2017-2018学年山西省大同市第一中学高二5月月考数学（理）试题-解析版

2017-2018学年山西省大同市第一中学高二5月月考数学（理）试题-解析版

绝密★启用前 山西省大同市第一中学2017-2018学年高二5月月考数学（理）试题 第I卷（选择题）‎ 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．设集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：利用交集的性质求解．‎ 详解：∵M={x|x+1＞0}={x|x＞﹣1}，‎ N={x|x﹣2＜0}={x|x＜2}，‎ ‎∴M∩N={x|﹣1＜x＜2}=（﹣1，2）．‎ 故选：C．‎ 点睛：本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题．‎ ‎2．若将复数表示为，是虚数单位的形式，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】,故选.‎ ‎3．在的展开式中，含的项的系数是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】二项式的通项公式为 ‎ ‎，令，所以含的项的系数是 ，故选D ‎4．若，，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：利用指数函数和对数函数的性质即可得出．‎ 详解：∵20.5＞20=1，0＜logπ3＜logππ=1，log20.5＜log21=0，‎ ‎∴a＞b＞c．‎ 故选：D．‎ 点睛：熟练掌握指数函数和对数函数的性质是解题的关键．‎ ‎5．直线与曲线在第一象限内围成的封闭图形的面积为（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】直线与曲线的交点坐标为和，‎ 故直线与曲线在第一象限内围成的封闭图形的面积．故选．‎ ‎6．已知函数是定义在上的奇函数，在区间上单调递增，实数满足，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：先根据奇函数将化简一下，再根据f（x）是定义在（﹣1，1）上的增函数，建立不等式组进行求解即可．‎ 详解：∵f（x）是奇函数 ‎∴等价为f（a）f（-a+1），‎ ‎∵f（x）是定义在（﹣1，1）上的增函数，‎ ‎∴ ,即.‎ 故答案为：C.‎ 点睛：本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，注意奇函数的在对称区间上的单调性的性质；对于解抽象函数的不等式问题或者有解析式，但是直接解不等式非常麻烦的问题，可以考虑研究函数的单调性和奇偶性等，以及函数零点等，直接根据这些性质得到不等式的解集。‎ ‎7．五个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币，若硬币正面朝上，则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个人继续坐着，那么，没有相邻的两个人站起来的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据题意没有相邻的两个人站起来包括两种情况：5人都不站起来，或由2人中间隔一人站起来，故没有相邻的两个人站起来的概率为 ‎ ‎，选C 点睛：本题考查了概率的简单计算能力，是一道列举法求概率的问题，属于基础题，可以直接应用求概率的公式．‎ ‎8．如图的程序框图的算法思路源于我国古代著名的“孙子剩余定理”，图中的表示正整数除以正整数后的余数为，例如.执行该程序框图，则输出的等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量i的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．‎ 详解：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出同时满足条件：被3除余2，被5除余3，被7整除余2最小两位数， 故输出的n为23， 故选：A．‎ 点睛：本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答；关键是读懂循环结构的意图，将每一次循环的结果写出来，验证终止条件.‎ ‎9．函数的部分图象大致是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：判断f（x）的奇偶性，在（，π）上的单调性，再通过f（‎ ‎）的值判断．‎ 详解：f（﹣x）==﹣f（x），‎ ‎∴f（x）是奇函数，f（x）的图象关于原点对称，排除C；‎ ‎ ，排除A，‎ 当x＞0时，f（x）=，f′（x）=，‎ ‎∴当x∈（，π）时，f′（x）＞0，‎ ‎∴f（x）在（，π）上单调递增，排除D，‎ 故选：B．‎ 点睛：点睛：本题考查函数的图象的判断与应用，考查转化思想以及数形结合思想的应用．对于已知函数表达式选图像的题目，可以通过表达式的定义域和值域进行排除选项，可以通过表达式的奇偶性排除选项；也可以通过极限来排除选项.‎ ‎10．过双曲线的左焦点，作圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：由可知点E为PF的中点．为右焦点.连结,可得且,.又.在三角形中．.故选C.‎ 考点：1.双曲线的性质.2.解三角形.3.直线与圆的位置关系.‎ ‎11．已知实数，若关于的方程有三个不同的实数，则的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：设，作出函数的图象，如图所示，则时， 有两个根，当时， 有一个根，若关于的方程有三个不同的实根，则等价为由两个不同的实数根，且或，当时， ，此时由，解得或，满足有两个根， 有一个根，满足条件；当时，设，则即可，即，解得，综上实数的取值范围为，故选A.‎ 考点：根的存在性及个数的判断.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了根的存在性及个数的判断问题，其中解答中涉及到到指数函数与对数函数的图象与性质，一元二次函数根的分布等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，本题的解答中利用函数的零点和方程之间的关系转化为两个函数图象的交点是解答的根据，利用数形结合以及换元法是解答本题的关键，试题有一定的难度，属于中档试题.‎ ‎12．定义在上的函数满足：，，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：设，则，因为，所以 ，所以，所以是单调递增函数，因为，所以，又因为，即，所以，故选A．‎ 考点：利用导数研究函数的单调性．‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．在某项测试中，测量结果服从正态分布，若，则__________．‎ ‎【答案】0.6‎ ‎【解析】由题设可知是对称轴，依据正太分布概型的对称性质可得，应填答案。‎ ‎14．直线与圆相交于两点，，弦的中点为，则直线的方程为__________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】设圆心，直线的斜率为，弦AB的中点为，的斜率为，则，所以由点斜式得。‎ ‎15．若实数， 满足不等式组，则的取值范围是__________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】解：因为实数满足，则表示的为区域内的点到（-1,1）的两点的连线斜率的范围，则可以利用边界点（1,0）（0,0）得到结论。‎ ‎16．已知正方体的棱长为，点，分别是棱、的中点，点在平面内，点在线段上，若，则长度的最小值为__________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】分析：取中点，则面，即，可得点在以为圆心，1为半径的位于平面内的半圆上，即到的距离减去半径即为长度的最小值，作于，可得，即可求得长度的最小值.‎ 详解：如图，取中点，则面，即.‎ ‎∵，正方体的棱长为 ‎∴‎ ‎∴点在以为圆心，1为半径的位于平面内的半圆上，即到的距离减去半径即为长度的最小值.‎ 作于，则的面积为.‎ ‎∴，则.‎ ‎∴长度的最小值为 故答案为.‎ 点睛：本题考查线段长的最小值的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想．将空间问题转化到平面问题，准确求出点 的轨迹，结合等积法的运用是解决本题的关键.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班人进行了问卷调查得到了如下的列联表：‎ 喜爱打篮球 不喜爱打篮球 合计 男生 女生 合计 已知在全部人中随机抽取人抽到喜爱打篮球的学生的概率为.‎ ‎（1）请将上面的列联表补充完整；‎ ‎（2）是否有的把握认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由；‎ 下面的临界值表供参考：‎ ‎（参考公式：，）‎ ‎【答案】（1）列联表见解析；（2）有的把握认为喜爱打篮球与性别有关,理由见解析.‎ ‎【解析】分析：（1）根据全部人中随机抽取人抽到喜爱打篮球的学生的概率为，即可将列联表补充完整；（2）根据公式求出，与临界值比较，即可得到结论．‎ 详解：（1）列联表补充如下：‎ 喜爱打篮球 不喜爱打篮球 合计 男生 女生 合计 ‎（2）∵ ，‎ ‎∴有的把握认为喜爱打篮球与性别有关.‎ 点睛：本题主要考查了独立性检验的应用，属于中档题.解决独立性检验的三个步骤：①根据样本数据制成2×2列联表；②根据公式，计算的值；③查值比较的值与临界值的大小关系，作出判断.‎ ‎18．中，三个内角、、的对边分别为、、，若，，且.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，，求的面积.‎ ‎【答案】(1).‎ ‎(2).‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据题意，由向量数量积的坐标计算公式可得若，则有cosB•（2a+c）+cosC•b=0，结合正弦定理可得cosB•（2sinA+sinC）+cosC•sinB=0，将其整理变形可得，由B的范围分析可得答案；（2）结合题意，根据余弦定理分析可得49=a2+c2+ac，又由a+c=8，变形可得ac=15，由三角形面积公式计算可得答案．‎ 详解：‎ ‎（1）∵，∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴ ，‎ ‎∴，∴.‎ ‎（2）根据余弦定理可知，∴，‎ 又因为，∴，∴，∴，‎ 则.‎ 点睛：本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现 及 、 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.‎ ‎19．某学校为了解高三年级学生寒假期间的学习情况，抽取甲、乙两班，调查这两个班的学生在寒假期间每天平均学习的时间（单位：小时），统计结果绘成频率分别直方图（如图）．已知甲、乙两班学生人数相同，甲班学生每天平均学习时间在区间的有8人．‎ ‎（I）求直方图中的值及甲班学生每天平均学习时间在区间的人数；‎ ‎（II）从甲、乙两个班每天平均学习时间大于10个小时的学生中任取4人参加测试，设4人中甲班学生的人数为，求的分布列和数学期望．‎ ‎【答案】（I），甲班学习时间在区间的人数为人；‎ ‎（II）的分布列为：‎ ‎.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（I）由频率分布直方图中频率之和即各小矩形面积之和为列出方程，可求的值；先由甲班学习时间在区间的有人，计算甲班的学生人数为，用甲班总人数乘以学习时间在区间的频率即可；（II）先计算乙班学习时间在区间的人数为人，由（I）知甲班学习时间在区间 的人数为3人，两班中学习时间大于小时的同学共人，分别计算从这人中选取人甲班人数分别为时的概率，即可得到概率分布列及期望.‎ 试题解析： （I）由直方图知，，解得，‎ 因为甲班学习时间在区间的有8人，所以甲班的学生人数为.‎ 所以甲、乙两班人数均为40人，所以甲班学习时间在区间的人数为（人）.‎ ‎（II）乙班学习时间在区间的人数为（人）.‎ 由（I）知甲班学习时间在区间的人数为3人.在两班中学习时间大于10小时的同学共7人，的所有可能取值为0,1,2,3.‎ ‎，，，.‎ 所以随机变量的分布列为：‎ ‎. ‎ 考点：1.频率分布直方图；2.用样本估计总体；3.离散型随机变量的概率分布列与期望.‎ ‎【名师点睛】本题考查频率分布直方图、用样本估计总体、离散型随机变量的概率分布列与期望，属中档题；离散型随机变量的均值与方差是高中数学的重要内容，也是高考命题的热点，高考对离散型随机变量的均值与方差的考查主要有以下几个命题角度：1.已知离散型随机变量符合条件，求均值与方差；2.已知离散型随机变量的均值与方差，求参数值；3.已知离散型随机变量满足两种（或两种以上）方案，试作出判断.‎ ‎20．在直四棱柱中， ， ， ， ， .‎ ‎（1）证明： ；‎ ‎（2）求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎【答案】(1)证明见解析.‎ ‎(2) .‎ ‎【解析】试题分析：(1)先根据条件建立空间直角坐标系,设立各点坐标,得两直线方向向量,利用向量数量积得两向量垂直(2)先利用方程组得平面法向量,根据向量数量积求得两向量夹角余弦值,最后根据线面角正弦值与两向量夹角余弦值绝对值相等,得结果 试题解析：以方向分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系. ‎ 则 ‎（Ⅰ）‎ ‎ ‎ ‎（Ⅱ）设平面的法向量为 ‎， ‎ 则 ‎ 设直线与平面所成角为 ‎ 直线与平面所成角的正弦值为 ‎21．已知焦点在轴上的椭圆，其焦距为，长轴长为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）是坐标原点，直线： 与椭圆交于不同的、两点，求面积的最大值.‎ ‎【答案】(1) .‎ ‎(2) .‎ ‎【解析】试题分析：(1) 焦点在轴上，设椭圆的方程为，由题意得，即得a,c即可得方程；（2）由整理得，设，则，表示弦长及到的距离，‎ 则利用均值不等式即求解.‎ 试题解析：‎ ‎(1)∵焦点在轴上，‎ ‎∴设椭圆的方程为 由题意得，∴‎ ‎∴‎ ‎∴所求椭圆的方程为.‎ ‎（2）由整理得，‎ 设，‎ 则 ‎∴，‎ 又到的距离 ‎，‎ ‎（当且仅当即时取等号）‎ ‎∴所求面积的最大值为.‎ 点睛：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次的根与系数、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，最后求面积的最值涉及分式求最值的类型，通常用均值不等式，分离常数，换元，求导等方法.‎ ‎22．已知函数.‎ ‎（1）若，求在处的切线方程；‎ ‎（2）若在区间上恰有两个零点，求的取值范围.‎ ‎【答案】(1) .‎ ‎(2) .‎ ‎【解析】试题分析：（1）求出，利用导数的几何意义求切线斜率为，根据点斜式可得切线方程；（2）利用导数求出函数的极大值和极小值，利用在区间上恰有两个零点列不等式组，求解不等式组即可求的取值范围.‎ 试题解析：（1）由已知得,‎ 若时，有， , ‎ ‎∴在处的切线方程为： ，化简得.‎ ‎（2）由（1）知，‎ 因为且，令，得 所以当时，有，则是函数的单调递减区间；、‎ 当时，有，则是函数的单调递增区间． 9分 若在区间上恰有两个零点，只需，即,‎ 所以当时， 在区间上恰有两个零点.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查利用导数求曲线切线以及利用导数研究函数零点问题，属于难题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点 出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在 处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程.‎