高中数学必修5教案：用构造法求数列的通项公式

高中数学必修5教案：用构造法求数列的通项公式

用构造法求数列的通项公式 ‎ 弋阳县第二中学 游牡荣 教学目标：‎ ‎1、知识与技能：理解并掌握几种常见的数列通项的求法 ‎2、过程与方法：渗透归纳、化归数学思想方法 ‎3、情感态度与价值观：培养学生积极参与、合作交流的主体意识，在知识的探索与发现的过程中培养学生学习数学的兴趣 教学重点：‎ 把既非等差也非等比的数列化归成等差或等比数列 教学难点：‎ 如何将既非等差也非等比的数列化归成等差或等比数列 一、创设情境、引入新课 在数列的学习中，我们知道通项是数列中最关键的，那么如何让求数列的通项呢？在前面的学习中，我们只学习了等差数列和等比数列，对于那些既不是等差也不是等比数列的通项该如何求出呢？比如：，，如何求出其通项呢？‎ 二、新知探索 ‎ 例1、数列中，若，，求数列的通项公式。‎ 让学生思考并讨论，这种题型的通项该从何处入手？经过几分钟思考后，若学生还无明确的方向，老师可讲此例降低难度，改为：①求、、、的值；②求通项。‎ 经过改编后，大部分学生都能算出=，=，=，=，并能猜想出=。‎ 师指出：这种方法属于不完全归纳法，在前面推导等差数列的通项公式的时候已经用过，但缺乏严谨性，有没有方法直接求出，而不是猜出？（此时学生有陷入一片迷茫，迫切地想寻找到好的出路，极大地调起了学生的兴趣。）‎ 老师引导学生：我们只学过等差与等比数列的通项公式的求法，但这个数列虽然既非等差也非等比数列，能否想办法将数列适当变形，变成我们大家熟悉的等差或等比？‎ ‎（适时板书）：1，，，，……‎ ‎ : 1，, ，，……‎ 学生马上得出是以1为首项，以1为公差的等差数列。 ‎ 师指出：根据前5项估计出成等差，同样缺乏严谨，能否证明出是等差数列?‎ ‎ 提问：如何证明一个数列是等差数列？‎ ‎ 学生：一=常数（到此，此题的解题思路就完全确定了）‎ 解： 即 ‎ 数列是以为首项，以1 为公差的等差数列 ‎ ‎ ‎ =‎ 师小结：对于一些既非等差也非等比数列的通项的求法，我们可以通过构造将其转化为等差或等比数列之后再应用各自的通项公式求解，这就是化归思想在数列中的具体应用。‎ 例2、数列 ‎ 让学生思考、讨论并相互交流：如何将其构造成等差或等比数列？（教师在下面走动，根据学生的情况，教师适时的给出引导，如果学生还找不到方法，教师引导学生参照例1的方法）‎ ‎ （适时板书）：1，，，，……‎ ‎ : 2， 4, 8，，……‎ 解: ‎ ‎ 是以=2首项，以2为公比的等比数列，‎ ‎ =‎ ‎ =‎ 师指出：对这类题型，为了避免每次都计算数列的前几项，可以设，展开后即可求出。‎ 三、巩固深化，发展思维 ‎ ‎1、数列中，，。‎ ‎2、数列中，，,求通项。‎ ‎3、数列中，,求通项。‎ 四、课堂小结 ‎ 1、请学生回顾本节课所学过的知识内容与哪些？所涉及的主要思想方法有哪些？‎ ‎ 2、在本节课的学习过程中，还有哪些不懂的地方，请向老师提出。‎ 五、教学设计反思 ‎ 1、本节课的教学设计中，充分发挥了学生的主动性，让学生真正做到积极思考、认真归纳、发现规律、抽象概括，最终达到理解、掌握知识及能够运用知识解决有关问题的目的 ‎ 2、在本节课的学习中，归纳思想的运用对理解为何以及如何将既非等差也非等比的数列化归为等差数列或等比数列的帮助很大，应该让学生充分重视，如果时间允许，可讲一周期性数列的题型，直接根据数列的前几项归纳得出数列的周期，进而求出数列中某项的值。如：（1） ;‎ ‎ ( 2) 则 ‎ ‎3、数列的首项是，而学生经常会错写成，因此，教师在书写的时候可故意写错，让学生来发现教师的错误，并用彩色粉笔更正，以达到效果。‎