2018届高三数学一轮复习： 第2章 第7节 函数的图象

2018届高三数学一轮复习： 第2章 第7节 函数的图象

第七节　函数的图象 ‎[考纲传真]　会运用基本初等函数的图象分析函数的性质．‎ ‎1．利用描点法作函数的图象 方法步骤：(1)确定函数的定义域；‎ ‎(2)化简函数的解析式；‎ ‎(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、最值等)；‎ ‎(4)描点连线．‎ ‎2．利用图象变换法作函数的图象 ‎(1)平移变换 ‎(2)对称变换 ‎①y＝f(x)的图象y＝－f(x)的图象；‎ ‎②y＝f(x)的图象y＝f(－x)的图象；‎ ‎③y＝f(x)的图象y＝－f(－x)的图象；‎ ‎④y＝ax(a＞0且a≠1)的图象y＝logax(a＞0且a≠1)的图象．‎ ‎(3)伸缩变换 ‎①y＝f(x)的图象 y＝f(ax)的图象；‎ ‎②y＝f(x)的图象 y＝af(x)的图象．‎ ‎(4)翻转变换 ‎①y＝f(x)的图象y＝|f(x)|的图象；‎ ‎②y＝f(x)的图象y＝f(|x|)的图象．‎ ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)函数y＝f(1－x)的图象，可由y＝f(－x)的图象向左平移1个单位得到．(　　)‎ ‎(2)函数y＝f(x)的图象关于y轴对称即函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称．(　　)‎ ‎(3)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝f(|x|)的图象与y＝|f(x)|的图象相同．(　　)‎ ‎(4)若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．(　　)‎ ‎[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√‎ ‎2．(教材改编)甲、乙二人同时从A地赶往B地，甲先骑自行车到两地的中点再改为跑步，乙先跑步到中点再改为骑自行车，最后两人同时到达B地．已知甲骑车比乙骑车的速度快，且两人骑车速度均大于跑步速度．现将两人离开A地的距离s与所用时间t的函数关系用图象表示，则下列给出的四个函数图象中，甲、乙的图象应该是(　　)‎ ‎①　　　　　　　②　　　　　　③　　　　　　④‎ 图271‎ A．甲是图①，乙是图②　 B.甲是图①，乙是图④‎ C．甲是图③，乙是图② D.甲是图③，乙是图④‎ B　[设甲骑车速度为V甲骑，甲跑步速度为V甲跑，乙骑车速度为V乙骑，乙跑步速度为V乙跑，依题意V甲骑＞V乙骑＞V乙跑＞V甲跑，故选B.]‎ ‎3．函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y＝ex关于y轴对称，则f(x)＝(　　)‎ A．ex＋1 B.ex－1‎ C．e－x＋1 D.e－x－1‎ D　[依题意，与曲线y＝ex关于y轴对称的曲线是y＝e－x，于是f(x)相当于y＝e－x向左平移1个单位的结果，∴f(x)＝e－(x＋1)＝e－x－1.]‎ ‎4．(2016·浙江高考)函数y＝sin x2的图象是(　　)‎ D　[∵y＝sin(－x)2＝sin x2，‎ ‎∴函数为偶函数，可排除A项和C项；当x＝时，sin x2＝sin ≠1，排除B项，故选D.]‎ ‎5．若关于x的方程|x|＝a－x只有一个解，则实数a的取值范围是________. ‎ ‎【导学号：01772055】‎ ‎ (0，＋∞)　[在同一个坐标系中画出函数y＝|x|与y＝a－x的图象，如图所示．由图象知当a＞0时，方程|x|＝a－x只有一个解．]‎ 作函数的图象 ‎　作出下列函数的图象：‎ ‎(1)y＝|x|；(2)y＝|log2(x＋1)|；‎ ‎(3)y＝；(4)y＝x2－2|x|－1.‎ ‎[解]　(1)先作出y＝x的图象，保留y＝x图象中x≥0的部分，再作出y＝x的图象中x＞0部分关于y轴的对称部分，即得y＝|x|的图象，如图①实线部分.3分 ‎①　　　　　　　　　　　②‎ ‎(2)将函数y＝log2x的图象向左平移一个单位，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y＝|log2(x＋1)|的图象，如图②.6分 ‎(3)∵y＝2＋，故函数图象可由y＝图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，如图③.9分 ‎③　　　　　　　　　　　④‎ ‎(4)∵y＝且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，得图象如图④.12分 ‎[规律方法]　画函数图象的一般方法 ‎(1)直接法．当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征直接作出；‎ ‎(2)图象变换法．若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出．‎ 易错警示：注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．‎ ‎[变式训练1]　分别画出下列函数的图象：‎ ‎(1)y＝|lg x|；(2)y＝sin|x|.‎ ‎[解]　(1)∵y＝|lg x|＝ ‎∴函数y＝|lg x|的图象，如图①.6分 ‎(2)当x≥0时，y＝sin|x|与y＝sin x的图象完全相同，又y＝sin|x|为偶函数，图象关于y轴对称，其图象如图②.12分 识图与辨图 ‎ (1)(2016·全国卷Ⅰ)函数y＝2x2－e|x|在[－2,2]的图象大致为(　　)‎ 图272‎ ‎(2)(2015·全国卷Ⅱ)如图272，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点．点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝x.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f(x)，则y＝f(x)的图象大致为(　　)‎ A　　　　　B　　　　　C　　　　　D ‎(1)D　(2)B　[(1)∵f(x)＝2x2－e|x|，x∈[－2,2]是偶函数，又f(2)＝8－e2∈(0,1)，故排除A，B.设g(x)＝2x2－ex，则g′(x)＝4x－ex.又g′(0)＜0，g′(2)＞0，∴g(x)在(0,2)内至少存在一个极值点，∴f(x)＝2x2－e|x|在(0,2)内至少存在一个极值点，排除C.故选D.‎ ‎(2)当点P沿着边BC运动，即0≤x≤时，‎ 在Rt△POB中，|PB|＝|OB|tan∠POB＝tan x，‎ 在Rt△PAB中，|PA|＝＝，‎ 则f(x)＝|PA|＋|PB|＝＋tan x，它不是关于x的一次函数，图象不是线段，故排除A和C；‎ 当点P与点C重合，即x＝时，由上得f＝＋tan＝＋1，又当点P 与边CD的中点重合，即x＝时，△PAO与△PBO是全等的腰长为1的等腰直角三角形，故f＝|PA|＋|PB|＝＋＝2，知f＜f，故又可排除D.综上，选B.]‎ ‎[规律方法]　函数图象的识辨可从以下方面入手：‎ ‎(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；‎ ‎(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；‎ ‎(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；‎ ‎(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复；‎ ‎(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象．‎ 图273‎ ‎[变式训练2]　(1)已知函数f(x)的图象如图273所示，则f(x)的解析式可以是(　　)‎ A．f(x)＝ B．f(x)＝ C．f(x)＝－1‎ D．f(x)＝x－ ‎(2)(2016·河南平顶山二模)函数y＝a＋sin bx(b＞0且b≠1)的图象如图274所示，那么函数y＝logb(x－a)的图象可能是(　　)‎ 图274‎ ‎(1)A　(2)C　[(1)由函数图象可知，函数f(x)为奇函数，应排除B，C.若函数为f(x)＝x－，则x→＋∞时，f(x)→＋∞，排除D，故选A.‎ ‎(2)由题图可得a＞1，且最小正周期T＝＜π，所以b＞2，则y＝logb(x－a)是增函数，排除A和B；当x＝2时，y＝logb(2－a)＜0，排除D，故选C.]‎ 函数图象的应用 ‎☞角度1　研究函数的性质 ‎　已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是(　　)‎ A．f(x)是偶函数，递增区间是(0，＋∞)‎ B．f(x)是偶函数，递减区间是(－∞，1)‎ C．f(x)是奇函数，递减区间是(－1,1)‎ D．f(x)是奇函数，递增区间是(－∞，0)‎ C　[将函数f(x)＝x|x|－2x去掉绝对值得f(x)＝画出函数f(x)的图象，如图，观察图象可知，函数f(x)的图象关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．]‎ ‎☞角度2　确定函数零点的个数 ‎　已知f(x)＝则函数y＝‎2f2(x)－‎3f(x)＋1的零点个数是________．‎ ‎5　[方程‎2f2(x)－‎3f(x)＋1＝0的解为f(x)＝或1.作出y＝f(x)的图象，‎ 由图象知零点的个数为5.]‎ ‎☞角度3　求参数的值或取值范围 ‎　(2016·浙江杭州五校联盟一诊)若直角坐标平面内两点P，Q满足条件：①P，Q都在函数y＝f(x)的图象上；②P，Q关于原点对称，则称(P，Q)是函数y＝f(x)的一个“伙伴点组”(点组(P，Q)与(Q，P)看作同一个“伙伴点组”)．已知函数f(x)＝有两个“伙伴点组”，则实数k的取值范围是(　　)‎ A．(－∞，0)　　　　　 B.(0,1)‎ C. D.(0，＋∞)‎ B　[根据题意可知，“伙伴点组”的点满足：‎ 都在函数图象上，且关于坐标原点对称．‎ 可作出函数y＝－ln(－x)(x<0)关于原点对称的函数y＝ln x(x>0)的图象，‎ 使它与直线y＝kx－1(x>0)的交点个数为2即可．‎ 当直线y＝kx－1与y＝ln x的图象相切时，设切点为(m，ln m)，又y＝ln x的导数为y′＝，‎ 即km－1＝ln m，k＝，解得m＝1，k＝1，‎ 可得函数y＝ln x(x>0)的图象过(0，－1)点的切线的斜率为1，‎ 结合图象可知k∈(0,1)时两函数图象有两个交点．故选B.]‎ ‎☞角度4　求不等式的解集 ‎　函数f(x)是定义在[－4,4]上的偶函数，其在[0,4]上的图象如图275所示，那么不等式＜0的解集为________．‎ 图275‎ ∪　[在上，y＝cos x＞0，在上，y＝cos x＜0.‎ 由f(x)的图象知在上＜0，‎ 因为f(x)为偶函数，y＝cos x也是偶函数，‎ 所以y＝为偶函数，‎ 所以＜0的解集为∪.]‎ ‎[规律方法]　函数图象应用的常见题型与求解方法 ‎(1)研究函数性质：‎ ‎①‎ 根据已知或作出的函数图象，从最高点、最低点，分析函数的最值、极值．‎ ‎②从图象的对称性，分析函数的奇偶性．‎ ‎③从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性．‎ ‎④从图象与x轴的交点情况，分析函数的零点等．‎ ‎(2)研究方程根的个数或由方程根的个数确定参数的值(范围)：构造函数，转化为两函数图象的交点个数问题，在同一坐标系中分别作出两函数的图象，数形结合求解．‎ ‎(3)研究不等式的解：当不等式问题不能用代数法求解，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解．‎ ‎[思想与方法]‎ ‎1．识图：对于给定函数的图象，要从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性，注意图象与函数解析式中参数的关系．‎ ‎2．用图：借助函数图象，可以研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等性质．利用函数的图象，还可以判断方程f(x)＝g(x)的解的个数，求不等式的解集等．‎ ‎[易错与防范]‎ ‎1．图象变换是针对自变量x而言的，如从f(－2x)的图象到f(－2x＋1)的图象是向右平移个单位，先作如下变形f(－2x＋1)＝f，可避免出错．‎ ‎2．明确一个函数的图象关于y轴对称与两个函数的图象关于y轴对称的不同，前者是自身对称，且为偶函数，后者是两个不同函数的对称关系．‎ ‎ 3．当图形不能准确地说明问题时，可借助“数”的精确，注重数形结合思想的运用．‎