宁夏石嘴山市第三中学2020届高三上学期适应性数学（理）试题

宁夏石嘴山市第三中学2020届高三上学期适应性数学（理）试题

‎2019-2020学年度高三理科数学试题 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.‎ ‎1.已知集合，，则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎.‎ ‎ 故选D.‎ ‎2. 下列命题中正确的是（ ）‎ A. 若p∨q为真命题，则p∧q为真命题 B. “x＝‎5”‎是“x2－4x－5＝‎0”‎的充分不必要条件 C. 命题“若x<－1，则x2－2x－3>‎0”‎的否定为：“若x≥－1，则x2－2x－3≤‎‎0”‎ D. 已知命题p：∃x∈R，x2＋x－1<0，则p：∃x∈R，x2＋x－1≥0‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ A中，p∨q为真命题时，p、q都为真命题或p、q一真一假，判断A错误；‎ B中，x＝5时x2﹣4x﹣5＝0，判断充分性成立，x2﹣4x﹣5＝0时x＝5或x＝﹣1，判断必要性不成立，B正确；‎ C中，根据命题“若p则q”的否命题为“若￢p则￢q”，判断C错误；‎ D中，根据特称命题的否定是全称命题，判断D错误．‎ ‎【详解】解：对于A，若p∨q为真命题，则p、q都为真命题或p、q一真一假，‎ ‎∴p∧q不一定为真命题，A错误；‎ 对于B，x＝5时，x2﹣4x﹣5＝25﹣20﹣5＝0，充分性成立，‎ x2﹣4x﹣5＝0时，x＝5或x＝﹣1，必要性不成立，‎ ‎∴“x＝‎5”‎是“x2﹣4x﹣5＝‎0”‎的充分不必要条件，B正确；‎ 对于C，命题“若x＜﹣1，则x2﹣2x﹣3＞‎0”‎的否命题为：‎ ‎“若x≥﹣1，则x2﹣2x﹣3≤‎0”‎，∴C错误；‎ 对于D，命题p：∃x∈R，x2+x﹣1＜0，‎ 则￢p：∀x∈R，x2+x﹣1≥0，∴D错误．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题考查了命题真假的判断问题，也考查了四种命题的应用问题，是基础题目．‎ ‎3.下列函数中，在区间上为减函数的是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：在区间上为增函数；在区间上先增后减；在区间上为增函数；在区间上为减函数，选D.‎ 考点：函数增减性 ‎4.函数是(　)‎ A. 最小正周期为的奇函数 B. 最小正周期为的奇函数 C. 最小正周期为的偶函数 D. 最小正周期为的偶函数 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析】‎ 根据正切函数的奇偶性判断函数是奇函数，再由周期公式求出最小正周期，即可得到结论 ‎【详解】该函数为奇函数 其最小正周期为 故选 ‎【点睛】本题主要考查了正切函数的相关知识，解题的关键是要熟练掌握正切函数的性质，属于基础题．‎ ‎5.设，角的终边上一点为，那么值等于( )‎ A. B. － C. D. －‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】由题设可知， ，应选答案A．‎ ‎6.已知，且为奇函数，若，则（ ）‎ A. 0 B. ‎-3 ‎C. 1 D. 3‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：为奇函数,则，故选C．‎ 考点：函数的奇偶性.‎ ‎7.已知，则tan（﹣α）＝（ ）‎ A. ﹣2 B. ‎2 ‎C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据，利用诱导公式化简求解.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以，‎ 所以，‎ 所以.‎ 故选：A ‎【点睛】本题主要考查了诱导公式的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.‎ ‎8.函数的大致图象为（ ）‎ A B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据图象特征，研究其单调性排除部分选项，再根据选项间的区别，利用特殊值确定.‎ ‎【详解】当时，是增函数，‎ 所以是减函数，排除B，D，‎ 又因为当时，，排除C，‎ 故选：A ‎【点睛】本题主要考查了函数的图象，还考查了数形结合的思想和理解辨析的能力，属于基础题.‎ ‎9.已知，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎ ‎ 故选B.‎ ‎10.将函数f（x）＝2cos4x的图象向左平移个单位后得到函数F（x）的图象，则下列说法中正确的是（ ）‎ A. F（x）是奇函数，最小值是﹣2‎ B. F（x）是偶函数，最小值是﹣2‎ C. F（x）是奇函数，最小值是 D. F（x）是偶函数，最小值是 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用平移变换得到，再研究其性质.‎ ‎【详解】根据题意，将函数f（x）＝2cos4x的图象向左平移个单位后得到函数.‎ 因为，所以是奇函数，易知最小值是-2.‎ 故选：A ‎【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换和性质，还考查了数形结合的思想和理解辨析的能力，属于基础题.‎ ‎11.设，则（ ）‎ A. 既是奇函数又是减函数 B. 既是奇函数又是增函数 C. 是有零点的减函数 D. 是没有零点的奇函数 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：函数的定义域为，关于原点对称，‎ ‎，因此函数是奇函数，不恒等于0，函数是增函数，故答案为B．‎ 考点：函数的奇偶性和单调性．‎ ‎12.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，其导函数为，若对任意的正实数x，都有x+‎2f（x）＞0恒成立，且，则使x‎2f（x）＜2成立的实数x的集合为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据x+‎2f（x）＞0的特征，构造，研究其单性，又，得到，将x‎2f（x）＜2，转化为，利用单调性定义求解.‎ ‎【详解】设，‎ 所以，‎ 因为时 ，都有x+‎2f（x）＞0恒成立，‎ 所以，‎ 所以在上是增函数，‎ 又因为函数f（x）是定义在R上的奇函数 所以也是定义在R上的奇函数 所以在上是增函数，‎ 又因为函数f（x）是定义在R上，其导函数为 所以函数f（x）是连续函数 所以在R上是增函数，‎ 又因为，‎ 所以，‎ 又因 x‎2f（x）＜2，‎ 即.‎ 所以 故选：C ‎【点睛】本题主要考查了导数的运算法则和导数与函数的单调性，还考查了转化的思想和运算求解的能力，属于中档题.‎ 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.命题“∃x0∈R，‎3”‎的否定是_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据命题的否定的定义求解，注意既要否定结论，也要转化量词.‎ ‎【详解】因为特称命题的否定是全称命题，‎ 所以命题“∃x0∈R，‎3”‎的否定是：“∀x∈R，2x≤‎3”‎.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查了命题的否定，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.‎ ‎14.已知幂函数为偶函数，且在区间上是单调增函数，则的值为_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：因为幂函数在区间上是单调增函数，所以，解得：‎ ‎，因为，所以或或．因为幂函数为偶函数，所以是偶数，当时，，不符合，舍去；当时，；当时，，不符合，舍去．所以，故．‎ 考点：1、幂函数的性质；2、函数值．‎ ‎15.已知奇函数是定义在上的减函数,若，则实数的取值范围为___________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知中奇函数是定义在上的减函数,我们可以将不等式,转化为一个关于m的不等式组,解不等式组,即可得到实数m的取值范围.‎ ‎【详解】因为奇函数是定义在上的减函数, 所以不等式可转化为: 解得: 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查的知识点是奇偶性与单调性的综合应用,其中根据函数的性质将不等式转化为关于m的一次不等式组,是解答的关键,但本题易忽略定义域,而错角为.‎ ‎16.设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f（x+1）＝f（x﹣1），已知当x∈[0，1]时，f（x）＝（）1﹣x，则 ‎①2是函数f（x）的一个周期；‎ ‎②函数f（x）在（1，2）上减函数，在（2，3）上是增函数；‎ ‎③函数f（x）的最大值是1，最小值是0；‎ ‎④x＝1是函数f（x）的一个对称轴；‎ ‎⑤当x∈（3，4）时，f（x）＝（）x﹣3.‎ 其中所有正确命题的序号是_____.‎ ‎【答案】①②④⑤‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎①根据f（x+1）＝f（x﹣1），变形为f（x+2）＝f（x），再利用周期的定义判断.②易知，当x∈[0，1]时，f（x）＝（）1﹣x，是增函数，再利用周期性和奇偶性转化判断.③根据②的结论判断.④根据②的结论判断.⑤设x∈（3，4）时，则有4﹣x＝（0，1），再利用周期性和奇偶性再求解.‎ ‎【详解】∵f（x+1）＝f（x﹣1），∴f（x+2）＝f[（x+1）+1]＝f[（x+1）﹣1]＝f（x），即2是函数f（x）的一个周期，故①正确；‎ 当x∈[0，1]时，f（x）＝（）1﹣x为增函数，因为函数f（x）是定义在R上的偶函数，所以当x∈[﹣1，0]时，f（x）为减函数，‎ 再由函数的周期为2，可得（1，2）上是减函数，在（2，3）上是增函数，故②正确；‎ 由②得：当x＝2k，k∈Z时，函数取最小值，当x＝2k+1，k∈Z时，函数取最大值1，故③错误；‎ 由②和函数是偶函数得x＝k，k∈Z均为函数图象的对称轴，故④正确；‎ 设x∈（3，4），则4﹣x∈（0，1），所以f（4﹣x）＝f（﹣x）＝f（x）＝（）1﹣（4﹣x）＝（）x﹣3，故⑤正确 故答案为：①②④⑤‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数的基本性质，还考查了数形结合，转化化归的思想和理解辨析的能力，属于中档题.‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.‎ 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17.已知cos（θ），求的值 ‎【答案】8‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用诱导公式化简求解.‎ ‎【详解】∵cos（θ）＝﹣sinθ，‎ ‎∴sinθ，‎ ‎，‎ ‎=，‎ ‎8.‎ ‎【点睛】本题主要考查了诱导公式和基本关系化简求值，还考查了运算求解的能力，属于中档题.‎ ‎18.已知命题p：“∀x∈[1，2]， x2－lnx－a≥‎0”‎与命题q：“∃x∈R，x2＋2ax－8－‎6a＝‎0”‎都是真命题，求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】 (－∞，－4]∪[－2，]‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，命题p，利用恒成立问题方法转化，求出a的取值范围；‎ 命题q，由一元二次方程的根的情况分析可得a的取值范围，根据p、q都是真命题，将两次求出的a的范围求交集即可.‎ ‎【详解】命题p：a≤x2－lnx在x∈[1，2]上恒成立，令f(x)＝x2－lnx，f ′(x)＝x-＝‎ ‎ ，‎ 当10，∴f(x)min＝f(1)＝.∴a≤. 即：当a≤时，p是真命题.，‎ 命题q：Δ＝‎4a2－4(－8－‎6a)≥0，∴a≥－2或a≤－4.即当 a≥－2或a≤－4时，q是真命题， ‎ 综上，a的取值范围为(－∞，－4]∪[－2，]．‎ ‎【点睛】以命题的真假为依据求参数的取值范围时，首先要对两个简单命题化简，判断每个简单命题为真(假)时，参数的取值范围，再根据题意，求解集的交、并、补即可.‎ ‎19.已知曲线f（x）＝alnx+bx+1在点（1，f（1））处的切线斜率为﹣2，且是函数y＝f（x）的极值点，求a﹣b的值 ‎【答案】10‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求导，根据曲线在点（1，f（1））处的切线斜率为﹣2，有f′（1）＝a+b＝﹣2，又x是y＝f（x）的极值点，得到f′（）a+b＝0，两式联立求解.‎ ‎【详解】∵f（x）＝alnx+bx+1，‎ ‎∴f′（x）b，‎ ‎∵曲线f（x）＝alnx+bx+1在点（1，f（1））处的切线斜率为﹣2，‎ ‎∴f′（1）＝a+b＝﹣2，①‎ ‎∵x是y＝f（x）的极值点，‎ ‎∴f′（）a+b＝0，②‎ 由①②，解得a＝4，b＝﹣6，‎ ‎∴a﹣b＝4+6＝10，‎ a﹣b值为：10.‎ ‎【点睛】本题主要考查了导数的几何意义和极值点的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.‎ ‎20.设函数，‎ ‎（1）求函数f（x）在x∈[﹣1，2]上的最大值和最小值；‎ ‎（2）若对于任意x∈[﹣1，2]都有f（x）＜m成立，求实数m的取值范围.‎ ‎【答案】（1）最大值为7，最小值为；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）函数求导得＝3x2﹣x﹣2＝（3x+2）（x﹣1），（x∈R），易知在区间（﹣1，），（1，2）上，＞0，在区间（，1）上，＜0，从而求得函数的极值，再计算给定区间的端点函数值，其中最大的为最大值；最小的为最小值.‎ ‎（2）对于任意x∈[﹣1，2]都有f（x）＜m成立，只需要f（x）max＜m即可.‎ ‎【详解】（1）f′（x）＝3x2﹣x﹣2＝（3x+2）（x﹣1），（x∈R），‎ 因为在区间（﹣1，），（1，2）上，＞0，‎ 所以f（x）单调递增，‎ 因为在区间（，1）上，＜0，‎ 所以f（x）单调递减，‎ 所以f（x）极大值＝f（），f（x）极小值＝f（1），‎ 又因为f（﹣1），f（2）＝7，‎ 所以f（x）在x∈[﹣1，2]上的最大值为7，最小值为.‎ ‎（2）若对于任意x∈[﹣1，2]都有f（x）＜m成立，‎ 则只需要f（x）max＜m即可，‎ 由（1）知，f（x）在x∈[﹣1，2]上的最大值为7，‎ 所以m＞7.‎ ‎【点睛】本题主要考查了导数与函娄的极值，最值及其应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.‎ ‎21.已知函数的一段图像如图所示.‎ ‎（1）求此函数的解析式；‎ ‎（2）求此函数在上的单调递增区间.‎ ‎【答案】（1）；（2）和.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据三角函数的图象求出A，ω，φ，即可确定函数的解析式；‎ ‎（2）根据函数的表达式，即可求函数f（x）的单调递增区间；‎ ‎【详解】（1）由函数的图象可知A，，‎ ‎∴周期T＝16，‎ ‎∵T16，‎ ‎∴ω，‎ ‎∴y＝2sin（x+φ），‎ ‎∵函数的图象经过（2，﹣2），‎ ‎∴φ＝2kπ，‎ 即φ，‎ 又|φ|＜π，‎ ‎∴φ；‎ ‎∴函数的解析式为：y＝2sin（x）．‎ ‎（2）由已知得，‎ 得16k+2≤x≤16k+10，‎ 即函数的单调递增区间为[16k+2，16k+10]，k∈Z．‎ 当k＝﹣1时，为[﹣14，﹣6]，‎ 当k＝0时，为[2，10]，‎ ‎∵x∈（﹣2π，2π），‎ ‎∴函数在（﹣2π，2π）上的递增区间为（﹣2π，﹣6）和[2，2π）．‎ ‎【点睛】本题主要考查三角函数解析式的求法，根据三角函数的图象是解决本题的关键，要求熟练掌握三角函数的图象和性质．‎ ‎22.已知函数．‎ ‎（Ⅰ）当时，求函数的极值；‎ ‎（Ⅱ）时，讨论的单调性；‎ ‎（Ⅲ）若对任意的恒有成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ）函数的极小值为，无极大值；（Ⅱ）当时，函数的在定义域单调递增；当时，在区间，上单调递减，在区间上单调递增；当时，在区间，上单调递减，在区间，上单调递增．‎ ‎（Ⅲ）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）函数的定义域为， 当时，函数，利用导函数求出函数的单调性，即可求出函数的极值；‎ ‎（2）由，所以，‎ 令，得，，对、、分类讨论，求出的单调性；‎ ‎（3）若对任意的恒有成立，等价于当，对任意的，恒有成立，由（Ⅱ）知，，所以上式化为对任意的，恒有成立，即，因为，所以，所以．‎ 试题解析：（1）函数的定义域为．，令，‎ 得；（舍去）．‎ 当变化时，的取值情况如下：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎— ‎ ‎0 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 减 ‎ 极小值 ‎ 增 ‎ 所以，函数的极小值为，无极大值．‎ ‎（2），令，得，，‎ 当时，，函数的在定义域单调递减；‎ 当时，在区间，，上，单调递减，‎ 在区间，上，单调递增；‎ 当时，在区间，，上，单调递减，‎ 在区间，上，单调递增．‎ ‎（3）由（2）知当时，函数在区间单调递减；所以，当时，，‎ 问题等价于：对任意的，恒有成立，即，因为a<0，，所以，实数的取值范围是．‎ 考点：导函数的应用．‎