2021届浙江新高考数学一轮复习教师用书：第四章 7 第7讲 正弦定理与余弦定理
第7讲 正弦定理与余弦定理
1．正弦定理和余弦定理
定理
正弦定理
余弦定理
内容
＝＝＝2R(R为△ABC外接圆半径)
a2＝b2＋c2－2bccos__A；
b2＝c2＋a2－2cacos__B；
c2＝a2＋b2－2abcos__C
变形形式
a＝2Rsin__A，b＝2Rsin__B，
c＝2Rsin__C；
sin A＝，sin B＝，
sin C＝；
a∶b∶c＝sin__A∶sin__B∶sin__C；
＝
cos A＝；
cos B＝；
cos C＝
2.三角形解的判断
A为锐角
A为钝角
或直角
图形
关系式
a＝bsin A
bsin A
b
解的
个数
一解
两解
一解
一解
3.三角形中常用的面积公式
(1)S＝ah(h表示边a上的高)；
(2)S＝bcsin A＝acsin__B＝absin C；
(3)S＝，其中p＝(a＋b＋c)．
[疑误辨析]
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在△ABC中，已知a，b和角B，能用正弦定理求角A；已知a，b和角C，能用余弦定理求边c.( )
(2)在三角形中，已知两角和一边或已知两边和一角都能解三角形．( )
(3)在△ABC中，sin A>sin B的充分不必要条件是A>B.( )
(4)在△ABC中，a2＋b21.
所以角B不存在，即满足条件的三角形不存在．
2．在△ABC中，若sin A＝sin B，则A，B的关系为________；若sin A>sin B，则A，B的关系为________．
解析：sin A＝sin B⇔a＝b⇔A＝B；
sin A>sin B⇔a>b⇔A>B.
答案：A＝B A>B
3．在△ABC中，acos A＝bcos B，则这个三角形的形状为________．
解析：由正弦定理，得sin Acos A＝sin BcosB，
即sin 2A＝sin 2B，所以2A＝2B或2A＝π－2B，
即A＝B或A＋B＝，
所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形．
答案：等腰三角形或直角三角形
利用正弦、余弦定理解三角形(高频考点)
利用正、余弦定理解三角形是高考的热点，三种题型在高考中时有出现，其试题为中档题．主要命题角度有：
(1)由已知求边和角；
(2)三角恒等变换与解三角形．
角度一 由已知求边和角
(1)(2020·金华市东阳二中高三调研)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若3bcos A＝ccos A＋acos C，则tan A的值是( )
A．－2 B．－
C．2 D.
(2)(2019·高考浙江卷)在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D在线段AC上．若∠BDC＝45°，则BD＝________，cos∠ABD＝________．
【解析】 (1)因为△ABC中，由余弦定理得
ccos A＋acos C＝c×＋a×＝b.
所以根据题意，3bcos A＝ccos A＋acos C＝b，
两边约去b，得3cos A＝1，所以cos A＝>0，
所以A为锐角，且sin A＝＝，
因此，tan A＝＝2.
(2)在Rt△ABC中，易得AC＝5，sin C＝＝.在△BCD中，由正弦定理得BD＝×sin∠BCD＝×＝，sin∠DBC＝sin[π－(∠BCD＋∠BDC)]＝sin(∠BCD＋∠BDC)＝sin ∠BCDcos∠BDC＋cos∠BCDsin∠BDC＝×＋×＝.又∠ABD＋∠DBC＝，所以cos∠ABD＝sin∠DBC＝.
【答案】 (1)C (2)
角度二 三角恒等变换与解三角形
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b＋c＝2acos B.
(1)证明：A＝2B；
(2)若cos B＝，求cos C的值．
【解】 (1)证明：由正弦定理得sin B＋sin C
＝2sin Acos B，
故2sin Acos B＝sin B＋sin(A＋B)＝sin B＋sin Acos B＋cos Asin B，于是sin B＝sin(A－B)．
又A，B∈(0，π)，
故0＜A－B＜π，
所以B＝π－(A－B)或B＝A－B，
因此A＝π(舍去)或A＝2B，
所以A＝2B.
(2)由cos B＝得sin B＝，
cos 2B＝2cos2B－1＝－，
故cos A＝－，sin A＝，
cos C＝－cos(A＋B)＝－cos Acos B＋sin Asin B＝.
(变问法)本例条件不变，若△ABC的面积S＝，求角A的大小．
解：由S＝，得absin C＝，故有
sin Bsin C＝sin 2B＝sin Bcos B，
因为sin B≠0，所以sin C＝cos B，
又B，C∈(0，π)，所以C＝±B.
当B＋C＝时，A＝；
当C－B＝时，A＝.
综上，A＝或A＝.
(1)正、余弦定理的选用
解三角形时，如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．
(2)三角形解的个数的判断
已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．
1．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知sin B＋sin A(sin C－cos C)＝0，a＝2，c＝，则C＝( )
A. B.
C. D.
解析：选B.因为sin B＋sin A(sin C－cos C)＝0，所以sin(A＋C)＋sin Asin C－sin Acos C＝0，所以sin Acos C＋cos Asin C＋sin Asin C－sin Acos C＝0，整理得sin C·(sin A＋cos A)＝0，因为sin C≠0，所以sin A＋cos A＝0，所以tan A＝－1，因为A∈(0，π)，所以A＝，由正弦定理得sin C＝＝＝，又00，则cos B＝，故a＝5.
(2)由(1)知，sin B＝，
由S＝acsin B＝9，得c＝6.
由b2＝a2＋c2－2accos B＝13，得b＝.
故△ABC的周长为11＋.
[综合题组练]
1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若b＝1，a＝2c，则当C取最大值时，△ABC的面积为( )
A. B.
C. D.
解析：选B.当C取最大值时，cos C最小，
由cos C＝＝＝≥，
当且仅当c＝时取等号，
且此时sin C＝，
所以当C取最大值时，
△ABC的面积为absin C＝×2c×1×＝.
2．在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，＝a，a＝2.若b∈[1，3]，则c的最小值为( )
A．2 B．3
C．2 D．2
解析：选B.由＝a，得＝sin C．由余弦定理可知cos C＝，即3cos C＝sin C，所以tan C＝，故cos C＝，所以c2＝b2－2b＋12＝(b－)2＋9，因为b∈[1，3]，所以当b＝时，c取最小值3.
3．已知在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，2asin B＝b，b＝2，c＝3，AD是内角的平分线，则BD＝________．
解析：由2asin B＝b及正弦定理得
2sin∠BAC·sin B＝sin B，所以sin∠BAC＝.
因为∠BAC为锐角，所以∠BAC＝.
因为AD是内角平分线，
所以＝＝＝.
由余弦定理得BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB·cos∠BAC＝4＋9－2×2×3×＝7，
所以BC＝，BD＝.
答案：
4．(2020·金华十校联考)设△ABC的面积为S1，它的外接圆面积为S2，若△ABC的三个内角大小满足A∶B∶C＝3∶4∶5，则的值为____________．
解析：在△ABC中，A＋B＋C＝π，
又A∶B∶C＝3∶4∶5，所以A＝，B＝，C＝π.
由正弦定理＝＝＝2R(a、b、c为△ABC中角A、B、C的对边，R为△ABC的外接圆半径)可得，a＝·c，b＝·c，R＝.
所以S1＝absin C＝···c2·sin C
＝sin A·sin B·sin C·，
S2＝πR2＝·，
所以＝＝＝.
答案：
5．(2020·浙江省名校协作体高三联考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知c＝2，C＝.
(1)当2sin 2A＋sin(2B＋C)＝sin C时，求△ABC的面积；
(2)求△ABC周长的最大值．
解：(1)由2sin 2A＋sin(2B＋C)＝sin C得4sin Acos A－sin(B－A)＝sin(A＋B)，
得2sin Acos A＝sin Bcos A，当cos A＝0时，A＝，B＝，a＝，b＝，
当cos A≠0时，sin B＝2sin A，由正弦定理得b＝2a，联立，解得a＝，b＝.
故△ABC的面积为S△ABC＝absin C＝.
(2)由余弦定理及已知条件可得：a2＋b2－ab＝4，
由(a＋b)2＝4＋3ab≤4＋3×得a＋b≤4，故△ABC周长的最大值为6，当且仅当三角形为正三角形时取到．
6．(2020·杭州市高考模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若msin A＝sin B＋sin C(m∈R)．
(1)当m＝3时，求cos A的最小值；
(2)当A＝时，求m的取值范围．
解：(1)因为在△ABC中msin A＝sin B＋sin C，
当m＝3时， 3sin A＝sin B＋sin C，
由正弦定理可得3a＝b＋c，
再由余弦定理可得cos A＝
＝
＝≥＝，
当且仅当b＝c时取等号，
故cos A的最小值为.
(2)当A＝时，可得m＝sin B＋sin C，
故m＝sin B＋sin C
＝sin B＋sin
＝sin B＋
＝sin B＋cos B＋sin B
＝sin B＋cos B＝2sin，
因为B∈，
所以B＋∈，
所以sin∈，
所以2sin∈(1，2]，
所以m的取值范围为(1，2]．
