山东省威海市文登区2019届高三三模考试数学（文）试题

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高三文科数学 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． ‎ ‎1.若集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简集合，按交集定义即可求解.‎ ‎【详解】，‎ ‎.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查交集的运算，以及不等式的解法，属于基础题.‎ ‎2.若复数满足，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简得到，再计算共轭复数得到答案.‎ ‎【详解】，则，故.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了复数的化简，共轭复数，意在考查学生的计算能力.‎ ‎3.命题“”的否定是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据特称命题的否定是全称命题得到答案.‎ ‎【详解】特称命题的否定是全称命题，‎ 故命题“”的否定是：.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了特称命题的否定，意在考查学生的推断能力.‎ ‎4.已知抛物线的焦点为，对称轴与准线的交点为，为上任意一点，若，则（ ）‎ A. 30° B. 45° C. 60° D. 75°‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 如图所示：作垂直于准线交准线于，则，故，得到答案.‎ ‎【详解】如图所示：作垂直于准线交准线于，则，‎ 在中，，故，即.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了抛物线中角度的计算，意在考查学生的计算能力和转化能力.‎ ‎5.下图所示函数图象经过何种变换可以得到的图象（ ）‎ A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数图像得到函数的一个解析式为，再根据平移法则得到答案.‎ ‎【详解】设函数解析式为，‎ 根据图像：，，故，即，‎ ‎，，取，得到，‎ 函数向右平移个单位得到.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了根据函数图像求函数解析式，三角函数平移，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.‎ ‎6.已知变量，满足不等式组，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值.‎ ‎【详解】解：由变量，满足不等式组，画出相应图形如下：‎ 可知点,，‎ 在处有最小值，最小值为.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题主要考查简单的线性规划，运用了数形结合的方法，属于基础题.‎ ‎7.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. 84‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出几何体的直观图，计算表面积得到答案.‎ ‎【详解】该几何体的直观图如图所示：‎ 故.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了根据三视图求表面积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.‎ ‎8.已知，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由辅助角公式将所求的角化为与已知同角，再利用同角间的三角函数关系，即可求解.‎ ‎【详解】，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查三角恒等变换、同角间的三角函数关系求值，应用平方关系要注意角的范围判断，属于中档题.‎ ‎9.某设备使用年限x（年）与所支出的维修费用y（万元）的统计数据分别为，，，，由最小二乘法得到回归直线方程为，若计划维修费用超过15万元将该设备报废，则该设备的使用年限为（ ）‎ A. 8年 B. 9年 C. 10年 D. 11年 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据样本中心点在回归直线上，求出，求解，即可求出答案.‎ ‎【详解】依题意在回归直线上，‎ ‎，‎ 由，‎ 估计第年维修费用超过15万元.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查回归直线过样本中心点、以及回归方程的应用，属于基础题.‎ ‎10.公比为2的等比数列中存在两项，，满足，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据已知条件和等比数列的通项公式，求出关系，即可求解.‎ ‎【详解】，‎ 当时，，当时，，‎ 当时，，当时，，‎ 当时，，当时，，‎ 最小值为.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查等比数列通项公式，注意为正整数，如用基本不等式要注意能否取到等号，属于基础题.‎ ‎11.函数在内有且只有一个零点，则a的值为（ ）‎ A. 3 B. －‎3 ‎C. 2 D. －2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出，对分类讨论，求出单调区间和极值点，结合三次函数的图像特征，即可求解.‎ ‎【详解】，‎ 若，，‎ 在单调递增，且，‎ 在不存在零点；‎ 若，，‎ 在内有且只有一个零点，‎ ‎.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题考查函数的零点、导数的应用，考查分类讨论思想，熟练掌握函数图像和性质是解题的关键，属于中档题.‎ ‎12.设，分别为双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点作圆 的切线与双曲线的左支交于点P，若，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设过点作圆 的切线的切点为，根据切线的性质可得，且，再由和双曲线的定义可得，得出为中点，则有，得到，即可求解.‎ ‎【详解】设过点作圆 的切线的切点为，‎ ‎，‎ 所以是中点，，‎ ‎，‎ ‎.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的性质、双曲线定义、圆的切线性质，意在考查直观想象、逻辑推理和数学计算能力，属于中档题.‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13.记为等比数列的前n项和，已知，，则_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设等比数列的公比为，将已知条件等式转化为关系式，求解即可.‎ ‎【详解】设等比数列的公比为，‎ ‎，‎ ‎.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查等比数列通项的基本量运算，属于基础题.‎ ‎14.已知半径为的圆周上有一定点，在圆周上等可能地任意取一点与点连接，则所得弦长介于与之间的概率为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 在圆上其他位置任取一点B，设圆半径为R，‎ 其中满足条件AB弦长介于与之间的弧长为 •2πR，‎ 则AB弦的长度大于等于半径长度的概率P==；‎ 故答案为：．‎ ‎15.如图所示梯子结构的点数依次构成数列，则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据图像归纳，根据等差数列求和公式得到答案.‎ ‎【详解】根据图像：，，故，‎ 故.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了等差数列的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.‎ ‎16.在△ABC中，∠BAC＝，AD为∠BAC的角平分线，且，若AB＝2，则BC＝_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，求出长度关系，利用角平分线以及面积关系，求出边，再由余弦定理，即可求解.‎ ‎【详解】,‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查共线向量的应用、面积公式、余弦定理解三角形，考查计算求解能力，属于中档题.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，.‎ ‎（1）求cosC；‎ ‎（2）若b＝7，D是BC边上的点，且△ACD的面积为，求sin∠ADB.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据诱导公式和二倍角公式，将已知等式化为角关系式，求出，再由二倍角余弦公式，即可求解；‎ ‎（2）在中，根据面积公式求出长，根据余弦定理求出，由正弦定理求出 ‎，即可求出结论.‎ ‎【详解】（1），‎ ‎，‎ ‎；‎ ‎（2）在中，由（1）得，‎ ‎，‎ 由余弦定理得 ‎，‎ ‎，在中，‎ ‎，‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查三角恒等变换求值、面积公式、余弦定理、正弦定理解三角形，考查计算求解能力，属于中档题.‎ ‎18.改革开放年，我国经济取得飞速发展，城市汽车保有量在不断增加，人们的交通安全意识也需要不断加强.为了解某城市不同性别驾驶员的交通安全意识，某小组利用假期进行一次全市驾驶员交通安全意识调查.随机抽取男女驾驶员各人，进行问卷测评，所得分数的频率分布直方图如图所示在分以上为交通安全意识强.‎ 求的值，并估计该城市驾驶员交通安全意识强的概率；‎ 已知交通安全意识强的样本中男女比例为，完成下列列联表，并判断有多大把握认为交通安全意识与性别有关；‎ 安全意识强 安全意识不强 合计 男性 女性 合计 用分层抽样的方式从得分在分以下的样本中抽取人，再从人中随机选取人对未来一年内的交通违章情况进行跟踪调查，求至少有人得分低于分的概率.‎ 附：其中 ‎【答案】，概率为；列联表详见解析，有的把握认为交通安全意识与性别有关；.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据频率和为列方程求得的值，计算得分在分以上的频率即可；‎ 根据题意填写列联表，计算的值，对照临界值得出结论；‎ 用分层抽样法求得抽取各分数段人数，用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值.‎ ‎【详解】解： ‎ 解得. ‎ 所以，该城市驾驶员交通安全意识强的概率 ‎ 根据题意可知，安全意识强的人数有，‎ 其中男性为人，女性为人，‎ 填写列联表如下：‎ 安全意识强 安全意识不强 合计 男性 女性 合计 ‎ ‎ 所以有把握认为交通安全意识与性别有关. ‎ 由题意可知分数在，的分别为名和名， ‎ 所以分层抽取的人数分别为名和名， ‎ 设的为，，的为，，，，则基本事件空间为，，，，，，，，，，，，，，共种， ‎ 设至少有人得分低于分的事件为，则事件包含的基本事件有 ‎，，，，，，，，共种 所以.‎ ‎【点睛】本题考查独立性检验应用问题，也考查了列举法求古典概型的概率问题，属于中档题.‎ ‎19.在以ABCDEF为顶点的五面体中，底面ABCD为菱形，∠ABC＝120°，AB＝AE＝ED＝‎ ‎2EF，EFAB，点G为CD中点，平面EAD⊥平面ABCD.‎ ‎（1）证明：BD⊥EG；‎ ‎（2）若三棱锥，求菱形ABCD的边长.‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）取中点，连，可得，结合平面EAD⊥平面ABCD，可证 平面ABCD，进而有，再由底面是菱形可得，可得，‎ 可证得平面，即可证明结论；‎ ‎（2）设底面边长为，由EFAB，AB＝2EF，，求出体积，建立的方程，即可求出结论.‎ ‎【详解】（1）取中点，连，‎ 底面ABCD为菱形，，‎ ‎，平面EAD⊥平面ABCD，‎ 平面平面平面，‎ 平面平面，‎ 底面ABCD为菱形，，‎ 为中点，，‎ 平面，‎ 平面平面，；‎ ‎（2）设菱形ABCD的边长为，则，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，所以菱形ABCD的边长为.‎ ‎【点睛】本题考查线线垂直的证明和椎体的体积，注意空间中垂直关系之间的相互转化，体积问题要熟练应用等体积方法，属于中档题.‎ ‎20.已知抛物线的准线过椭圆C：（a＞b＞0）的左焦点F，且点F到直线l：（c为椭圆焦距的一半）的距离为4.‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）过点F做直线与椭圆C交于A，B两点，P是AB的中点，线段AB的中垂线交直线l于点Q.若，求直线AB的方程.‎ ‎【答案】（1）；（2）或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由抛物线准线方程求出的值，确定左焦点坐标，再由点F到直线l：的距离为4，求出即可；‎ ‎（2）设直线方程，与椭圆方程联立，运用根与系数关系和弦长公式，以及两直线垂直的条件和中点坐标公式，即可得到所求直线的方程.‎ ‎【详解】（1）抛物线的准线方程为，‎ ‎，直线，点F到直线l的距离为，‎ ‎，‎ 所以椭圆的标准方程为；‎ ‎（2）依题意斜率不为0，又过点，设方程为，‎ 联立，消去得，，‎ ‎，设，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 线段AB的中垂线交直线l于点Q，所以横坐标为3，‎ ‎，，‎ ‎，平方整理得，‎ 解得或（舍去），，‎ 所求的直线方程为或.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的方程以及直线与椭圆的位置关系，要熟练应用根与系数关系、相交弦长公式，合理运用两点间的距离公式，考查计算求解能力，属于中档题.‎ ‎21.设函数（）.‎ ‎（1）讨论函数的单调性；‎ ‎（2）若关于x的方程有唯一的实数解，求a的取值范围.‎ ‎【答案】（1）当时，递增区间时，无递减区间，当时，递增区间时，递减区间时；（2）或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出，对分类讨论，先考虑（或）恒成立的范围，并以此作为的分类标准，若不恒成立，求解，即可得出结论；‎ ‎（2）有解，即，令，转化求函数只有一个实数解，根据（1）中的结论，即可求解.‎ ‎【详解】（1），‎ 当时，恒成立，‎ 当时，，‎ 综上，当时，递增区间时，无递减区间，‎ 当时，递增区间时，递减区间时；‎ ‎（2），‎ 令，原方程只有一个解，只需只有一个解，‎ 即求只有一个零点时，的取值范围，‎ 由（1）得当时，在单调递增，‎ 且，函数只有一个零点，原方程只有一个解，‎ 当时，由（1）得在出取得极小值，也是最小值，‎ 当时，，此时函数只有一个零点，‎ 原方程只有一个解，‎ 当且 递增区间时，递减区间时；‎ ‎，当，‎ 有两个零点，‎ 即原方程有两个解，不合题意，‎ 所以的取值范围是或.‎ ‎【点睛】本题考查导数的综合应用，涉及到单调性、零点、极值最值，考查分类讨论和等价转化思想，属于中档题.‎ 请考生在第22～23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.‎ ‎22.在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（Ⅰ）设直线与曲线交于，两点，求；‎ ‎（Ⅱ）若点为曲线上任意一点，求的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）6（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）化简得到直线的普通方程化为，，是以点为圆心，为半径的圆，利用垂径定理计算得到答案.‎ ‎（Ⅱ）设，则，得到范围.‎ ‎【详解】（Ⅰ）由题意可知，直线的普通方程化为，‎ 曲线的极坐标方程变形为，‎ 所以的普通方程分别为，是以点为圆心，为半径的圆，‎ 设点到直线的距离为，则， 所以. ‎ ‎（Ⅱ）的标准方程为，所以参数方程为（为参数），设，‎ ‎，‎ 因为，所以， ‎ 所以 ‎【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程，意在考查学生的计算能力和应用能力.‎ ‎23.已知函数.‎ ‎（Ⅰ）当时，求不等式的解集；‎ ‎（Ⅱ）若存在满足不等式，求实数取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）或.（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）分类讨论解绝对值不等式得到答案.‎ ‎（Ⅱ）讨论和两种情况，得到函数单调性，得到只需，代入计算得到答案.‎ ‎【详解】（Ⅰ）当时，不等式为，‎ 变形为或或，解集为或. ‎ ‎（Ⅱ）当时，，‎ 由此可知在单调递减，在单调递增， ‎ 当时，同样得到在单调递减，在单调递增，‎ 所以，存在满足不等式，只需，即，‎ 解得.‎ ‎【点睛】本题考查了解绝对值不等式，不等式存在性问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.‎ ‎ ‎