安徽省阜阳市第三中学2019-2020学年高二上学期10月月考数学（文）试题

安徽省阜阳市第三中学2019-2020学年高二上学期10月月考数学（文）试题

阜阳三中2018级高二上学期一调考试（文科）数学试题 一、选择题（本题共12个小题，每小题 5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）‎ ‎1.设，集合是奇数集，集合是偶数集．若命题：，，则（ ）‎ A. ：， B. ：，‎ C. ：， D. ：，‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎“全称命题”的否定一定是“存在性命题”据此可解决问题．‎ ‎【详解】解：∵“全称命题”的否定一定是“存在性命题”，‎ ‎∴命题p：∀x∈A，2x∈B 的否定是：‎ ‎：，．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】命题的否定即命题的对立面．“全称量词”与“存在量词”正好构成了意义相反的表述．如“对所有的…都成立”与“至少有一个…不成立”；“都是”与“不都是”等，所以“全称命题”的否定一定是“存在性命题”，“存在性命题”的否定一定是“全称命题”．‎ ‎2.下列命题中为假命题的是（ ）‎ A. ， B. ，‎ C. ， D. ，‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用熟知函数的图像与性质，即可判断命题的真假.‎ ‎【详解】选项A，，正确；‎ 选项B，当x时，显然不成立，错误；‎ 选项C，，正确；‎ 选项D，根据指数函数的图象与性质可知正确.‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查全称命题与特称命题的真假，考查常见函数的图像与性质，属于基础题.‎ ‎3.设，则“”是“直线：与直线：平行”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合直线平行的等价条件，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．‎ ‎【详解】∵当时，直线与直线重合，充分性不具备，‎ 当与平行时，显然a≠0，‎ 需，此时无解，必要性不具备，‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查了直线平行、简易逻辑的判定方法分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎4.命题“若不正确，则不正确”的逆命题的等价命题是（ ）‎ A. 若不正确，则不正确 B. 若不正确，则正确 C. 若正确，则不正确 D. 若正确，则正确 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由命题“若p不正确，则q不正确”，根据四种命题的定义，我们易求出其逆命题，进而根据互为逆否命题是等价命题，易求出结果．‎ ‎【详解】解：命题“若p不正确，则q不正确”的逆命题是：‎ ‎“若q不正确，则p不正确”‎ 其等价命题是它的逆否命题，即 ‎“若p正确，则q正确”‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查的知识点是四种命题的逆否关系，根据四种命题的定义，求出满足条件的逆命题，及互为逆否的两个命题为等价命题是解答本题的关键．‎ ‎5.已知“”是“”的充分不必要条件，则的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解不等式，利用题中条件得出其解集与的包含关系，于此可得出关于的不等式，解出即可.‎ ‎【详解】由，得，即，解得或.‎ 由题意可得，所以，，‎ 因此，实数的取值范围是，故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查分式不等式的解法，同时也考查了利用充分必要条件求参数，一般利用充分必要性转化为两集合的包含关系，考查化归与转化思想，属于中等题.‎ ‎6.若直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为 A. B. ‎ C. 或 D. 以上答案都不对 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先求出直线与坐标轴的交点，分别讨论椭圆焦点在轴和轴的情况，利用椭圆的简单性质求解即可。‎ ‎【详解】直线与坐标轴交点为，‎ ‎（1）当焦点在轴上时，设椭圆的标准方程为 则，所求椭圆的标准方程为.‎ ‎（2）当焦点在轴上时，设椭圆的标准方程为 ‎，所求椭圆的标准方程为.‎ 故答案选C ‎【点睛】本题考查椭圆方程的求法，题中没有明确焦点在轴还是轴上，要分情况讨论，解题时要注意椭圆的简单性质的合理运用，属于基础题。‎ ‎7.设双曲线 (a>0，b>0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为(　　)‎ A. y＝±x B. y＝±2x C. y＝±x D. y＝±x ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由题意知2b=2,2c=2,‎ ‎∴b=1,c=,a2=c2-b2=2,a=,‎ ‎∴渐近线方程为y=±x=±x=±x.故选C.‎ ‎8.椭圆的焦点坐标是 （ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 化为标准方程是，∵，∴.‎ ‎∴焦点在y轴上，且.故选C.‎ 考点：椭圆的焦点坐标.‎ ‎9.已知双曲线的离心率为，则点到的渐近线的距离为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析：由离心率计算出，得到渐近线方程，再由点到直线距离公式计算即可。‎ 详解：‎ 所以双曲线的渐近线方程为 所以点（4，0）到渐近线的距离 故选D 点睛：本题考查双曲线的离心率，渐近线和点到直线距离公式，属于中档题。‎ ‎10.已知△的顶点、分别为双曲线的左右焦点，顶点在双曲线上，则的值等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先由正弦定理,可得,进而根据双曲线的几何性质,可得,，代入中,可得答案.‎ ‎【详解】由题意得双曲线得, , 根据双曲线的定义得:, 又, 从而由正弦定理,得，‎ 故选D 本题考查双曲线的性质和应用,解题时要熟练掌握双曲线的性质,注意正弦定理的合理运用.‎ ‎11.设双曲一个焦点为，虚轴的一个端点为,如果直线与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析】‎ 设该双曲线方程为得点B（0，b），焦点为F（c，0），直线FB的斜率为,由垂直直线的斜率之积等于-1，建立关于a、b、c的等式，变形整理为关于离心率e的方程，解之即可得到该双曲线的离心率.‎ ‎【详解】‎ 设该双曲线方程为可得它的渐近线方程为，焦点为F（c，0），点B（0，b）是虚轴的一个端点，∴直线FB的斜率为，‎ ‎∵直线FB与直线互相垂直，,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ 双曲线的离心率e＞1，‎ ‎∴e=,故选D.‎ 考点：双曲线的简单性质 ‎12.若点和点分别为椭圆的中心和左焦点，点为椭圆上的任意一点， 则的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设,由数量积运算及点P在椭圆上可把表示为x的二次函数,根据二次函数性质可求其最大值.‎ ‎【详解】设, 则, 又点P在椭圆上,‎ 所以, ,‎ 又, 所以当时,取得最大值为6,‎ 即的最大值为6, 故选B．‎ 二、填空题（本大题共4个小题，每个小题5分，共20分．将正确答案填在题中横线上）‎ ‎13.命题“若，则”的逆否命题是_______．‎ ‎【答案】若，则或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据四种命题的相互关系，将原命题的条件与结论否定，并交换位置即得答案．‎ ‎【详解】解：命题：“若﹣1＜x＜1，则x2＜1”‎ 条件为：“若﹣1＜x＜1”，结论为：“x2＜1”；‎ 故其逆否命题为：若x2≥1，则x≥1或x≤﹣1‎ 故答案为：若，则或．‎ ‎【点睛】本题考查逆否命题的形式，解题时要注意分清四种命题的相互关系，属于基础题．‎ ‎14.直线y=x-1被椭圆截得的弦长为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意联立方程,设直线被椭圆的交点为,从而化简可得从而求弦长.‎ ‎【详解】由题意,, 消去y整理得, , 设直线被椭圆的交点为, 故 ‎, 故直线被椭圆截得的弦长为, 故答案为:.‎ 本题考查了直线与圆锥曲线的位置关系的应用,同时考查了弦长的求法,属于中档题.‎ 考点：本题考查弦长问题 点评：解决本题的关键是弦长公式应用 ‎15.已知点、分别是双曲线的左、右焦点，是该双曲线上的一点，且，则的周长是________．‎ ‎【答案】34‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由双曲线定义可得，结合勾股定理可得，从而得到周长.‎ ‎【详解】∵，∴，∴．‎ 又，∴，∴．‎ ‎∴的周长为.‎ 故答案为：34‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的基本性质，考查双曲线定义及基本量的关系，属于基础题.‎ ‎16.已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为．若椭圆上存在点，使得，则该椭圆离心率的取值范围是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由椭圆定义可得，又，从而得到结果.‎ ‎【详解】∵，∴，．‎ 又，∴，即，解得．‎ 又，∴．‎ ‎【点睛】本题考查椭圆离心率的求法，考查椭圆定义以及焦半径的范围，属于中档题.‎ 三、解答题（本大题共6个小题，第17题10分，其余每题均为12分，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17.设关于的不等式的解集为，，若是的必要条件，求的取值范围．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可知：，对a分类讨论，结合子集关系可得结果.‎ ‎【详解】因为是的必要条件，所以.‎ 当时，解集为空集，不满足题意；‎ 当时，，此时集合，则，所以；‎ 当时，，此时集合，则，所以.‎ 综上可知，的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查了二次不等式的解法，集合间的包含关系，考查了分类讨论的思想方法，考查计算能力，属于中档题.‎ ‎18.一动圆过定点，且与定圆内切，求动圆圆心的轨迹方程．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设动圆M和定圆B内切于M，则动圆的圆心M到两点，即定点B（﹣2，0）和定圆的圆心A（2，0）的距离之和恰好等于定圆半径，根据椭圆的定义，可得结论．‎ ‎【详解】将圆的方程化为标准形式为，‎ ‎∴圆心坐标为，半径为6，如图：‎ 由于动圆与已知圆相内切，设切点为.‎ ‎∴已知圆（大圆）半径与动圆（小圆）半径之差等于两圆心的距离，即 ‎ ‎，‎ 而，，‎ ‎∴.‎ 根据椭圆的定义知的轨迹是以点和点为焦点的椭圆，且.‎ ‎∴，，，‎ ‎∴所求圆心的轨迹方程为.‎ ‎【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，考查了椭圆的定义，考查数形结合思想，是中档题．‎ ‎19.在锐角三角形中，内角的对边分别为且．‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，，求 △的面积．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用正弦定理及，便可求出，得到大小；（2）利用（1）中所求的大小，结合余弦定理求出的值，最后再用三角形面积公式求出值.‎ ‎【详解】（1）由及正弦定理，得.‎ 因为为锐角，所以.‎ ‎（2）由余弦定理，得，‎ 又，所以，‎ 所以.‎ 考点：正余弦定理的综合应用及面积公式.‎ ‎20.设，命题：，，命题：，满足.‎ ‎（1）若命题是真命题，求的范围；‎ ‎（2）为假，为真，求的取值范围.‎ ‎【答案】(1).‎ ‎(2) 或.‎ ‎【解析】‎ 分析：（1）根据题意，求解真：；真：，即可求解；‎ ‎（2）根据为假，为真，得到同时为假或同时为真，分类讨论即可求解实数的取值范围．‎ 详解：（1）p真，则或得；‎ q真，则a2﹣4＜0，得﹣2＜a＜2，‎ ‎∴p∧q真，．‎ ‎（2）由（￢p）∧q为假，（￢p）∨q为真⇒p、q同时为假或同时为真，‎ 若p假q假，则，⇒a≤﹣2， ‎ 若p真q真，则，⇒ ‎ 综上a≤﹣2或． ‎ 点睛：本题主要考查了逻辑联结词的应用，解答简易逻辑联结词相关问题，关键是要首先明确各命题的真假，利用或、且、非真值表，进一步作出判断，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力．‎ ‎21.已知椭圆的长轴长为4，且短轴长是长轴长的一半．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）经过点作直线，交椭圆于，两点．如果恰好是线段的中点，求直线的方程．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意，由椭圆的几何性质分析可得a、b的值，将a、b的值代入椭圆方程即可得答案；‎ ‎（2）根据题意，设直线l的方程为：，将直线与椭圆的方程联立，分析可得，设A（x1，y1），B（x2，y2），由根与系数的关系以及中点坐标公式分析可得，解可得k的值，代入直线方程即可得答案．‎ ‎【详解】（1）根据题意，椭圆的长轴长为4，且短轴长是长轴长的一半．‎ 即，则，‎ ‎，则，‎ 故椭圆的方程为；‎ ‎（2）由（1）得故椭圆的方程为：，设直线l的方程为：，‎ 将直线代入椭圆方程，得，‎ 设，，则，‎ 恰好是线段的中点，，即，‎ 解得，‎ 则直线的方程为，变形可得．‎ ‎【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，涉及椭圆的标准方程，考查学生的运算能力与推理能力，属于综合题．‎ ‎22.已知双曲线的中心在原点，焦点、在坐标轴上，离心率为，且过点 ‎．‎ ‎（1）求双曲线的方程；‎ ‎（2）若点在双曲线上，求证：；‎ ‎（3）在第（2）问的条件下，求的面积．‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）6.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意可设双曲线方程为x2﹣y2＝λ，（λ≠0），点代入求出参数λ的值，从而求出双曲线方程；‎ ‎（2）求出的值，利用，可得出•0；‎ ‎（3）求出三角形的底边和高，即|m|的值，可得其面积．‎ ‎【详解】（1）∵，∴可设双曲线方程为，‎ ‎∵双曲线过点，∴，即，‎ ‎∴双曲线方程为，即．‎ ‎（2） 由（1）可知，双曲线中，‎ ‎∴，∴，．‎ ‎∴，，∴．‎ ‎∵点双曲线上，∴，故，‎ ‎∴，∴．‎ ‎（3）的底，的高，‎ ‎∴．‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的标准方程，考查向量的数量积公式，考查三角形面积的计算，属于中档题．‎ ‎ ‎