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了指数函数与对数函数的性质的应用，其中解答中熟记指数函数与对数函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎7．函数（其中为自然对数的底数）的图象大致为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意，可知，即为奇函数，排除，，又时，，可排除D，即可选出正确答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意，函数定义域为，且，即 为奇函数，排除，，当时，，，即时，，可排除D，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数图象的识别，考查了函数奇偶性的运用，属于中档题.‎ ‎8．已知函数且在上单调递减，则的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由函数在上单调递减，结合分段函数的单调性的概念，得到不等式组，即可求解．‎ ‎【详解】‎ 由题意，函数且在上单调递减，‎ 则满足，解得，即实数的取值范围为．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用分段函数的单调性求解参数问题，其中解答中熟记分段函数的单调性的概念，结合二次函数的性质和对数的运算，列出相应的不等式组是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎9．若函数为奇函数且在上为减函数，又，则不等式的解集为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】先得到函数在上为减函数，在上为减函数，且，再结合函数的单调性，分类讨论，即可求解，得到答案．‎ ‎【详解】‎ 由题意，函数为奇函数且在上为减函数，且，‎ 可得为奇函数且在上为减函数，又，‎ 当时，则满足，即，即，解得，‎ 当时，则满足，即，即，解得，‎ 综上可得不等式的解集为．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数的单调性与奇偶性的应用，其中解答中熟练应用函数的单调性与函数的奇偶性，合理分类讨论求解是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于中档试题．‎ ‎10．已知函数的定义域为，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】把函数的定义域为，转化为不等式在上恒成立，结合二次函数的性质，分类讨论，即可求解．‎ ‎【详解】‎ 由题意，函数的定义域为，‎ 即在上恒成立，‎ 由，解得，‎ 当时，不等式可化为在恒成立；‎ 当时，不等式可化为，解得，不符合题意，舍去；‎ 当时，即时，则满足， ‎ 即，解得或，‎ 综上可得，实数的取值范围是．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了对数函数的定义域，以及不等式的恒成立问题，其中解答中熟记对数函数的性质，合理应用二次函数的性质，分类讨论求解是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与计算能力，属于中档试题．‎ ‎11．对于任意两个正整数 ，定义某种运算，法则如下：当都是正奇数时， ；当不全为正奇数时， ，则在此定义下，集合的真子集的个数是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意，当 都是正奇数时， ；当不全为正奇数时， ； 若 都是正奇数，则由 ，可得 ，此时符合条件的数对为（ 满足条件的共8个； 若不全为正奇数时， ，由 ，可得 ，则符合条件的数对分别为 共5个； 故集合 中的元素个数是13， 所以集合的真子集的个数是 故选C．‎ ‎【点睛】本题考查元素与集合关系的判断，解题的关键是正确理解所给的定义及熟练运用分类讨论的思想进行列举，‎ ‎12．已知是定义在R上的奇函数，对任意两个不相等的正数，都有，记，,则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】设，得到函数在为单调递减函数，且是定义域上的偶函数，再结合函数的单调性和奇偶性进行比较，即可求解．‎ ‎【详解】‎ 由题意，不妨设，则，‎ 因为，即，‎ 所以，即，‎ 设，所以函数在为单调递减函数，‎ 又由是定义在R上的奇函数，‎ 则，所以函数是定义域上的偶函数，‎ 可得，,，‎ 又由，所以，即．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数的单调性与函数的奇偶性的应用，其中解答中合理使用函数的单调性与奇偶性，结合函数的单调性进行比较是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．‎ 二、填空题 ‎13．幂函数在区间上是增函数，则_______.‎ ‎【答案】-1‎ ‎【解析】由幂函数，得出或，分别代入函数的解析式，结合幂函数的性质，即可求解．‎ ‎【详解】‎ 由题意，幂函数，则，解得或，‎ 当时，函数，由幂函数的性质可得函数在区间上是增函数；‎ 当时，函数，此时函数在区间上不是单调函数，不符合题意，（舍去），‎ 综上可得，．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了幂函数的定义，以及幂函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记幂函数的定义，合理利用幂函数的图象与性质进行判定是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎14．若集合A={x|ax2+ax+1=0，x∈R}不含有任何元素，则实数a的取值范围是_____．‎ ‎【答案】0≤a＜4‎ ‎【解析】当时，显然方程无解，当时，利用判别式小于0即可求解.‎ ‎【详解】‎ 当时,原方程可化为，显然无解，当时，一元二次方程无解则需，即，解得，综上.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了集合，一元二次方程，分类讨论，属于中档题.‎ ‎15．若只有一个实数解，则实数的取值范围_____.‎ ‎【答案】或 ‎【解析】作出函数的图象，结合图象，即可求解．‎ ‎【详解】‎ 作出函数的图象，如图所示，‎ 结合图象可得，方程只有一个实数解，‎ 即函数与的图象只有一个交点，‎ 则满足或．‎ 故答案为：或．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数与方程的应用，其中解答中把方程的解得个数转化为两个函数的图象的交点的个数，结合图象求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及计算能力，属于基础题．‎ ‎16．已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】【详解】‎ 由题意，函数在区间上单调递增，‎ 设，‎ 根据复合函数的单调性的判定方法，可得函数在区间上单调递减，‎ 且在区间上恒成立，‎ 所以，解得，即实数的取值范围为．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了对数函数的性质，以及复合函数的单调性的应用，其中解答中熟记对数函数的性质，合理应用复合函数的单调性的判定方法进行转化是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于基础题．‎ 三、解答题 ‎17．（1）计算：；‎ ‎（2）计算：.‎ ‎【答案】（1）；（2）76.‎ ‎【解析】（1）根据实数指数幂的运算性质，准确计算，即可求解；‎ ‎（2）根据对数的运算公式，准确计算，即可求解；‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意，根据实数指数幂的运算，可得 ‎； ‎ ‎（2）由题意，根据对数的运算公式，可得 ‎ ‎ ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了实数指数幂的运算性质，以及对数的运算公式的化简求值，其中解答中熟记指数幂的运算性质和对数的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题．‎ ‎18．已知集合 ‎（1）若，求 ；‎ ‎（2）若，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1） 或；（2）.‎ ‎【解析】（1）当时，得到集合，得出 或，再结合集合的交集运算，即可求解．‎ ‎（2）由，可得，分类讨论，结合集合的包含关系，即可求解．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意，当时，集合，‎ 则 或 所以 或 ； ‎ ‎（2）由，可得，‎ ‎①当时，即，解得，符合题意；‎ ‎②当时，则满足，解得．‎ 综上所述，实数的取值范围.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了集合的基本运算，以及利用集合的包含关系求参数，其中解答中熟记集合的运算，以及合理利用集合的包含关系，列出不等式组求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎19．已知．‎ ‎（1）当，时，求函数的值域；‎ ‎（2）若函数在区间内有最大值-5，求的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）或.‎ ‎【解析】（1）结合二次函数的性质，判断所给区间与对称轴的位置，利用二次函数的单调性即可求解；（2）先将二次函数配方，然后结合对称轴与所给区间的位置关系进行讨论，对每一种情况求出相应的最大值，即可求得值．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当时，的对称轴，开口向下，‎ 时，函数单调递减，‎ 当时，函数有最大值，‎ 当时，函数有最小值，‎ 故函数的值域；‎ ‎（2）∵的开口向下，对称轴，‎ ‎①当，即时，在上单调递增，函数取最大值．‎ 令，得，（舍去）．‎ ‎②当，即时，时， 取最大值为，‎ 令，得．‎ ‎③当，即时，在内递减，‎ ‎∴时， 取最大值为，‎ 令，得，解得，或，其中．‎ 综上所述，或 ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数单调性的应用、二次函数的性质、函数的最值，考查了分类讨论思想，属于中档试题. 二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论.‎ ‎20．旅行社为某旅行团包飞机去旅游，其中旅行社的包机费为15000元.旅游团中的每人的飞机票按以下方式与旅行社结算：若旅游团的人数不超过35人时，飞机票每张收费800元；若旅游团的人数多于35人，则给予优惠，每多1人，机票费每张减少10元，但旅游团的人数最多有60人.设旅行团的人数为人，飞机票价格为元，旅行社的利润为元.‎ ‎（1）写出飞机票价格元与旅行团人数之间的函数关系式；‎ ‎（2）当旅游团的人数为多少时，旅行社可获得最大利润？求出最大利润.‎ ‎【答案】(1)；(2)或58时，可获最大利润为18060元.‎ ‎【解析】试题分析：（I）依题意得，当1≤x≤35时，y=800，当35＜x≤60时，y=800﹣10（x﹣35）=﹣10x+1150，由此能求出飞机票价格元与旅行团人数x之间的函数关系式．‎ ‎（II）设利润为Q，则 ，由此能求出旅行社获得最大利润时的旅行团人数和最大利润．‎ 试题解析：‎ ‎（1）依题意得，‎ ‎（2）设利润为，则 ‎ 当且时，‎ 当且时，‎ ‎∴或58时，可获最大利润为18060元.‎ ‎21．定义在上的奇函数，已知当时，．‎ ‎（1）求在上的解析式；‎ ‎（2）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）由函数是奇函数，求得，再结合函数的奇偶性，即可求解函数在上的解析式；‎ ‎（2）把，不等式恒成立，转化为，构造新函数 ‎，结合基本初等函数的性质，求得函数的最值，即可求解．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意，函数是定义在上的奇函数，‎ 所以，解得，‎ 又由当时，，‎ 当时，则，可得，‎ 又是奇函数，所以，‎ 所以当时，． ‎ ‎（2）因为，恒成立，‎ 即在恒成立，可得在时恒成立，‎ 因为，所以，‎ 设函数，根据基本初等函数的性质，可得函数在上单调递减，‎ 因为时，所以函数的最大值为，‎ 所以，即实数的取值范围是．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用函数的奇偶性求解函数的解析式，以及函数的恒成立问题的求解，其中解答中熟记函数的奇偶性，以及利用分离参数，结合函数的最值求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题．‎ ‎22．已知函数，对任意a，恒有，且当时，有．‎ Ⅰ求；‎ Ⅱ求证：在R上为增函数；‎ Ⅲ若关于x的不等式对于任意恒成立，求实数t的取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ）； （Ⅱ）见解析； （Ⅲ）.‎ ‎【解析】Ⅰ根据题意，由特殊值法分析：令，则，变形可得的值，‎ Ⅱ任取，，且设，则，结合，分析可得，结合函数的单调性分析可得答案；‎ Ⅲ根据题意，原不等式可以变形为，结合函数的单调性可得，令，则原问题转化为在上恒成立，即对任意恒成立，结合二次函数的性质分析可得答案．‎ ‎【详解】‎ Ⅰ根据题意，在中，‎ 令，则，则有；‎ Ⅱ证明：任取，，且设，则，，‎ 又由，‎ 则，‎ 则有，‎ 故在R上为增函数．‎ Ⅲ根据题意，，‎ 即，则，‎ 又由，则，‎ 又由在R上为增函数，则，‎ 令，，则，‎ 则原问题转化为在上恒成立，‎ 即对任意恒成立，‎ 令，只需，‎ 而，，‎ 当时，，则．‎ 故t的取值范围是．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的恒成立问题，涉及抽象函数的单调性以及求值，其中解答中合理利用函数的单调性和合理完成恒成立问题的转化是解答的关键，同时注意特殊值法的应用，着重考查了转化思想，以及分析问题和解答问题的能力，属于中档试题。‎