广东省华附、省实、深中、广雅2020届高三下学期四校联考数学（理）试题 Word版含解析

广东省华附、省实、深中、广雅2020届高三下学期四校联考数学（理）试题 Word版含解析

www.ks5u.com 华附、省实、深中、广雅2020届高三年级四校联考数学（理科）‎ 一、选择题 ‎1.集合，，则（ ）‎ A. B. Ü C. Ü D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析】‎ 首先求出集合M、N中的元素，由集合的包含关系即可求解.‎ ‎【详解】，‎ ‎，‎ 可表示全体整数，表示全体奇数，‎ Ü，‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查了集合与集合之间关系，解题的关键是确定集合中的元素，属于基础题.‎ ‎2.原命题为“若互为共轭复数，则”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（ ）‎ A. 真，假，真 B. 假，假，真 C. 真，真，假 D. 假，假，假 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：设复数，则，所以，故原命题为真；逆命题：若，则互为共轭复数；如，，且，但此时不互为共轭复，故逆命题为假；否命题：若不互为共轭复数，则 - 25 -‎ ‎；如，，此时不互为共轭复，但，故否命题为假；原命题和逆否命题的真假相同，所以逆否命题为真；故选B.‎ 考点：命题以及命题的真假.‎ ‎3.已知平面向量,是非零向量,||=2,⊥(+2),则向量在向量方向上的投影为(　　)‎ A. 1 B. -1 C. 2 D. -2‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据向量垂直得到(+2),=0，化简得到=﹣2，再根据投影的定义即可求出．‎ ‎【详解】∵平面向量,是非零向量,||=2,⊥(+2),‎ ‎∴(+2),=0，‎ 即 ‎ 即=﹣2‎ ‎∴向量在向量方向上的投影为=﹣1，‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题主要考查向量投影的定义及求解的方法，公式与定义两者要灵活运用．解答关键在于要求熟练应用公式．‎ ‎4.平面∥平面的一个充分条件是（ ）‎ A. 存在一条直线，∥，∥‎ B. 存在一条直线，⊂，∥‎ C. 存在两条平行直线，，⊂，⊂，∥，∥‎ D. 存在两条异面直线，，⊂，⊂，∥，∥‎ ‎【答案】D - 25 -‎ ‎【解析】‎ 试题分析：对于A，一条直线与两个平面都平行，两个平面不一定平行．故A不对；‎ 对于B，一个平面中的一条直线平行于另一个平面，两个平面不一定平行，故B不对；‎ 对于C，两个平面中的两条直线平行，不能保证两个平面平行，故C不对；‎ 对于D，两个平面中的两条互相异面的直线分别平行于另一个平面，可以保证两个平面平行，故D正确 考点：空间线面平行的判定与性质 ‎5.函数零点个数是 （ ）‎ A. 5 B. 4 C. 3 D. 2‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【详解】‎ 令=0，可得，‎ 在同一平面直角坐标系内，画出y=的图象，‎ 由图可得交点个数为3，‎ 所以函数零点的个数是3，‎ 故选C．‎ ‎6.已知函数（，为常数，，）在处取得最大值，则函数是（ ）‎ A. 奇函数且它的图象关于点对称 B. 偶函数且它的图象关于点对称 - 25 -‎ C. 奇函数且它的图象关于对称 D. 偶函数且它的图象关于对称 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先根据已知可得，然后根据正弦函数的图像与性质得到 ‎，再化简函数，从而求解问题.‎ ‎【详解】，在处取得最大值，‎ ‎，‎ 则，，‎ ‎，‎ 奇函数且它的图象关于点对称.‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查了辅助角公式以及三角函数的图像与性质，需熟记三角函数的性质，属于基础题.‎ ‎7.已知函数的图象连续且在上单调，又函数的图象关于轴对称，若数列是公差不为0的等差数列，且，则的前2019项之和为（ ）‎ A. 0 B. 2019 C. 4038 D. 4040‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由函数的图象关于轴对称，平移可得的图像关于对称，由题意可得，利用等差数列的性质和求和公式，计算即可得到所求的和.‎ - 25 -‎ ‎【详解】函数的图象关于轴对称，且函数的图象连续且在上单调，‎ 可得的图像关于对称，‎ 由数列是公差不为0的等差数列，且，‎ 可得，又是等差数列，‎ 可得，‎ 所以的前2019项之和为 ‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查了函数的平移变换、等差数列的性质以及等差数列的前项和，需熟记公式与性质，属于基础题.‎ ‎8.函数在上的单调减区间为（ ）‎ A. 和 B. 和 C. 和 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用二倍角公式将函数化，进而可得 ‎，根据，利用复合函数的单调性即可求解.‎ ‎【详解】，‎ 令 ，由，则 ‎ - 25 -‎ 所以，在上单调递增，在单调递减 又在上单调递减，在上单调递增，此时，‎ 利用复合函数的单调性可得函数在上单调递减；‎ 在上单调递减，在上单调递增，此时，‎ 利用复合函数的单调性可得函数在上单调递减；‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查了三角函数的性质以及复合函数的单调性，需熟记正弦三角函数的性质以及复合函数的单调性“同增异减”的特征，此题属于中档题.‎ ‎9.函数f(x)＝的值域为(　　)‎ A. [－,] B. [－,0]‎ C. [0,1] D. [0,]‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 令，则的几何意义是单位圆(在轴及其上方)上的动点与点连线的斜率，由图象，得，即函数的值域为[0,1]，故选C.‎ - 25 -‎ 点睛：本题考查利用三角代换、直线的斜率公式求函数的值域，解决本题的关键有两个，一是利用的形式和平方关系联想到三角代换，二是由的形式联想到过两点的直线的斜率公式，充分体现了代数、三角函数、解析几何间的有机结合.‎ ‎10.已知圆，点，内接于圆，且，当，在圆上运动时，中点的轨迹方程是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将圆周角为定值转化为圆心角为定值，结合圆心距构成的直角三角形得，从而得中点的轨迹方程.‎ ‎【详解】‎ 设中点为，‎ 圆心角等于圆周角的一半，，‎ ‎，‎ 在直角三角形中，由，‎ 故中点的轨迹方程是：，‎ 如图，由的极限位置可得，.‎ - 25 -‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查了动点的轨迹方程问题，考查了数形结合的思想，属于基础题.‎ ‎11.是双曲线的右焦点，过点向的一条渐近线引垂线，垂足为，交另一条渐近线于点，若，则的离心率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：由题意得，因此，选A.‎ 考点：双曲线离心率 ‎【名师点睛】求双曲线的离心率（取值范围）的策略 求双曲线离心率是一个热点问题．若求离心率的值，需根据条件转化为关于a，b，c的方程求解，若求离心率的取值范围，需转化为关于a，b，c的不等式求解，正确把握c2＝a2＋b2的应用及e＞1是求解的关键．‎ ‎12. 若正四面体SABC的面ABC内有一动点P到平面SAB、平面SBC、平面SCA的距离依次成等差数列，则点P在平面ABC内的轨迹是 A. 一条线段 B. 一个点 C. 一段圆弧 D. 抛物线的一段 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：设点到三个面的距离分别是.‎ 因为正三棱锥的体积为定值，所以为定值，‎ 因为.成等差数列，‎ 所以.‎ - 25 -‎ ‎∴为定值，‎ 所以点的轨迹是平行的线段．‎ 考点：等差数列的性质；抛物线的定义．‎ 点评：本题以等差数列为载体，考查正三棱锥中的轨迹问题，关键是分析得出P到侧面SBC的距离为定值．‎ 二、填空题 ‎13.在区间上分别任取两个数，，若向量，，则满足的概率是______ .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知向量的坐标求出满足的所满足的条件，结合，数形结合得出答案.‎ ‎【详解】由，，得 ‎ 由，得，‎ 即，满足，‎ 作出图像如图：‎ 圆的面积为，正方形的面积为.‎ 则的概率是 .‎ - 25 -‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了几何概型的概率求法，解题的关键是变量满足的条件，属于基础题.‎ ‎14.已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由等差数列的性质，，结合等差数列的前项和公式得到，在中取即可得出答案.‎ ‎【详解】数列、为等差数列，且前项和分别为和，‎ 则，且，‎ 又，，‎ 所以.‎ 故答案为： ‎ ‎【点睛】本题考查了等差数列的性质、等差数列的前项和公式，需熟记公式，属于基础题.‎ ‎15.已知随机变量，，若，，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ - 25 -‎ ‎∵随机变量服从，∴，解得：.‎ 又，∴‎ 故答案为0.1‎ ‎16.在锐角中，角，，所对的边分别为，，，，当取最大值时，角的值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用正弦定理以及二倍角公式将化为，再由两角和与差的公式将式子化为，由此可得，代入的展开式，利用基本不等式即可求解.‎ ‎【详解】由，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 即，‎ ‎ ，由三角形为锐角三角形，‎ 所以，‎ 当且仅当，即，取等号 - 25 -‎ ‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了正弦定理边化角、两角和与差的公式、二倍角公式以及基本不等式，需熟记公式，综合性比较强，属于中档题.‎ 三、解答题 ‎17.已知数列满足：，.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若数列满足：，求数列的通项公式.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）由可化为，令，推出，根据的特征即可求出.‎ ‎（Ⅱ）根据题意可得，与原式作差再由（Ⅰ）即可求解.‎ ‎【详解】（Ⅰ）由可化为.‎ 令，则，即.‎ 因为，所以，‎ 所以，‎ 即，故.‎ ‎（Ⅱ）由，‎ 可知，‎ 两式作差得，‎ 即.‎ 又当时，也满足上式，‎ - 25 -‎ 故.‎ ‎【点睛】本题考查了由递推关系式求通项公式以及与的关系，属于中档题.‎ ‎18.某鲜花店根据以往某品种鲜花的销售记录，绘制出日销售量的频率分布直方图，如图所示．将日销售量落入各组区间的频率视为概率，且假设每天的销售量相互独立．‎ ‎（1）求在未来的连续4天中，有2天的日销售量低于100枝且另外2天不低于150枝的概率；‎ ‎（2）用表示在未来4天里日销售量不低于100枝的天数，求随机变量的分布列和数学期望．‎ ‎【答案】（1）∴;（2）见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：根据频率分布直方图求频率要注意小条形的面积代表频率，有2天日销售量低于100枝，另外2天不低于150枝为事件的概率，可根据4天中有2天发生的概率公式计算，根据二项分布列出频率分布列，计算数学期望.‎ 试题解析：（1）设日销量为，有2天日销售量低于100枝，另外2天不低于150枝为事件．则，，‎ ‎∴．‎ ‎（2）日销售量不低于100枝的概率，则，于是，‎ 则分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ - 25 -‎ ‎∴．‎ ‎【点睛】频率分布直方图、茎叶图、线性回归、独立性检验是高考需要掌握的统计知识，概率分布问题注意一些常用的概率分布，如二项分布，超几何分布等，会计算概率，正确列出分布列，正确计算数学期望及方差.‎ ‎19.如图，是圆的直径，点是圆上异于，的点，直线平面，，分别是，的中点.‎ ‎（Ⅰ）记平面与平面的交线为，试判断直线与平面的位置关系，并加以证明；‎ ‎（Ⅱ）设，求二面角大小的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）平面，证明见解析；（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）证出平面，由线面平行的性质定理可证出，再由线面平行的判定定理即可求解.‎ ‎（Ⅱ）法一：证出是二面角的平面角，，根据的范围即可求解. ‎ 法二：以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量与平面的法向量，利用向量的数量积即可求解.‎ ‎【详解】（Ⅰ）证明如下：‎ - 25 -‎ ‎∵，平面，平面，‎ ‎∴平面.‎ 又平面，平面与平面的交线为，‎ ‎∴.‎ 而平面，平面，‎ ‎∴平面.‎ ‎（Ⅱ）解法一：设直线与圆的另一个交点为，连结，.‎ 由（Ⅰ）知，，而，∴.‎ ‎∵平面，∴.‎ 而，∴平面，‎ 又∵平面，∴，‎ ‎∴是二面角的平面角.‎ ‎.‎ 注意到，∴，∴.‎ ‎∵，∴，‎ 即二面角的取值范围是.‎ 解法二：由题意，，以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，‎ - 25 -‎ 设，，则，，，‎ ‎，.‎ 设平面的法向量为，‎ 则由得，取得.‎ 易知平面的法向量，‎ 设二面角的大小为，易知为锐角，‎ ‎，‎ ‎∴，‎ 即二面角的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查了线面平行的性质定理、判定定理以及求面面角、空间向量法求面面角，考查了学生的空间想象能力以及推理能力，属于中档题.‎ ‎20.已知椭圆：的离心率为，过左焦点的直线与椭圆交于，两点，且线段的中点为.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设为上一个动点，过点与椭圆只有一个公共点的直线为，过点与垂直的直线为，求证：与的交点在定直线上，并求出该定直线的方程.‎ - 25 -‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析，，‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）设，，根据点，都在椭圆上，代入椭圆方程两式相减，根据“设而不求”的思想，结合离心率以及中点坐标公式、直线的斜率建立等式即可求解.‎ ‎（Ⅱ）设，由对称性，设，由，得椭圆上半部分的方程为，从而求出直线的方程，再由过点与垂直的直线为，求出，两方程联立，消去，即可求解.‎ ‎【详解】（Ⅰ）由题可知，直线的斜率存在.‎ 设，，由于点，都在椭圆上，‎ 所以①，②，‎ ‎①-②，化简得③‎ 又因为离心率为，所以.‎ 又因为直线过焦点，线段的中点为，‎ 所以，，，‎ 代入③式，得，解得.‎ 再结合，解得，，‎ 故所求椭圆的方程为.‎ - 25 -‎ ‎（Ⅱ）证明：设，由对称性，设，由，得椭圆上半部分的方程为，，‎ 又过点且与椭圆只有一个公共点，所以，‎ 所以：，④‎ 因为过点且与垂直，所以：，⑤‎ 联立④⑤，消去，得，‎ 又，所以，从而可得，‎ 所以与的交点在定直线上.‎ ‎【点睛】本题考查了椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系，考查了圆锥曲线中“设而不求”的思想，考查了学生的计算能力，属于中档题.‎ ‎21.已知函数，.‎ ‎（Ⅰ）求函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）当时，都有成立，求的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）试问过点可作多少条直线与曲线相切？并说明理由.‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）见解析，理由见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）首先求出函数的定义域和导函数，根据导函数分类讨论的取值范围；当时，当时，分析的正负即可求解. ‎ - 25 -‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）中的导函数讨论是否在区间内，利用函数的单调性求出函数的最值，使即可解不等式即可. ‎ ‎（Ⅲ）法一：设切点为，求出切线方程，从而可得，令，讨论的取值范围，分析函数的的单调性以及在上的零点即可求解； ‎ 法二：设切点为，求出切线方程，从而可得，分离参数可得，令，讨论的单调性求出函数的值域，根据值域确定的范围即可求解.‎ ‎【详解】（Ⅰ）函数的定义域为，.‎ ‎（1）当时，恒成立，函数在上单调递增；‎ ‎（2）当时，令，得.‎ 当时，，函数为减函数；‎ 当时，，函数为增函数.‎ 综上所述，当时，函数的单调递增区间为.‎ 当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，‎ ‎（1）当时，即时，函数在区间上为增函数，‎ 所以在区间上，，显然函数在区间上恒大于零；‎ ‎（2）当时，即时，函数在上为减函数，在上为增函数，‎ 所以.‎ - 25 -‎ 依题意有，解得，所以.‎ ‎（3）当时，即时，在区间上为减函数，‎ 所以.‎ 依题意有，解得，所以.‎ 综上所述，当时，函数在区间上恒大于零.‎ 另解：当时，显然恒成立.‎ 当时，恒成立恒成立的最大值.‎ 令，则，易知在上单调递增，‎ 所以最大值为，此时应有.‎ 综上，的取值范围是.‎ ‎（Ⅲ）设切点为，则切线斜率，‎ 切线方程为.‎ 因为切线过点，则.‎ 即.①‎ 令，则.‎ ‎（1）当时，在区间上，，单调递增；‎ 在区间上，，单调递减，‎ 所以函数的最大值为.‎ 故方程无解，即不存在满足①式.‎ 因此当时，切线的条数为0.‎ - 25 -‎ ‎（2）当时，在区间上，，单调递减，在区间上，，单调递增，‎ 所以函数的最小值为.‎ 取，则.‎ 故在上存在唯一零点.‎ 取，则.‎ 设，，则.‎ 当时，恒成立.‎ 所以在单调递增，恒成立.‎ 所以.‎ 故在上存在唯一零点.‎ 因此当时，过点存在两条切线.‎ ‎（3）当时，，显然不存在过点的切线.‎ 综上所述，当时，过点存在两条切线；‎ 当时，不存在过点的切线.‎ 另解：设切点为，则切线斜率，‎ 切线方程为.‎ 因为切线过点，则，‎ - 25 -‎ 即.‎ 当时，无解 当时，，‎ 令，则，‎ 易知当时，；当时，，‎ 所以在上单调递减，在上单调递增.‎ 又，且，‎ 故当时有两条切线，当时无切线，‎ 即当时有两条切线，当时无切线.‎ 综上所述，时有两条切线，时无切线.‎ ‎【点睛】本题考查了导数在研究函数单调性性的应用以及函数的零点，综合性较强，属于难题.‎ ‎22.已知直线的参数方程为（为参数，），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，射线，分别与曲线交于三点（不包括极点）.‎ ‎(Ⅰ)求证：；‎ ‎(Ⅱ)当时，若两点在直线上，求与的值.‎ ‎【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ).‎ ‎【解析】‎ 试题分析：‎ ‎(Ⅰ)由曲线C的极坐标方程可得点的极径，即得到 - 25 -‎ ‎，计算后即可证得结论正确．(Ⅱ)根据可求得点B,C的极坐标，转化为直角坐标后可得直线BC的直角坐标方程，结合方程可得与的值．‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）证明：依题意，，，， ‎ 则． ‎ ‎ （Ⅱ）当时，两点的极坐标分别为，， ‎ 故两点的直角坐标为，. ‎ 所以经过点的直线方程为， ‎ 又直线经过点，倾斜角为，‎ 故，．‎ ‎23.已知函数.‎ ‎(Ⅰ)若，求实数的取值范围；‎ ‎(Ⅱ)若不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).‎ ‎【解析】‎ 试题分析：‎ ‎（Ⅰ）由可得，根据分类讨论法解不等式组即可．（Ⅱ）根据绝对值的几何意义求得的最小值为，由可得实数的取值范围．‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）由可得，， ‎ ‎①当时，不等式化为，解得，‎ - 25 -‎ ‎∴； ‎ ‎ ② 当时，不等式化为，解得，‎ ‎∴； ‎ ‎③ 当时，不等式化为，解得，‎ ‎∴. ‎ 综上实数的取值范围是． ‎ ‎（Ⅱ）由及绝对值的几何意义可得，‎ 当时，取得最小值．‎ ‎∵不等式恒成立， ‎ ‎∴，即，‎ 解得或．‎ ‎∴ 实数的取值范围是.‎ - 25 -‎ - 25 -‎