甘肃省2020届高三数学（文）第二次诊断试题（Word版附解析）

甘肃省2020届高三数学（文）第二次诊断试题（Word版附解析）

2020年甘肃省第二次高考诊断考试 文科数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答 案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共 12小题，每小题 5分，共 60分．在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知集合  1 2A x x    ，  1,1B   ，则 A B  （ ） A.  1,1 B.  0,1 C.  1,0,1 D.  1 1x x   【答案】A 【解析】 【分析】 根据集合交集的运算即可得解. 【详解】集合  1 2A x x    ，  1,1B   ， 根据集合交集运算可知  1,1A B   ， 故选：A. 【点睛】本题考查了集合交集的简单运算，属于基础题. 2.若 (1 )(1 )iz i i   ，则 z =（ ） A. 2i B. 0 C. i D. 2i 【答案】D 【解析】 【分析】 利用复数的除法运算，化简即可得解. 【详解】 (1 )(1 )iz i i   ， 则由复数除法运算可得 (1 )(1 )i iz i    2 2i i    ， 故选：D. 【点睛】本题考查了复数的除法运算，属于基础题. 3.已知向量 (1, 1) ( 2,3)a b      ， ，则 a b    （ ） A. 5 B. 1 C. 5 D. 25 【答案】C 【解析】 【分析】 利用向量的坐标运算，可得 a b   ，再由模的运算即可得解. 【详解】向量 (1, 1) ( 2,3)a b      ， ， 则  (1, 1) ( 2,3) 3, 4a b         ， 则  223 4 5a b       ， 故选：C. 【点睛】本题考查了向量的坐标运算，向量模的求法，属于基础题. 4.定义在 R上的奇函数 ( )f x ，当 0x  时， ( ) lgf x x ，则函数 ( )f x 的零点个数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】 根据奇函数定义可得零点 0x  ，结合函数单调性及函数零点定义可得函数 ( )f x 的其他零点， 即可得解. 【详解】由奇函数定义可知，当定义域为 R时， (0) 0f  ， 当 0x  时， ( ) lgf x x ，由 ( ) lgf x x 单调递增且 (1) lg1 0f   可知当 0x  时有 1个零 点， 根据奇函数性质可知，当 0x  时也为单调递增，且 ( 1) (1) 0f f    ， 综上可知， ( )f x 有 3个零点，分别为 0， 1 ，1. 故选：B. 【点睛】本题考查了奇函数意义，函数零点的意义及求法，属于基础题. 5.命题“ 2[0, ), 2020cos 0x x x     ”的否定为（ ） A. 2 0 0 0[0, ), 2020cos 0x x x     B. 2 0 0 0[0, ), 2020cos 0x x x     C. 2 0 0 0[0, ), 2020cos 0x x x     D. 2 0 0 0[0, ), 2020cos 0x x x     【答案】A 【解析】 【分析】 根据全称量词命题的否定即可得解. 【详解】根据全称量词命题的否定可知， “ 2[0, ), 2020cos 0x x x     ”的否定为 2 0 0 0[0, ), 2020cos 0x x x     ， 故选：A. 【点睛】本题考查了含有量词命题的否定，属于基础题. 6.2020年冬奥会申办成功，让中国冰雪项目迎来了新的发展机会，“十四冬”作为北京冬奥会前 重要的练兵场，对冰雪运动产生了不可忽视的带动作用．某校对冰雪体育社团中甲、乙两人 的滑轮、雪合战、雪地足球、冰尜（ga）、爬犁速降及俯卧式爬犁 6个冬季体育运动项目进行 了指标测试（指标值满分为 5分，分高者为优），根据测试情况绘制了如图所示的指标雷达图．则 下面叙述正确的是（ ） A. 甲的轮滑指标高于他的雪地足球指标 B. 乙的雪地足球指标低于甲的冰尜指标 C. 甲的爬犁速降指标高于乙的爬犁速降指标 D. 乙的俯卧式爬犁指标低于甲的雪合战指标 【答案】C 【解析】 【分析】 根据指标雷达图，分别判断各选项即可. 【详解】由指标雷达图可知： 对于 A，甲的轮滑指标为 4，雪地足球指标为 4，所以 A错误； 对于 B，乙的雪地足球指标为 4，甲的冰尜指标 3，所以 B错误； 对于 C，甲的爬犁速降指标为 5，乙的爬犁速降指标为 4，所以 C正确； 对于 D，乙的俯卧式爬犁指标为 5，甲的雪合战指标为 5，所以 D错误； 综上可知，正确的为 C， 故选：C. 【点睛】本题考查了读图分析能力，统计图表的简单应用，属于基础题. 7.记 nS 为等差数列 na 的前 n项和，若 2 4 410, 24a a S   ，则 1a 的值为（ ） A. 9 B. 1 C. 9 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】 根据等差数列通项公式及等差数列前 n项和公式，可得关于 1,a d 的方程组，进而解方程组可 得 1a 的值. 【详解】根据等差数列通项公式及前 n项和公式可得 2 4 1 1 4 1 3 10 4 34 24 2 a a a d a d S a d              ， 解方程组可得 1 9 2 a d     ， 故选：A. 【点睛】本题考查了等差数列通项公式及等差数列前 n项和公式的简单应用，属于基础题. 8.在棱长均相等的四面体OABC中， ,M N分别是棱 ,OA BC的中点，则异面直线MN与 AB 所成角的大小为（ ） A. 30° B. 45 C. 60 D. 90 【答案】B 【解析】 【分析】 取OB中点 P， AB 中点Q，连接 , , ,MP PN CQ OQ，则 PMN 为异面直线MN与 AB 所 成角，由线面垂直的判定定理可证明 AB 平面OCQ，因而可知 PM PN ，从而可得 MPN△ 为等腰直角三角形，即可得 PMN . 【详解】取OB中点 P， AB中点Q，连接 , , ,MP PN CQ OQ， 由中位线定理可知 / /MP AB , 则 PMN （或补角）为异面直线MN与 AB所成角， / / , / /MP AB PN OC， ,OQ AB CQ AB  且CQ OQ Q  ，所以 AB 平面OCQ， 则 AB OC ，所以 PM PN ， 四面体OABC棱长均相等，则 PM PN ， 所以 MPN△ 为等腰直角三角形， 所以 45PMN  ， 故选：B. 【点睛】本题考查了异面直线夹角的求法，线面垂直的判定，属于中档题. 9.兰州牛肉面是人们喜欢的快餐之一．现将体积为 31000cm 的面团经过第一次拉伸成长为 100cm的圆柱型面条，再经过第二次对折拉伸成长为2 100cm 的面条，……，则经过五次对 折拉伸之后面条的截面直径是（ ）（单位：cm．每次对折拉伸相等的长度，面条的粗细是 均匀的，拉面师傅拉完面后手中剩余面忽略不计） A. 102 31 B. 52 16 C. 102 31 D. 52 8 【答案】D 【解析】 【分析】 拉伸之后面条数列为等比数列，可得拉伸后面条的数量；由圆柱的体积公式，结合等体积法 即可求得拉伸后面条的截面半径，进而得拉伸后截面的直径. 【详解】经过五次对折拉伸之后面条的数量成等比数列， 因而可知经过五次对折拉伸之后面条的长度为 4 01002 160  ， 设拉伸五次后面条的截面半径为 r，由面团体积为 31000cm 可得 21600 1000r   ， 解得 5 8 r   ，所以直径为 52 8 d   ， 故选：D. 【点睛】本题考查了等比数列通项公式求法，圆柱体积公式及等体积法的应用，属于基础题. 10.已知 1F 、 2F 分别是双曲线 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a b a b     的左、右焦点， 1( 2,0)F  ，若双曲线 的左支上有一点 P，满足 1 2 2PF PF   ，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A. 3y x  B. 3 3 y x  C. 3y x  D. 1 3 y x  【答案】C 【解析】 【分析】 根据双曲线定义可得 a，由焦点坐标可知 c，进而由 2 2 2c a b  可求得b，即可得双曲线的 渐近线方程. 【详解】双曲线的左支上有一点 P，满足 1 2 2PF PF   ， 则由双曲线定义可得 1 2 2 2PF PF a   ，所以 1a  ， 由 1( 2,0)F  ，可知 2c  ， 根据双曲线中 2 2 2c a b  ，可得 3b  ， 所以渐近线方程为 3by x x a     ， 故选：C. 【点睛】本题考查了双曲线定义及几何性质的简单应用，渐近线方程的求法，属于基础题. 11.定义在R上的函数 ( )y f x 在 ( ,1] 上单调递减，且 ( 1)f x  是偶函数，则使 (2 1) (3)f x f  成立的 x的取值范围是（ ） A. (1, ) B. ( , 0) (2, )  C. (0,1) D. ( ,0) 【答案】B 【解析】 【分析】 根据 ( 1)f x  是偶函数，结合函数图像平移变换可知 ( )y f x 关于 1x  对称，再由函数 ( )y f x 在 ( ,1] 上单调递减可画出函数图像示意图，进而解不等式即可得解. 【详解】定义在R上的函数 ( )y f x 在 ( ,1] 上单调递减，且 ( 1)f x  是偶函数， 所以 ( )y f x 的图像关于 1x  对称，示意图如下图所示： 而    3 1f f  ，且 ( )y f x 在 1, 单调递增， 所以若 (2 1) (3)f x f  ，需满足 2 1 1x - < - 或 2 1 3x   ， 解得 0x  或 2x  ， 所以使 (2 1) (3)f x f  成立的 x的取值范围为 ( , 0) (2, )  ， 故选：B. 【点睛】本题考查了函数单调性与对称性的综合应用，由单调性解不等式，正确画出函数图 像示意图是解决此类问题常用方法，属于中档题. 12.在“家校连心，立德树人——重温爱国故事，弘扬爱国主义精神社会课堂”活动中，王老师 组建了一个微信群，群的成员由学生、家长、老师和讲解员共同组成.已知该微信群中男学生 人数多于女生人数，女学生人数多于家长人数，家长人数多于教师人数，教师人数多于讲解 员人数，讲解员人数的两倍多于男生人数.若把这 5类人群的人数作为一组数据，当该微信群 总人数取最小值时，这组数据的中位数是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】 设讲解员人数为 x，由题意可依次表示出教师人数、家长人数、女学生人数、男学生人数，结 合讲解员人数的两倍多于男生人数可确定讲解员人数的最小值，进而得各组人数，即可求得 中位数. 【详解】设讲解员人数为 x， 由题意教师人数多于讲解员人数，则教师人数 1x  ， 家长人数多于教师人数，则家长人数 2x  ， 女学生人数多于家长人数，则女学生人数 3x  ， 男学生人数多于女生人数，则男学生人数 4x  ， 而讲解员人数的两倍多于男生人数，则满足 2 4x x  ，解得 4x  ， 所以当该微信群总人数取最小值时 5x  ， 则各组人数分别为讲解员 5人，教师 6人，家长 7人，女学生 8人，男学生 9人， 所以中位数为 7. 故选：C. 【点睛】本题考查了不等式在实际问题中的应用，中位数的求法，正确理解题意是解决问题 的关键，属于中档题. 二、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分. 13.已知函数 2cosy x 定义域为[ , ] 3   ，值域为[ , ]a b ，则b a  ______． 【答案】3 【解析】 【分析】 根据定义域和值域，结合余弦函数的图像与性质即可求得 ,a b的值，进而得解. 【详解】因为 [ ] 3 ,x   ，由余弦函数的图像与性质可得 1cos [ 1, ] 2 x  ， 则  2cos 2,1y x   ， 由值域为[ , ]a b 可得 2, 1a b   ， 所以  1 2 3b a     ， 故答案为：3. 【点睛】本题考查了余弦函数图像与性质的简单应用，属于基础题. 14.数列 na 中，已知 1 11, 2nn na a a    ，则 6a  ______. 【答案】21 【解析】 【分析】 利用递推公式，即可得解. 【详解】数列 na 中， 1 11, 2nn na a a    ， 当 1n  时，代入可得 1 2 2a a  ，则 2 1a  ， 当 2n  时，代入可得 2 3 4 a a ，则 3 3a  ， 当 3n  时，代入可得 3 4 8a a  ，则 4 5a  ， 当 4n  时，代入可得 4 5 16a a  ，则 5 11a  ， 当 5n  时，代入可得 65 32a a  ，则 6 21a  ， 故答案为：21. 【点睛】本题考查了数列递推公式的简单应用，属于基础题. 15.已知曲线 4 sin cosy a x x  在点 (0, 1) 处的切线方程为 1y x  ，则 tan( ) 6 a    ______． 【答案】 2 3 【解析】 【分析】 根据导数的几何意义，即可求得 a的值，结合正切函数差角公式即可得解. 【详解】曲线 4 sin cosy a x x  ， 则 4 cos siny a x x   ， 曲线 4 sin cosy a x x  在点 (0, 1) 处的切线方程为 1y x  ， 所以当 0x  时，满足 4 1y a   ， 解得 1 4 a  ， 代入并由正切函数的差角公式可得 tan tan 4 6tan 4 6 1 tan tan 4 6               31 3 2 3 31 3      ， 故答案为： 2 3 . 【点睛】本题考查了导数的几何意义简单应用，正切函数差角公式的简单应用，属于基础题. 16.“哪里有数，哪里就有美”（普洛克拉斯语），数学中到处充满着美的因素，闪烁着美的光辉．优 美椭圆就是数学花园中绽放的美丽花朵之一，它的离心率为 5 1 2  ，所以也称为“黄金椭圆”， 若记黄金椭圆的左焦点为 F，右顶点为 A，上顶点为 B，则 FB AB    ______． 【答案】0 【解析】 【分析】 根据椭圆标准方程及几何性质，即可求得 ,a c关系，由 , ,F A B的坐标，可得 ,FB AB   ，进而 结合平面向量数量积的坐标运算得解. 【详解】设椭圆的标准方程为   2 2 2 2 1, 0x y a b a b     ， 则 5 1 2 c a   ，则 5 1 2 c a       ,0 , ,0 , 0,F c A a B b ， 所以    , , ,FB c b AB a b     ， 由平面向量数量积的坐标运算可得     2 2 2, ,FB AB c b a b ac b ac a c             2 2 25 1 5 1 0 2 2 aa a              ， 故答案为：0. 【点睛】本题考查了椭圆几何性质的简单应用，离心率公式的简单应用，平面向量数量积的 坐标运算，属于中档题. 三、解答题：共 70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21题 为必考题，每个试题考生都必须作答．第 22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题；共 60分． 17.已知 ABCD是矩形， 2AD AB E F ， ， 分别是线段 AB BC， 的中点， PA 平面 ABCD． （1）求证：DF 平面 PAF； （2）若在棱 PA上存在一点G，使得 / /EG 平面 PFD，求 AG AP 的值． 【答案】（1）详见解析；（2） 1 4 【解析】 试题分析：（1）通过证明DF AF DF PA ， ，然后再利用线面垂直的判定定理，即可证 明 DF  平面 PAF ；（ 2）过 E 作 / /EH FD 交 AD 于 H ，则 / /EH 平面 PFD ，且 1 4 AH AD ．再过 H 作 / /HG PD交 PA于G，所以 / /GH 平面 PFD，且 1 4 AG PA ， 所以平面 / /EHG 平面 PFD，进而满足题意． 试题解析：（1）在矩形 ABCD中，因为 2AD AB，点 F 是 BC的中点，所以 45AFB DFC   ． 所以 90AFD  ，即 AF DF ． 又 PA 平面 ABCD，所以 PA DF ，所以DF 平面 PAF． （2）过 E作 / /EH FD交 AD于H ， 则 / /EH 平面 PFD，且 1 4 AH AD ．再过H 作 / /HG PD交 PA于G， 所以 / /GH 平面 PFD，且 1 4 AG PA ．所以平面 / /EHG 平面 PFD， 所以 / /EG 平面 PFD，从而点G满足 1 4 AG AP  ． 考点：1．线面垂直的判定定理；2．面面平行的判定定理和性质定理． 18.在 ABC 中，角 A，B，C的对边分别为 , , ,a b c 且满足 (2 )cos cos 0a b C c B   ． （1）求角C； （2）若 ABC 的面积 8 3S ，其外接圆的半径 4 21 3 R  ，求 ABC 的周长． 【答案】（1） 2 3 C   （2）12 4 7 【解析】 【分析】 （1）根据正弦定理，将变化为角，结合正弦函数的和角公式即可得解. （2）根据外接圆半径及正弦定理可求得c，结合三角形面积公式可得 ab，代入余弦定理可得 a b，进而得 ABC 的周长． 【详解】（1）  2 cos cos 0a b C c B   ， 由正弦定理得 2sin cos sin cos cos sin 0A C B C B C   . 即  2sin cos sin sinA C B C A     ， 又sin 0A  ，故 1cos 2 C   ， 又0 C   ， 所以 2 3 C   （2）由 2 3 C   ， 4 21 3 R  及 2 sinc R C ， 可得 4 7c  ， 又 1 2 1 3sin 8 3 2 3 2 2 S ab ab     ，即 32ab  ， 由余弦定理 2 2 2 2 cosc a b ab C   ， 得  22 2 22 cos 4 7 3 a b ab     ， 即  22 2 112a b ab a b ab      ， 又 32ab  ，故 12a b  . 所以 12 4 7a b c    ， 即 ABC 的周长为12 4 7 . 【点睛】本题考查了正弦定理及余弦定理在解三角形中的应用，三角形面积公式的用法，属 于基础题. 19.某农科院为试验冬季昼夜温差对反季节大豆新品种发芽的影响，对温差与发芽率之间的关 系进行统计分析研究，记录了 6天昼夜温差与实验室中种子发芽数的数据如下： 日期 1月 1日 1月 2日 1月 3日 1月 4日 1月 5日 1月 6日 温差 x（摄氏度） 10 11 12 13 8 9 发芽数 y（粒） 26 27 30 32 21 24 他们确定的方案是先从这 6组数据中选出 2组，用剩下的 4组数据求回归方程，再用选取的 两组数据进行检验. （1）求选取的 2组数据恰好是相邻 2天数据的概率； （2）若由线性回归方程得到的估计数据与实际数据的误差不超过 1粒，则认为得到的线性回 归方程是可靠的.请根据 1月 2，3，4，5日的数据求出 y关于 x的线性回归方程（保留两位小 数），并检验此方程是否可靠. 参考公式： 1 1 22 2 1 1 ( )( ) ( ) ˆ n n i i i i i i n n i i i i x x y y x y nxy b x x x nx                ， ˆâ y bx  【答案】（1） 1 3 （2） 2.21 3.19y x  .可靠 【解析】 【分析】 （1）先求得从 6组数据中任选 2组数据的基本事件个数，再得相邻 2天数据事件个数，即可 得选取的 2组数据恰好是相邻 2天数据的概率； （2）根据所给数据，分别求得 x y，，代入公式可得 ˆ,b a，进而得回归直线方程；分别再代入 10x  ， 9x  检验即可判断. 【详解】（1）从 6组数据中任选 2组数据，共有 15个基本事件，       1.1,1.2 , 1.1,1.3 1.1,1.4 1.1,1.5 1.1,1.6 ，     1.2,1.3 1.2,1.4 1.2,1.5 1.2,1.6 ，    1.3,1.4 1.3,1.5 1.3,1.6 ，   1.4,1.5 1.4,1.6 ，  1.5,1.6 . 记这 2组数据恰好是相邻两天数据为事件 A， 则 A中有      1.1,1.2 1.2,1.3 1.3,1.4 1.4,1.5 1.5,1.6 ，共 5个基本事件， 故   5 1 15 3 P A   . （2）  1 11 13 12 8 11 4 x      ，  27 30 32 21 27.5 4 1y      ， 所以     11 27 12 30 13 32 8 21 4 11 27.5 1241 1210ˆ 2.21 121 169 144 64 4 121 498 484 b                     ˆ 27.5 2.21 11 3.19a     . 所求的回归方程为 2.21 3.19y x  . 当 10x  时， 25.29y  ， 25.29 26 1  ， 当 9x  时， 25.08y  ， 23.08 24 1  . 故此线性回归方程是可靠的. 【点睛】本题考查了古典概型概率的求法，线性回归方程的求法及简单应用，属于基础题. 20.已知圆 E与圆 2 2: ( 2) 1F x y   相外切，且与直线 1 0x   相切． （1）记圆心 E的轨迹为曲线G，求G的方程； （2）过点 (3,2)P 的两条直线 1 2,l l 与曲线G分别相交于点 ,A B和 ,C D，线段 AB和CD的中 点分别为 ,M N .如果直线 1l 与 2l 的斜率之积等于 1，求证：直线MN经过定点． 【答案】（1） 2 8y x （2）见解析 【解析】 【分析】 （1）根据抛物线定义可知圆心 E的轨迹为抛物线，进而可得其轨迹方程. （2）由题意可设直线 1l 的斜率为 k，则直线 2l 的斜率为 1 k ，表示出直线 AB的方程，联立直 线与抛物线方程即可求得交点M 的坐标，进而以 1 k 代替点M 坐标中的 k，可得点N 的坐标； 即可表示出直线MN的斜率及其方程，进而得所过定点的坐标. 【详解】（1）依题意 EF 等于 E到直线 2 0x   的距离， 故所求轨迹是以  2,0F 为焦点，以 2x   为准线的抛物线. 故其轨迹G的方程为 2 8y x . （2）依题意直线 1 2,l l 斜率都存在且均不为 0， 故设直线 1l 的斜率为 k，则直线 2l 的斜率为 1 k . 直线 AB的方程为  2 3y k x   ， 即为  3 2y k x   . 由   2 3 2 8 y k x y x       消去 x整理得 2 8 24 16 0ky y k    ， 所以 8 A By y k   ，点M 的坐标为 2 4 2 43, k k k       ， 以 1 k 代替点M 坐标中的 k，可得点 N 的坐标为  24 2 3,4k k k  ， 所以直线MN的斜率 2 2 2   1 14 1 14 2   2 1 MN k k k k k k k kk                          ， 所以直线MN的方程为  224 4 2 3 12 1 y k x k k k k             ， 即 1 1 1 2 k y x k         . 故MN经过定点  1,0 . 【点睛】本题考查了抛物线定义及方程的求法，直线与抛物线的位置关系及应用，直线过定 点的求法，属于中档题. 21.已知函数 2( ) [ (2 5) 8 5]( )xf x e x a x a a R      ． （1）当 1a  时，求函数 ( )f x 的极值； （2）当 [0, 2]x 时，若不等式 2( ) 2f x e 恒成立，求实数 a的取值范围． 【答案】（1）极大值为 2 7 e ，极小值为 33e .（2） 25 2, 8 e      【解析】 【分析】 （1）将 1a  代入解析式，求得  f x 并令   0f x  ，求得极值点；由导函数的符号，可判 断函数 ( )f x 的单调性，进而求得其极值. （2）根据解析式求得  f x ，并令   0f x  ，求得极值点；讨论 a的取值范围，即可由最 值及不等式求得符合题意的 a的取值范围． 【详解】（1）由 1a  得    2 3 3xf x e x x   ， 故        2 6 2 3x xf x e x x e x x       . 令   0f x  ，解得 2x   或 3x  ， 由   0f x  ，得 2x   或 3x  ， 所以  f x 在    , 2  和  3, 单调递增， 由   0f x  ，得 2 3x   ， 所以  f x 在  2,3 单调递减. 所以  f x 极大值为   2 72f e   ，极小值为   33 3f e  . （2）     2 3xf x e x a x    ，  0,2x ， 令     2 3 0xf x e x a x     ，得 1 2x a  ， 2  3x  ， （i）当 2 0a  ，即 0a  时，  f x 在  0,2 单调递减， 依题意则有     2 22 4 1 2f a e e    成立， 得 3 4 a   ，此时不成立； （ii）当0 2 2a   ，即   1 0a   时，  f x 在  0, 2a 上单调递增，在  2 ,2a 上单调递减， 依题意则有       2 2 2 0 8 5 2 , 2 4 1 2 , f a e f e a e           得 25 2 8 3 4 ea a        ，由于 25 2 1 8 e   ，故此时不成立； （iii）当 2 2a  ，即 1a   时，  f x 在  0,2 上单调递增， 依题意则有   20 2f e ，得 25 2 8 ea   综上， a的取值范围是 25 2, 8 e      . 【点睛】本题考查了导数与函数单调性和极值的关系，由导数求函数的单调性与最值，根据 不等式求参数的取值范围的应用，分类讨论思想的综合应用，属于难题. （二）选考题；共 10分．请考生在第 22、23题中选定一题作答．并用 2B铅笔在 答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑．按所涂题号进行评分，不涂、多涂均 按所答第一题评分；多答按所答第一题评分． 22.在平面直角坐标系 xOy中，直线 l的参数方程为 2 2 22 2 x a t y t        （ t为参数），以坐标原点O 为极点， x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 2 2cos 1 cos     ． （1）求直线 l和曲线C的直角坐标方程； （2）若点 P坐标为 ( , 2)a ，直线 l与曲线C交于 ,A B两点，且 4PA PB ，求实数 a的值． 【答案】（1） 2 0x y a    ，  2 2 0y x x  .（2） 42 25 或 26 9 . 【解析】 【分析】 （1）根据参数方程，消参后可得直线 l直角坐标方程；根据极坐标与直角坐标方程转化关系， 即可得曲线C的直角坐标方程； （2）将直线参数方程代入曲线C的直角坐标方程，并设 ,A B两点对应参数为 1t ， 2t ，即可由 韦达定理及 4PA PB 求得 a的值． 【详解】（1）直线 l的参数方程为 2 2 22 2 x a t y t        （ t为参数）， 直线 l直角坐标方程为 2 0x y a    ， 将 cos x   ， sin y   ，代入C即得， 曲线C的直角坐标方程为  2 2 0y x x  . （2）将 2 , 2 22 , 2 x a t y t        代入 2 2y x ，化简得 2 2 2 4 8 0t t a    ， 由判别式   得 3 2 a  ， 设 ,A B两点对应参数为 1t ， 2t ， 则 1 2 2 2t t   ， 1 2 8 4t t a  ， 依题意有 1 24t t ，即 1 24t t  ， 代入解得 42 25 a  或 26 9 a  ，均满足 3 2 a  ， 所以实数 a的值为 42 25 或 26 9 . 【点睛】本题考查了参数方程与普通方程、极坐标方程与直角坐标方程的转化，直线参数方 程的几何意义，由韦达定理求参数值，属于中档题. 23.已知函数 2 2( ) 4 4 4 4 1f x x x x x      （1）解不等式 ( ) (2)f x f ； （2）若关于 x的不等式 2 5( ) 2 f x t t  在[0,3]上无解，求实数 t的取值范围． 【答案】（1）{ | 0x x  或 2}x  .（2） 1 3 2 t t        【解析】 【分析】 （1）根据函数解析式，化简变形为绝对值形式，利用分类讨论法即可解不等式，求得解集. （2）根据不等式无解，结合绝对值不等式求得最小值，即可由恒成立问题求得 t的取值范围. 【详解】（1）函数      2 22 2 1 | 2 | | 2 1|f x x x x x        ， 不等式可化为 | 2 | | 2 1| 3x x    ， 即 1 2 3 3 3 x x       ， 1 2 2 1 3 x x        或 2 3 3 3 x x     ， 解得 0x  或 2x  . 所以不等式的解集为{ | 0x x  或 2}x  . （2）由于   13 3 , , 2 12 2 1 1, 2, 2 3 3, 2, x x f x x x x x x x                 当  0,3x 时，  min 3 2 f x  ， 不等式   2 5 2 f x t t  在 0,3 上无解， 则有  2 min 5 3 2 2 t t f x   ， 解得 1 3 2 t   . 故所求 t的取值范围为 1 3 2 t t        . 【点睛】本题考查了分类讨论解绝对值不等式，含参数绝对值不等式的解法，属于中档题.