天津市南开中学2020届高三数学第六次月考试题（Word版附答案）

天津市南开中学2020届高三数学第六次月考试题（Word版附答案）

南开中学高考模拟考试 数学试题 一、选择题（共 9 小题；共 45 分） 1. 设 集 合 ， ， ， 则 A. B. C. D. 2. 设 ，则“ ”是“ ”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 若 ，则 A. B. C. D. 4. 设函数 则 A. B. C. D. 5. 函数 的部分图象如图所示，则 的单调递减区间为 A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 已知等比数列 的首项为 ，若 ， ， 成等差数列，则数列 的前 项和为 A. B. C. D. 7. 从 名大学毕业生中选 人担任村长助理，则甲、乙至少有 人入选，而丙没有入选的不同选 法的种数为 A. B. C. D. 8. 已知双曲线 的一条渐近线过点 ，且双曲线的一个焦点在 抛物线 的准线上，则双曲线的方程为 A. B. C. D. 9. 定 义 域 为 的 函 数 满 足 ， 当 时 ， 若 时， 恒成立，则实数 的 取值范围是 A. B. C. D. 二、填空题（共 6 小题；共 30 分） 10. 是虚数单位，若复数 是纯虚数，则实数 的值为 ． 11. 在 的展开式中， 的系数为 ． 12. 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若球的体积为 ，则正方体的棱长为 ． 13. 某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲 公司面试的概率为 ，得到乙、丙两公司面试的概率均为 ，且三个公司是否让其面试是相互独 立的．记 为该毕业生得到面试的公司个数．若 ，则随机变量 的数学期 望 ． 14. 已知 ， 为正实数，则 的最大值为 ． 15. 在 中，已知 ， ， ， 为线段 上 的点，且 ，则 的最小值为 . 三、解答题（共 5 小题；共 75 分） 16. 在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ．已知 的面积为 ， ， ． （1）求 和 的值； （2）求 的值． 17. 如图，在四棱锥 中，底面 是直角梯形， ， ，又 ， ， ， ． （1）求证： ； （2）求 与平面 所成角的余弦值； （3）求二面角 的余弦值． 18. 已知数列 是首项为正数的等差数列，数列 的前 项和为 ． （1）求 ，并求出数列 的通项公式； （2）设 ，求数列 的前 项和 ． 19. 已知椭圆 ： 的右焦点为 ，且经过点 ． （1）求椭圆 的方程； （2）设 为原点，直线 ： 与椭圆 交于两个不同点 ， ，直线 与 轴交于点 ，直线 与 轴交于点 ，若 ，求证：直线 经过定点． 20. 已知函数 ， ， ． （1）当 时，求函数 单调区间； （2）若曲线 点 处的切线 与曲线 切于点 ，求 ， ， 的值； （3）若 恒成立，求 的最大值． 模拟考答案 数学 第一部分 1. D 【解析】因为 ， 所以 ． 2. A 3. C 4. C 5. D 【解析】由图可知 最小正周期为 ；又可推得图中 的一个最低点为 ，一个最高点为 ，所以 的单调递减区间为 ， ． 6. A 【解析】由题意 ， 所以 ， 所以 ． 因为 为等比数列， 所以 也为等比数列， 且 ， ， 所以 ． 7. C 8. D 【解析】提示： ， ， ，联立可求． 9. A 【解析】令 ，则 ， 所以 又 ，所以 ， 所以 因此 在 的值域为 ， 所以令 解得 ． 第二部分 10. 【解析】由 为纯虚数， 得 解得： ． 11. 【解析】 ，由 ，得 ， ，所以 的系数为 ． 12. 13. 【解析】 ． ． 所以 所以 14. 【解析】 ，令 ，则 其中等号当且仅当 ，即 时成立，所以 的最大值为 ． 15. 【解析】依题意得： 解得 ， ， ， ，所以 为 ，所以 ． 以 为原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴建立直角坐标系，则由题目条件得点 ，且满足 ． ，且点 到直线 的距离为 ，则最小 值为 ． 第三部分 16. （1） 在 中， ，可得 ． 由 ，得 ． 又由 ，解得 ， ． 由 ，可得 ． 由 ，得 ． （2） 17. （1） 在 中， ， ， ∴ ， ∴ ，即 ． ∵ ， ， ∴ ． （2） 方法一： 如图，连接 ，由（1）知 ， ∴ 为 在平面 内的射影， ∴ 为 与平面 所成的角． 在 中， ， ， ∴ ． 在 中， ， ， ， ∴ ， ∴ 与平面 所成角的大小为 ． 方法二： 连接 ，由（1）知 ， ∴ 为 在平面 内的射影， ∴ 为 与平面 所成的角． 如图，以 为原点， 、 、 分别为 、 、 轴，建立空间直角坐标系 ，则 ， ， ， ， ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ 与平面 所成角的大小为 ． （3） 方法一： 由（1）知 ，又 ， ， ∴ ． 如图，过 作 于 ，连接 ． ∴ 是 在平面 内的射影， ∴ ， ∴ 为二面角 的平面角． 在 中， ， ， ， ∴ ， 又 ， ∴ ， ∴ ． 在 中， ， ， ， ∴ ， ∴二面角 的大小为 ． 方法二： 过 作 于 ，连接 ，设 ，则 ， ， ． ∵ ， ∴ ∵ 共线， ∴ 由①、②，解得 ， ， ， ∴ 点的坐标为 ， ， ， ∵ ， ∴ ， 又 ， ∴ 为二面角 的平面角． ∵ ， ， ∴ ， ∴二面角 的大小为 ． 18. （1） 设数列 的公差为 ， 令 ，得 ，所以 令 ，得 ，所以 由 得 解得 ， ，所以 ，所以 ． （2） 由（ ）知， ， ， ． 两式相减，得 所以 ． 19. （1） 由题意得， ， ． 所以 ． 所以椭圆 的方程为 ． （2） 设 ， ， 则直线 的方程为 ． 令 ，得点 的横坐标 ． 又 ，从而 ． 同理， ． 由 得 ． 则 ， ． 所以 又 ， 所以 ． 解得 ，所以直线 经过定点 ． 20. （1） ，则 ， 令 ，得 ， 所以 在 上单调递增． 令 ，得 ， 所以 在 上单调递减． （2） 因为 ， 所以 ， 所以 的方程为 ． 依题意， ， ． 于是 与抛物线 切于点 ， 由 得 ． 所以 ， ， ． （3） 设 ，则 恒成立． 易得 ． （ ）当 时， 因为 ， 所以此时 在 上单调递增． ①若 ，则当 时满足条件，此时 ； ②若 ，取 且 ， 此时 ， 所以 不恒成立，不满足条件； （ ）当 时， 令 ，得 ．由 ，得 ； 由 ，得 ． 所以 在 上单调递减，在 上单调递增． 要使得“ 恒成立”，必须有“当 时， ”成立． 所以 ． 则 ． 令 ， ，则 ． 令 ，得 ．由 ，得 ； 由 ，得 ． 所以 在 上单调递增，在 上单调递减， 所以，当 时， ． 从而，当 ， 时， 的最大值为 ． 综上， 的最大值为 ．