【数学】2018届一轮复习人教A版 命题及其关系、充分条件与必要条件 学案

【数学】2018届一轮复习人教A版 命题及其关系、充分条件与必要条件 学案

第2讲　命题及其关系、充分条件与必要条件 最新考纲　1.理解命题的概念，了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系；2.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义，能判断并证明命题成立的充分条件、必要条件、充要条件.‎ 知 识 梳 理 ‎1.命题 用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题.‎ ‎2.四种命题及其相互关系 ‎(1)四种命题间的相互关系 ‎(2)四种命题的真假关系 ‎①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性.‎ ‎②两个命题为互逆命题或互否命题时，它们的真假性没有关系.‎ ‎3.充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p⇒q且qp p是q的必要不充分条件 pq且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 pq且qp 诊 断 自 测 ‎1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)‎ ‎(1)“x2＋2x－3<0”是命题.(　　)‎ ‎(2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”.(　　)‎ ‎(3)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件.(　　)‎ ‎(4)“若p不成立，则q不成立”等价于“若q成立，则p成立”.(　　)‎ 解析　(1)错误.该语句不能判断真假，故该说法是错误的.‎ ‎(2)错误.否命题既否定条件，又否定结论.‎ 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√‎ ‎2.(选修2－1P6练习改编)命题“若α＝，则tan α＝1”的逆否命题是(　　)‎ A.若α≠，则tan α≠1 B.若α＝，则tan α≠1‎ C.若tan α≠1，则α≠ D.若tan α≠1，则α＝ 解析　命题“若p，则q”的逆否命题是“若綈q，则綈p”，显然綈q：tan α≠1，綈p：α≠，所以该命题的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠”.‎ 答案　C ‎3.(2016·天津卷)设x>0，y∈R，则“x>y”是“x>|y|”的(　　)‎ A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 解析　x>yx>|y|(如x＝1，y＝－2).‎ 但x>|y|时，能有x>y.‎ ‎∴“x>y”是“x>|y|”的必要不充分条件.‎ 答案　C ‎4.命题“若a>－3，则a>－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为(　　)‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ 解析　原命题正确，从而其逆否命题也正确；其逆命题为“若a>－6，则a>－3”是假命题，从而其否命题也是假命题.因此四个命题中有2个假命题.‎ 答案　B ‎5.(2017·舟山双基检测)已知函数f(x)的定义域为R，则命题p：“函数f(x)为偶函数”是命题q：“∃x0∈R，f(x0)＝f(－x0)”的(　　)‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析　若f(x)为偶函数，则有f(x)＝f(－x)，所以p⇒q；若f(x)＝x，当x＝0时，f(0)＝f(－0)，而f(x)＝x为奇函数，所以qp.‎ ‎∴“命题p”是“命题q”的充分不必要条件.‎ 答案　A ‎6.(2017·温州调研)已知命题p：“若a2＝b2，则a＝b”，则命题p的否命题为________，该否命题是一个________命题(填“真”，“假”).‎ 解析　由否命题的定义可知命题p的否命题为“若a2≠b2，则a≠b”.由于命题p的逆命题“若a＝b，则a2＝b2”是一个真命题，∴否命题是一个真命题.‎ 答案　“若a2≠b2，则a≠b”　真 考点一　四种命题的关系及其真假判断 ‎【例1】 (1)命题“若x2－3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题及其真假性为(　　)‎ A.“若x＝4，则x2－3x－4＝0”为真命题 B.“若x≠4，则x2－3x－4≠0”为真命题 C.“若x≠4，则x2－3x－4≠0”为假命题 D.“若x＝4，则x2－3x－4＝0”为假命题 ‎(2)原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是(　　)‎ A.真、假、真 B.假、假、真 C.真、真、假 D.假、假、假 解析　(1)根据逆否命题的定义可以排除A，D；由x2－3x－4＝0，得x＝4或－1，所以原命题为假命题，所以其逆否命题也是假命题.‎ ‎(2)由共轭复数的性质，|z1|＝|z2|，∴原命题为真，因此其逆否命题为真；取z1＝1，z2＝i，满足|z1|＝|z2|，但是z1，z2不互为共轭复数，∴其逆命题为假，故其否命题也为假.‎ 答案　(1)C　(2)B 规律方法　(1)由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，如果命题不是“若p，则q”的形式，应先改写成“若p，则q”的形式；如果命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提不变.‎ ‎(2)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题为假命题，只需举出反例.‎ ‎(3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假.‎ ‎【训练1】 已知：命题“若函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”，则下列结论正确的是(　　)‎ A.否命题是“若函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是减函数，则m＞1”，是真命题 B.逆命题是“若m≤1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数”，是假命题 C.逆否命题是“若m＞1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是减函数”，是真命题 D.逆否命题是“若m＞1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上不是增函数”，是真命题 解析　由f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数，则f′(x)＝ex－m≥0恒成立，∴m≤1.‎ 因此原命题是真命题，所以其逆否命题“若m＞1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上不是增函数”是真命题.‎ 答案　D 考点二　充分条件与必要条件的判定 ‎【例2】 (1)函数f(x)在x＝x0处导数存在.若p：f′(x0)＝0；q：x＝x0是f(x)的极值点，则(　　)‎ A.p是q的充分必要条件 B.p是q的充分条件，但不是q的必要条件 C.p是q的必要条件，但不是q的充分条件 D.p既不是q的充分要件，也不是q的必要条件 ‎(2)(2017·衡阳一模)“a＝1”是“直线ax＋y＋1＝0与直线(a＋2)x－3y－2＝0垂直”的(　　)‎ A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 解析　(1)由极值的定义，q⇒p，但q.例如f(x)＝x3，在x＝0处f′(0)＝0，f(x)＝x3是增函数，x＝0不是函数f(x)＝x3的极值点.‎ 因此p是q的必要不充分条件.‎ ‎(2)直线ax＋y＋1＝0与直线(a＋2)x－3y－2＝0垂直的充要条件为a(a＋2)＋1×(－3)＝0，解得a＝1或－3，故“a＝1”是“直线ax＋y＋1＝0与直线(a＋2)x－3y－2＝0垂直”的充分不必要条件.‎ 答案　(1)C　(2)B 规律方法　充要条件的三种判断方法 ‎(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断.‎ ‎(2)集合法：根据使p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断.‎ ‎(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断.这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的何种条件，即可转化为判断“x＝1且y＝1”是“xy＝1”的何种条件.‎ ‎【训练2】 (2016·山东卷)已知直线a，b分别在两个不同的平面α ，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的(　　)‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析　由题意知a⊂α，b⊂β，若a，b相交，则a，b有公共点，从而α，β有公共点，可得出α，β相交；反之，若α，β相交，则a，b的位置关系可能为平行、相交或异面.‎ 因此“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件.‎ 答案　A 考点三　充分条件、必要条件的应用(典例迁移)‎ ‎【例3】 (经典母题)已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}.若x∈P是x∈S的必要条件，求m的取值范围.‎ 解　由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，‎ ‎∴P＝{x|－2≤x≤10}.‎ ‎∵x∈P是x∈S的必要条件，‎ 则S⊆P.‎ ‎∴解得m≤3.‎ 又∵S为非空集合，‎ ‎∴1－m≤1＋m，解得m≥0，‎ 综上，可知0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件.‎ ‎【迁移探究1】 本例条件不变，问是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件？‎ 解　由例题知P＝{x|－2≤x≤10}.‎ 若x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S，‎ ‎∴∴ 这样的m不存在.‎ ‎【迁移探究2】 本例条件不变，若綈P是綈S的必要不充分条件，求实数m的取值范围.‎ 解　由例题知P＝{x|－2≤x≤10}.‎ ‎∵綈P是綈S的必要不充分条件，∴P是S的充分不必要条件，‎ ‎∴P⇒S且SP.‎ ‎∴[－2，10][1－m，1＋m].‎ ‎∴或 ‎∴m≥9，则m的取值范围是[9，＋∞).‎ 规律方法　充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意：‎ ‎(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解；‎ ‎(2)要注意区间端点值的检验.‎ ‎【训练3】 ax2＋2x＋1＝0只有负实根的充要条件是________.‎ 解析　当a＝0时，原方程为一元一次方程2x＋1＝0，有一个负实根x＝－.‎ 当a≠0时，原方程为一元二次方程，‎ 又ax2＋2x＋1＝0只有负实根，‎ 所以有即0＜a≤1.‎ 综上，方程只有负根的充要条件是0≤a≤1.‎ 答案　0≤a≤1‎ ‎[思想方法]‎ ‎1.写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写；在判断原命题、逆命题、否命题以及逆否命题的真假时，要借助原命题与其逆否命题同真或同假，逆命题与否命题同真或同假来判定.‎ ‎2.充要条件的几种判断方法 ‎(1)定义法：直接判断若p则q、若q则p的真假.‎ ‎(2)等价法：即利用A⇒B与綈B⇒綈A；B⇒A与綈A⇒綈B；A⇔B与綈B⇔綈A的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法.‎ ‎(3)利用集合间的包含关系判断：设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}；若A⊆B，则p是q的充分条件或q是p的必要条件；若AB，则p是q的充分不必要条件，若A＝B，则p是q的充要条件.‎ ‎[易错防范]‎ ‎1.当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，必须保留大前提.‎ ‎2.判断命题的真假及写四种命题时，一定要明确命题的结构，可以先把命题改写成“若p，则q”的形式.‎ ‎3.判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向，正确理解“p的一个充分而不必要条件是q”等语言.‎ ‎ ‎