2018届二轮复习函数的图象与性质学案（全国通用）
1．已知f(x)＝x＋－1，f(a)＝2，则f(－a)＝( )
A．－4 B．－2
C．－1 D．－3
解析：因为f(x)＝x＋－1，所以f(a)＝a＋－1＝2，所以a＋＝3，所以f(－a)＝－a－－1＝－－1＝－3－1＝－4，故选A.
答案：A
2．下列函数中，定义域是R且为增函数的是( )
A．y＝2－x B．y＝x
C．y＝log2x D．y＝－
解析：由题知，只有y＝2－x与y＝x的定义域为R，且只有y＝x在R上是增函数．
答案：B
3．下列四个函数：①y＝3－x；②y＝2x－1(x>0)；③y＝x2＋2x－10；④y＝其中定义域与值域相同的函数的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
答案：B
4．设函数f(x)＝在区间[3,4]上的最大值和最小值分别为M，m，则＝( )
A. B.
C. D.
解析：易知f(x)＝＝2＋，所以f(x)在区间[3,4]上单调递减，所以M＝f(3)＝2＋＝6，m＝f(4)＝2＋＝4，所以＝＝.
答案：D
5．函数f(x)＝的图象大致为( )
解析：由f(x)＝，可得f′(x)＝＝，则当x∈(－∞，0)和x∈(0,1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增．又当x<0时，f(x)<0，故选B.
答案：B
6．已知f(x)＝且f(0)＝2，f(－1)＝3，则f(f(－3))＝( )
A．－2 B．2
C．3 D．－3
答案：B
7．已知f(x)＝，若f(4)＝3，则f(x)>0的解集为( )
A．{x|x>－1}
B．{x|－1
－1且x≠0}
D.
解析：因为x>0时，
f(x)＝log2x＋a，
所以f(4)＝2＋a＝3，
所以a＝1.
所以不等式f(x)>0等价于
即x>，或，即－10的解集为.
答案：D
8．定义在R上的函数f(x)对任意00的解集是( )
A．(－2,0)∪(0,2)
B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
C．(－∞，－2)∪(0,2)
D．(－2,0)∪(2，＋∞)
解析：(转化法)由<1，可得<0.
令F(x)＝f(x)－x，由题意知F(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上是减函数，且是奇函数，且F(2)＝0，F(－2)＝0，所以结合图象，令F(x)>0，得x<－2或00，a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是( )
A．01，所以00，b>0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，若t＝ab，则t的最大值为( )
A．2 B．3 C．6 D．9
解析：∵f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2，
∴f′(x)＝12x2－2ax－2b，
又∵f(x)在x＝1处有极值，
∴f′(1)＝12－2a－2b＝0⇒a＋b＝6，
∵a>0，b>0，a＋b≥2，
∴ab≤9，当且仅当a＝b＝3时等号成立．
答案：D
13．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋3x＋1有两个极值点，则实数a的取值范围是( )
A．(，＋∞)
B．(－∞，－)
C．(－，)
D．(－∞，－)∪(，＋∞)
答案：D
14．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，若x＝－3是函数f(x)的一个极值点，则实数a＝________.
解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋3，由题意知x＝－3为方程3x2＋2ax＋3＝0的根，
∴3×(－3)2＋2a×(－3)＋3＝0，解得a＝5.
答案：5
15．若函数f(x)＝－x2＋4x－3ln x在[t，t＋1]上不单调，则t的取值范围是________．
解析：f′(x)＝－x＋4－＝＝－.
由f′(x)＝0及判断可知函数f(x)的两个极值点为1，3，则只要这两个极值点有一个在区间( t，t＋1)内，函数f(x)在区间[t，t＋1]上就不单调，
所以t<10.
(1)讨论f(x)在其定义域上的单调性；
(2)当x∈[0，1]时，求f(x)取得最大值和最小值时的x的值．
解：(1) f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，
f′(x)＝1＋a－2x－3x2.
令f′(x)＝0，得x1＝，
x2＝，x1x2时，f′(x)<0；
当x10.
故f(x)在(－∞，x1)和(x2，＋∞)内单调递减，在(x1，x2)内单调递增．
(2)∵a>0，∴x1<0，x2>0.
①当a≥4时，x2≥1，
由(1)知，f(x)在[0，1]上单调递增，
∴f(x)在x＝0和x＝1处分别取得最小值和最大值．
18．已知函数f(x)＝e－x－ax(x∈R)．
(1)当a＝－1时，求函数f(x)的最小值；
(2)若x≥0时，f(－x)＋ln(x＋1)≥1，求实数a的取值范围．
解：(1)当a＝－1时，f(x)＝e－x＋x，
则f′(x)＝－＋1.
令f′(x)＝0，得x＝0.
当x<0时，f′(x)<0；当x>0时，f′(x)>0.
∴函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．
∴当x＝0时，函数f(x)取得最小值，其值为f(0)＝1.
(2)若x≥0时，f(－x)＋ln(x＋1)≥1，
即ex＋ax＋ln(x＋1)－1≥0.(*)
令g(x)＝ex＋ax＋ln(x＋1)－1，
则g′(x)＝ex＋＋a.
①若a≥－2，由(1)知e－x＋x≥1，
即e－x≥1－x，故ex≥1＋x.
∴g′(x)＝ex＋＋a≥(x＋1)＋＋a≥2＋a＝2＋a≥0.
∴函数g(x)在[0，＋∞)上单调递增．
∴g(x)≥g(0)＝0.∴(*)式成立．
19.已知函数f(x)＝.
(1)若a＝－1，求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)有最大值3，求a的值．
解 (1)当a＝－1时，f(x)＝，
令t＝－x2－4x＋3＝－(x＋2)2＋7，
由于t在(－∞，－2)上单调递增，在[－2，＋∞)上单调递减，而y＝在R上单调递减，所以f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在[－2，＋∞)上单调递增，即函数f(x)的单调递增区间是[－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)．
(2)令h(x)＝ax2－4x＋3，则f(x)＝.由于f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值－1，因此必有解得a＝1，即当f(x)有最大值3时，a的
值等于1.
20.已知函数f(x)＝－x＋log2.
(1)求f＋f的值；
(2)当x∈(－a，a]，其中a∈(0，1)，a是常数时，函数f(x)是否存在最小值？若存在，求出f(x)的最小值；若不存在，请说明理由．
21．已知函数f(x)的图象与函数h(x)＝x＋＋2的图象关于点A(0，1)对称．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若g(x)＝x2·[f(x)－a]，且g(x)在区间[1，2]上为增函数．求实数a的取值范围．
解 (1)设f(x)的图象上任一点的坐标为P(x，y)，点P关于点A(0，1)的对称点P′(－x，2－y)在h(x)的图象上，
∴2－y＝－x＋＋2，
∴y＝x＋，即f (x)＝x＋.
(2)g(x)＝x2·[f(x)－a]＝x3－ax2＋x，
