黑龙江省大庆市2020届高三第一次教学质量检测数学（理）试题

黑龙江省大庆市2020届高三第一次教学质量检测数学（理）试题

大庆市高三年级第一次教学质量检测理科数学 第I卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题8分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ‎1.设集合，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出集合后可求.‎ ‎【详解】，故，‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题考查集合的运算交，属于基础题.‎ ‎2.已知 (为虚数单位)，则复数的共轭复数等于（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由复数的运算法则，化简复数，再根据共轭复数的概念，即可求解，得到答案．‎ ‎【详解】由题意，复数满足，即，‎ 所以复数的共轭复数等于，故选A．‎ ‎【点睛】本题主要考查了复数的运算法则，以及共轭复数的概念的应用，其中解答中熟记复数的运算法则，准确求解复数是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．‎ ‎3.已知,且，则（ ）‎ A. 4 B. 3 C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用向量共线的坐标形式可求，求出的坐标后可求.‎ ‎【详解】因为，故，所以，‎ 故，故.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】如果，那么：（1）若，则；（2）若，则.‎ ‎4.《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今共织九十尺，问织几日？”其中“日减功迟”的具体含义是每天比前一天少织同样多的布，则每天比前一天少织布的尺数为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将问题转化为等差数列问题，通过，，，构造方程组解出公差，从而得到结果.‎ ‎【详解】设每天所织布的尺数为，则数列为等差数列 设公差为 由题意可知：，，‎ 则，解得：‎ 即每天比前一天少织尺的布 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查等差数列通项公式、求和公式的应用，关键是能够将问题转化为等差数列基本量求解的问题.‎ ‎5.设抛物线的焦点在直线上，则该抛物线的准线方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由抛物线焦点在上，求得，进而得到抛物线的准线方程，得到答案.‎ ‎【详解】由题意，抛物线的焦点，又由焦点在上，‎ 解得，所以抛物线的准线方程为，故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程及其简单的几何性质的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎6.若直线和曲线相切，则实数的值为（ ）‎ A. B. 1 C. 2 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析】‎ 设切点为，求出函数在处的导数后可得切线的斜率，从而可用表示切点的横坐标，最后根据切点在切线上得到关于的方程，解该方程后可得实数的值.‎ ‎【详解】设切点为，因为，故切线的斜率，‎ 所以，所以，因为，故，‎ 故选B.‎ ‎【点睛】解决曲线的切线问题，核心是切点的横坐标，因为函数在横坐标处的导数就是切线的斜率，本题为基础题．‎ ‎7.某公司安排甲、乙、丙3人到两个城市出差，每人只去1个城市，且每个城市必须有人去，则城市恰好只有甲去的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出基本事件的总数和随机事件中含有的基本事件的个数，利用公式可求概率.‎ ‎【详解】设事件为“城市恰好只有甲去”，则基本事件的总数为，‎ 事件中含有基本事件的总数为1，所以.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】古典概型的概率的计算，关键是基本事件的总数和随机事件中基本事件的个数的计算，计算时应利用排列组合的方法来考虑，此类问题为基础题.‎ ‎8.已知函数为偶函数，将图象上所有点横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得的图象对应的函数为，若最小正周期为，且，则（ ）‎ A. -2 B. 2 C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意根据三角函数的图象的对称性求出φ，由周期求出ω，由三角函数的值求出A，可得函数的解析式，从而求得．‎ ‎【详解】∵为偶函数，故，所以，‎ 整理得到，‎ 所以对任意的恒成立，所以，即.‎ 因为，故.所以，‎ 将y＝f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为.‎ 因为最小正周期为，则有＝2π，∴ω＝2，g（x）＝Acos x，f（x）＝Acos2x．‎ 且，故，解得，所以，所以.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题主要考查函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，函数y＝Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，属于基础题．‎ ‎9.设，是两条不同直线，，是两个不同平面，则下列命题错误的是( )‎ A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用线面垂直的性质定理及相关的推论考查所给的选项是否正确即可.‎ ‎【详解】逐一考查所给的选项：‎ 由线面垂直的性质定理推论可知：若，，则，选项A正确；‎ 由线面垂直的性质定理推论可知：若，，则，选项B正确；‎ 由线面垂直的性质定理推论可知：若，，则平面内存在直线，满足，则，然后利用面面垂直的判定定理可得，选项C正确；‎ 在如图所示的正方体中，取平面分别为平面，直线为棱，‎ 满足，，但是不满足，选项D错误；‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题主要考查线面垂直的性质定理及其推论，线面关系命题的判定，属于中等题.‎ ‎10.已知直三棱柱的所有棱长都相等，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 如图，取的中点，连接，可以证明是异面直线与所成角，利用余弦定理可求其余弦值.‎ ‎【详解】‎ 如图，取的中点，连接，‎ 在中，因为为中点，所以，‎ 由直三棱柱可得，故，‎ 所以或其补角是异面直线与所成角.‎ 因为三棱柱是直棱柱，所以平面，‎ 因为平面，故，故为直角三角形，‎ 同理为直角三角形.‎ 设，则，‎ 在中，有，同理，又,‎ 故.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】求异面直线所成的角，一般需要平移空间直线后将空间角转化为平面角来处理，后者可以利用平面几何的相关知识方法或利用解三角形的方法求平面角的大小或角的余弦值.‎ ‎11.设函数是定义在实数集上的奇函数，在区间上是增函数，且，则有（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得，，再利用函数在区间上是增函数可得答案.‎ ‎【详解】解：为奇函数，，‎ 又 ‎，，‎ 又，且函数在区间上是增函数，‎ ‎，‎ ‎，‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题考查利用函数的单调性、奇偶性比较函数值的大小，考查利用知识解决问题的能力.‎ ‎12.已知双曲线的左、右焦点分别为，若双曲线的左支上存在一点，使得与双曲线的一条渐近线垂直于点，且，则此双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用与双曲线的一条渐近线垂直于点可求出的坐标，再利用求出的坐标（用表示），将的坐标代入双曲线的方程后可求离心率.‎ ‎【详解】‎ 双曲线的渐近线为，取一条渐近线为，‎ 则直线，‎ 由得 ，故.‎ 因为，故，从而，‎ 所以 ，将的坐标代入双曲线的方程可以得到：‎ ‎，化简可得，所以，‎ 故选D.‎ ‎【点睛】圆锥曲线中的离心率的计算，关键是利用题设条件构建关于的一个等式关系．而离心率的取值范围，则需要利用坐标的范围、几何量的范围或点的位置关系构建关于的不等式或不等式组．‎ 第II卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 ‎13.若实数，满足不等式组，则的最大值为____________.‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意首先画出不等式组表示平面区域，然后结合目标函数的几何意义求解其最大值即可.‎ ‎【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，‎ 结合目标函数的几何意义可知目标函数在点C处取得最大值，‎ 联立直线方程：，可得点的坐标为：，‎ 据此可知目标函数的最大值为：.‎ 故答案为：5．‎ ‎【点睛】求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.‎ ‎14.若函数，且，则的值为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出，再根据、分类讨论并求出相应的，根据可求实数的值.‎ ‎【详解】，‎ 若，则，令，故；‎ 若，则，故无解，‎ 综上，.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】分段函数的处理方法有两种：（1）分段处理，因为在不同的范围上有不同的解析式，故可考虑在不同范围上对应的方程、不等式等；（2）数形结合，即画出分段的函数的图像，从而考虑与分段函数相关的不等式问题、方程的解等问题.‎ ‎15.若，则__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先逆用两角和的正弦得到，令，则的值即为的值，利用二倍角的余弦值可求此值.‎ ‎【详解】由可以得到，‎ 所以，设，则 则，‎ 所以.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】三角函数的中的化简求值问题，我们往往从次数的差异、函数名的差异、结构的差异和角的差异去分析，处理次数差异的方法是升幂降幂法，解决函数名差异的方法是弦切互化，而结构上差异的处理则是已知公式的逆用等，最后角的差异的处理则往往是用已知的角去表示未知的角.‎ ‎16.已知为自然对数的底数，若对任意的，总存在唯一的，使得成立，则实数的取值范围是___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令，，.利用导数可求前者的值域和后者的单调性，最后根据方程的解的唯一性得到实数的取值范围.‎ ‎【详解】令，，.‎ 当时，，故在为增函数，‎ 故在上的值域为.‎ 又当时，，当时，，‎ 所以在上减函数，在上为增函数.‎ 令，因为对任意的，总存在唯一的，使得成立，‎ 故对直线与函数的图象有且只要一个公共点，‎ 而，且在上为减函数，在上为增函数，‎ 故，所以，即.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题以多元方程解的性质为载体，考查导数在函数性质研究中的应用，在解决问题的过程中，注意把解的个数合理地转化为动直线与函数图象的位置关系，此类问题为难题.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.已知各项均为正数的数列的前项和满足.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用把递推关系转化为，再利用等差数列的通项公式可求的通项；‎ ‎（2）利用等比数列的求和公式可求的前项和.‎ ‎【详解】（1）当时，，‎ 当时，，‎ ‎∴，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴是以为首项，为公差的等差数列，‎ ‎∴.‎ ‎（2）由（1）的，则，‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】数列的通项与前项和 的关系式，我们常利用这个关系式实现与之间的相互转化.‎ ‎ 而数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列或等比数列的通项，则用公式直接求和；如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法.‎ ‎18.微信作为一款社交软件已经在支付、理财、交通、运动等各方面给人们的生活带来各种各样的便利.手机微信中的“微信运动”，不仅可以看自己每天的运动步数，还可以看到朋友圈里好友的步数.先生朋友圈里有大量好友使用了“微信运动”这项功能，他随机选取了其中40名，记录了他们某一天的走路步数，统计数据如下表所示：‎ 步数 ‎ ‎ 性别 男 ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎1‎ 女 ‎3‎ ‎5‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎5‎ ‎2‎ ‎（1）以样本估计总体，视样本频率为概率，在先生的微信朋友圈里的男性好友中任意选取3名，其中走路步数不低于6000步的有名，求的分布列和数学期望；‎ ‎（2）如果某人一天的走路步数不低于8000步，此人将被“微信运动”评定为“运动达人”，否则为“运动懒人”.根据题意完成下面的2×2列联表，并据此判断能否有90%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关？‎ 运动达人 运动懒人 总计 男 女 总计 附：，其中 ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.01‎ ‎0.005‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎【答案】（1）分布列见解析，；（2）没有.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用二项分布可求的分布列和数学期望.‎ ‎（2）根据题设中的数据可得列联表，再由公式可计算得到的观察值，最后根据临界值表可得没有90%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关.‎ ‎【详解】（1）在先生的男性好友中任意选取1名，其中走路步数不低于6000的概率为，可能取值分别为0，1，2，3，‎ ‎∴，，‎ ‎，，‎ 的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 则，‎ ‎（也可写成），∴.‎ ‎（2）完成2×2列联表 运动达人 运动懒人 总计 男 ‎4‎ ‎16‎ ‎20‎ 女 ‎7‎ ‎13‎ ‎20‎ 总计 ‎11‎ ‎29‎ ‎40‎ ‎∴的观测值，‎ ‎∴据此判断没有90%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关.‎ ‎【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望和独立性检验，计算分布列时要弄清随机变量取某值时对应的随机事件的含义并确定合理的概率计算方法.必要时可借助于常见的分布列来帮助计算（如0-1分布、二项分布、超几何分布等），而独立性检验一般地依据给定的列联表计算的观察值，再结合临界值表得到是否有把握认定结论.‎ ‎19.如图，在四棱锥中，，，，为等边三角形，且平面平面，为中点.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求二面角的正弦值.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）可证平面，从而得到要证的线面垂直；‎ ‎（2）过点作的垂线，交于点，连结，可证二面角的平面角为，利用余弦定理可求其余弦值后可得其正弦值.我们也可以建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面的法向量和平面的法向量后可求它们的夹角的余弦值，从而得到二面角的正弦值.‎ ‎【详解】（1）证明：因为，，‎ 所以，‎ 又∵平面平面，且平面平面，平面，‎ ‎∴平面，又∵平面，∴ 所以，‎ ‎∵为中点，且为等边三角形，∴，又∵，‎ ‎∴平面.‎ ‎（2）【法一】过点作的垂线，交于点，连结，‎ 取中点为，连接.‎ 因为为等边三角形，所以，‎ 由平面平面，平面，平面平面，‎ 所以平面， ‎ 平面，所以，由条件知，‎ 又，所以平面，‎ 又平面，所以，‎ 又，所以，‎ 所以，‎ 由二面角的定义知，二面角的平面角为，‎ 在中，，‎ 由，所以，‎ 同理可得，‎ 又，在中，‎ ‎，‎ 所以，二面角的正弦值为.‎ ‎【法二】取中点为，连接，因为为等边三角形，所以，‎ 由平面平面，平面，平面平面，‎ 所以平面，‎ 所以，由，，‎ 可知，所以，‎ 以中点为坐标原点，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 所以，，‎ 所以，‎ 由（1）知，可以为平面的法向量，‎ 因为为的中点，‎ 所以，‎ 由（1）知，平面的一个法向量为，‎ 设平面的法向量为，‎ 由得，‎ 取，则，‎ 所以，‎ 所以二面角的正弦值为.‎ ‎【点睛】线面垂直的判定可由线线垂直得到，注意线线是相交的，也可由面面垂直得到，注意线在面内且线垂直于两个平面的交线.而面面垂直的证明可以通过线面垂直得到，也可以通过证明二面角是直二面角得到. 空间中的角的计算，可以建立空间直角坐标系把角的计算归结为向量的夹角的计算，也可以构建空间角，把角的计算归结平面图形中的角的计算.‎ ‎20.椭圆的右焦点为，且短轴长为，离心率为.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）设点为椭圆与轴正半轴的交点，是否存在直线，使得交椭圆于两点，且恰是的垂心？若存在，求的方程；若不存在，说明理由.‎ ‎【答案】（1）；（2）存在，.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据短轴长和离心率可求，从而得到椭圆的标准方程；‎ ‎（2）假设存在直线，则其斜率为，设的方程为，，由为垂心可得，联立直线方程和椭圆方程，消去后利用韦达定理可得关于的方程，解该方程后可得所求的直线方程.‎ ‎【详解】（1）设椭圆的方程为，则由题意知，所以.‎ ‎，解得，所以椭圆的方程为.‎ ‎（2）由（1）知，的方程为，所以，‎ 所以直线的斜率，假设存在直线，使得是的垂心，则.‎ 设的斜率为，则，所以.‎ 设的方程为,.‎ 由，得，‎ 由，得，‎ ‎.‎ 因为，所以，因为，‎ 所以，‎ 即，‎ 整理得，‎ 所以，‎ 整理得，解得或，‎ 当时，直线过点，不能构成三角形，舍去；‎ 当时，满足，‎ 所以存在直线，使得是的垂心，的方程为.‎ ‎【点睛】求椭圆的标准方程，关键是基本量的确定，方法有待定系数法、定义法等. 直线与圆锥曲线的位置关系中的几何量的计算问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于或的一元二次方程，再把题设中的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有或，最后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程，从而可得欲求的几何量的值.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎（1）当时，求函数在处的切线方程；‎ ‎（2）若函数的两个零点分别为，且，求证：.‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出函数在处的导数，求出切点坐标后可得切线的方程.‎ ‎（2）利用可得，因此只需证明即即可，令，构建新函数 可证该不等式成立.‎ ‎【详解】（1）当时，，‎ ‎，‎ 则，切点为，‎ 故函数在处的切线方程为.‎ ‎（2）证明：∵是的两个零点，不妨设，‎ ‎∴，即，，‎ ‎∴，，‎ 相减得： ‎ 故，‎ 整理得到，‎ 则，‎ ‎∴即，‎ 令，即证，也就是，‎ 令，，‎ 在上是增函数，‎ 又∵，∴，，命题得证.‎ ‎【点睛】解决曲线的切线问题，核心是切点的横坐标，因为函数在横坐标处的导数就是切线的斜率.与函数零点有关的不等式的证明，可利用零点满足的等式将要求证的不等式进行转化，再构造新函数，利用导数讨论新函数的性质可证明新转化的不等式是成立的.‎ 请考生在第22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分选修4-4：坐标系与参数方程 ‎22.在平面直角坐标系中，圆的方程为，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，若直线与曲线相切。‎ ‎（Ⅰ）求实数的值；‎ ‎（Ⅱ）在圆上取两点，使得，点与直角坐标原点构成，求面积的最大值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）将极坐标方程化为普通方程，利用圆心到直线的距离等于半径得到答案.‎ ‎（Ⅱ）将圆方程化为极坐标方程，，，，计算得到答案.‎ ‎【详解】（Ⅰ）由得，化为直角坐标方程为，‎ 又圆C是圆心为，半径为r的圆，直线与曲线C相切，‎ 可得：． ‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）圆C的极坐标方程为，‎ 不妨设，，‎ 则 ‎，‎ 当时，，‎ 所以面积的最大值为．‎ ‎【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程，面积的最大值，利用极坐标方程可以简化运算.‎ 选修4-5：不等式选讲 ‎23.设函数.‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若不等式的解集为实数集，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用零点分段讨论可求不等式的解；‎ ‎（2）利用分段讨论化简函数并画出其图象，再根据可得的值和的范围.‎ ‎【详解】（1）‎ 由，则.‎ ‎（2），‎ 的图象如图所示：‎ 由的解集为实数集，可得，，‎ 即.‎ ‎【点睛】解绝对值不等式的基本方法有公式法、零点分段讨论法、图象法、平方法等，利用公式法时注意不等号的方向，利用零点分段讨论法时注意分类点的合理选择，利用平方去掉绝对值符号时注意代数式的正负，而利用图像法求解时注意图像的正确刻画.‎ ‎ ‎