甘肃省武威市民勤县第一中学2018-2019学年高二上学期期末考试数学（理）试题

甘肃省武威市民勤县第一中学2018-2019学年高二上学期期末考试数学（理）试题

民勤一中2018-2019学年度第一学期期末考试试卷 高二数学(理)‎ 一､选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.)‎ ‎1.命题“∃x0∈R,2x0－3>‎1”‎的否定是(　　)‎ A. ∃x0∈R,2x0－3≤1 B. ∀x∈R,2x－3>1‎ C. ∀x∈R,2x－3≤1 D. ∃x0∈R,2x0－3>1‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 特称命题的否定是全称命题,故选.‎ ‎2.若双曲线=的一个焦点是,则的值是 A. -1 B. ‎1 ‎C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 双曲线=的标准方程为,‎ ‎∵焦点在轴上,∴,且,‎ ‎∴‎ 故选A．‎ ‎3.以双曲线的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意知抛物线的顶点为（0，0），焦点为（3，0），即可得到抛物线方程．‎ ‎【详解】双曲线1的中心为O（0，0），‎ 该双曲线的右焦点为F（3，0），‎ ‎∴抛物线的顶点为（0，0），‎ 焦点为（3，0），‎ ‎∴p＝6，‎ ‎∴抛物线方程是y2＝12x．‎ 故选A．‎ ‎【点睛】本题考查圆锥曲线的基本性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用．‎ ‎4.若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ）‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：记，因为是的充分而不必要条件，所以Ü，所以解得.故选A.‎ 考点：充分条件、必要条件、充要条件.‎ ‎【方法点睛】集合判断法：从集合的观点看，建立命题，相应的集合：：，：，那么：①若，则是的充分条件；若Ü时，则是的充分不必要条件；②若，则是的必要条件；若Ü时，则是的必要不充分条件；③若且，即时，则是的充要条件.本题考查充分条件、必要条件、充要条件的判断，其中分别求出满足Ü的 的取值范围是解答本题的关键.属于基础题.‎ ‎5.已知△ABC的周长为20，且顶点B （0，﹣4），C （0，4），则顶点A的轨迹方程是（　　）‎ A. （x≠0） B. （x≠0）‎ C. （x≠0） D. （x≠0）‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三角形的周长和定点，得到点A到两个定点的距离之和等于定值，得到点A的轨迹是椭圆，椭圆的焦点在y轴上，写出椭圆的方程，去掉不合题意的点．‎ ‎【详解】解：∵△ABC的周长为20，顶点B （0，﹣4），C （0，4），‎ ‎∴BC＝8，AB+AC＝20﹣8＝12，‎ ‎∵12＞8‎ ‎∴点A到两个定点的距离之和等于定值，‎ ‎∴点A的轨迹是椭圆，‎ ‎∵a＝6，c＝4‎ ‎∴b2＝20，‎ ‎∴椭圆的方程是 故选B．‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的定义，注意椭圆的定义中要检验两个线段的大小，看能不能构成椭圆，本题是一个易错题，容易忽略掉不合题意的点．‎ ‎6.如果椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用椭圆的点差法求出弦的斜率，再根据直线的点斜式方程进行求解即可.‎ ‎【详解】设是椭圆被点平分的弦.‎ 设，因此有.‎ 因为是椭圆的弦，所以有，得：‎ ‎，‎ 因为，弦的斜率为，所以，‎ 因此弦的方程为：.‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查了椭圆的点差法，考查了数学运算能力，属于基础题.‎ ‎7.已知命题p：“x∈R时，都有x2－x＋<‎0”‎；命题q：“存在x∈R，使sinx＋cosx＝成立”．则下列判断正确的是（ ）‎ A. p∨q为假命题 B. p∧q为真命题 C. 非p∧q为真命题 D. 非p∨非q是假命题 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：：∵任意x∈R时，都有x2-x+=（x−）2≥0，‎ ‎∴p是假命题；‎ ‎∵sinx+cosx=sin（x+），当x=时，sinx+cosx=，‎ ‎∴q是真命题，‎ ‎∴p∨q是真命题，非pq为真命题，故选C 考点：复合命题的真假 ‎8.已知点在抛物线上，那么点到点的距离与点到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点的坐标为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：抛物线焦点为F（1,0），准线为，作垂直于准线，垂足为根据抛物线定义： ，，根据三角形两边距离之和大于第三边，直角三角形斜边大于直角边知：的最小值是点到抛物线准线的距离；所以点纵坐标为1，则横坐标为,即，故选A 考点：抛物线的定义及几何性质的运用.‎ ‎9.如图，棱长为1的正方体，是底面的中心，则到平面的距离是（ ）‎ ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析】‎ 如图建立空间直角坐标系，可证明平面，故平面的一个法向量为：，利用点到平面距离的向量公式即得解.‎ ‎【详解】 ‎ 如图建立空间直角坐标系，则：‎ ‎ ‎ 由于平面平面 ‎，又，‎ 平面 故平面的一个法向量为：‎ 到平面的距离为：‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查了点到平面距离的向量表示，考查了学生空间想象，概念理解，数学运算的能力，属于中档题.‎ ‎10.如图，正方体的棱长为2，点是平面上的动点，点在棱上， 且，且动点到直线的距离与点到点的距离的平方差为4，则动点的轨迹是（ ）‎ A. 圆 B. 抛物线 C. 双曲线 D. 直线 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：如图所示：正方体中，作PQ⊥AD，Q为垂足，则PQ⊥面，过点Q作QR⊥，则⊥面PQR，PR即为点P到直线的距离，由题意可得．‎ 又已知，∴PM=PQ，即P到点M的距离等于P到AD的距离，根据抛物线的定义可得，点P的轨迹是抛物线 考点：抛物线的定义 ‎11.如图，将边长为1的正方形沿对角线折成直二面角，若点满足，则的值为（ ）‎ A. B. ‎2 ‎C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据二面角的定义，结合勾股定理求出的长，最后根据平面向量的模的定义，结合平面向量数量积的运算性质进行求解即可.‎ ‎【详解】取的中点为，连接，由正方形的性质可知：，所以为二面角的平面角，由题意可知：，因为，所以.‎ ‎，‎ 所以.‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查了求平面向量模的大小，考查了二面角的定义，考查了平面向量数量积的运算，考查了推理论证能力和数学运算能力.‎ ‎12.已知是以，为焦点的椭圆上一点，若且，则椭圆的离心率为（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】∵点是以，为焦点的椭圆上一点，‎ ‎，，‎ ‎∴，设，则．‎ 由椭圆定义可知，∴，‎ ‎∴，则．‎ 由勾股定理知，即，‎ 计算得出，∴．‎ 故选．‎ 点睛：椭圆的离心率是椭圆重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．‎ 二､填空题：(本大题共4小题，每小题3分，共12分)‎ ‎13.已知向量，且A、B、C三点共线，则k= ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎；因为A、B、C三点共线，所以 ‎；于是解得 ‎14.已知抛物线y2＝4x，过点Q(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则的最小值是________.‎ ‎【答案】32‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 联立直线与抛物线方程，利用韦达定理，将表示成一个函数，‎ 求函数的最小值即可 ‎【详解】设过点的直线方程为：，‎ 由，得：，所以，，‎ 所以==，当时，‎ ‎【点睛】合理设出过Q(4,0)的直线方程，从而简化运算，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理，可以将问题转化成函数的最小值问题，‎ ‎15.直角坐标平面中，若定点与动点满足，则点的轨迹方程是________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设点，则，由，所以，代入，即可求解。‎ ‎【详解】设点，则，可得，‎ 因，所以，即，‎ 所以点的轨迹方程为。‎ 故答案为：。‎ ‎【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算，以及轨迹方程的求解，其中解答中熟练应用向量的数量积的运算公式，准确计算即可求解，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。‎ ‎16.有下列命题：（1）双曲线与椭圆有相同的焦点；（2）“”是“”的必要不充分条件；（3）若向量与向量共线，则向量，所在直线平行；（4）若､､三点不共线，是平面外一点，‎ ‎，则点一定在平面上；其中是真命题的是______(填上正确命题的序号)‎ ‎【答案】（1）（4）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）分别求出双曲线和椭圆焦点坐标进行判断即可；‎ ‎（2）先解一元二次不等式，然后根据必要不充分条件的定义进行判断即可；‎ ‎（3）根据共线向量的定义进行判断即可；‎ ‎（4）根据共面向量的定义进行判断即可.‎ ‎【详解】（1）的焦距为，因此焦点坐标为：；‎ 的焦距为，因此焦点坐标为：，所以该命题是真命题；‎ ‎（2），显然由，能推出，但由不一定能推出，故“”是“”的充分不必要条件，故该命题是假命题；‎ ‎（3）因为向量与向量共线，所以向量，所在直线平行或重合（在一条直线上），故该命题是假命题；‎ ‎（4），即，因此点一定在平面上，故该命题是真命题.‎ 故答案为：（1）（4）‎ ‎【点睛】本题考查了双曲线和椭圆的坐标，考查了共线向量和共面向量的定义，考查了必要不条件的判断，属于基础题.‎ 三､解答题(本题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤)‎ ‎17.已知，，.‎ ‎（1）若，求的值；‎ ‎（2）若，求的值.‎ ‎【答案】（1）-6‎ ‎（2）-4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用向量共线的坐标表示，即得解；‎ ‎（2）利用向量加法和向量垂直的坐标表示，即得解；‎ ‎【详解】解：（1），‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ ‎（2），‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】本题考查了向量平行，加法，数量积的坐标表示，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.‎ ‎18.已知命题p：方程表示焦点在y轴上的椭圆；命题q：，‎ ‎.若为真，求m的取值范围．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：‎ 分别求出当命题p，q均为真命题时参数m的取值范围，由为真可得的取值范围．‎ 试题解析：‎ 当命题p为真时可得 ‎∴：．‎ 当命题q为真时可得，‎ 解得．‎ ‎∵为真，‎ ‎∴，解得．‎ ‎∴实数的取值范围是．‎ ‎19.‎ 已知椭圆C的两焦点分别为，长轴长为6．‎ ‎⑴求椭圆C的标准方程; ⑵已知过点（0，2）且斜率为1的直线交椭圆C于A 、B两点,求线段AB的长度．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由焦点坐标可求c值，a值，然后可求出b的值．进而求出椭圆C的标准方程．‎ ‎（2）先求出直线方程然后与椭圆方程联立利用韦达定理及弦长公式求出|AB|的长度．‎ ‎【详解】解：⑴由，长轴长为6‎ 得：所以 ‎∴椭圆方程为 ‎⑵设,由⑴可知椭圆方程为①,‎ ‎∵直线AB的方程为②‎ 把②代入①得化简并整理得 所以 又 ‎【点睛】本题考查椭圆的方程和性质，考查韦达定理及弦长公式的应用，考查运算能力，属于中档题．‎ ‎20.如图，四边形为正方形，平面，，.‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）证明见解析.（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 以为坐标原点，线段的长为单位长，射线为轴的正半轴建立空间直角坐标系.‎ ‎（1）求出相应点的坐标，根据线面垂直的判断定理、面面垂直的判定定理，结合空间向量数量积的坐标运算公式进行证明即可；‎ ‎（2）利用空间向量夹角公式，结合平面法向量的求法进行求解即可.‎ ‎【详解】如图，‎ 以为坐标原点，线段的长为单位长，射线为轴的正半轴建立空间直角坐标系.‎ ‎（1）证明：依题意有，，，‎ 则，，.‎ 所以，.‎ 即，.‎ 故平面.‎ 又平面，‎ 所以平面平面.‎ ‎（2）依题意有，，.‎ 设是平面的法向量，则 ‎，即.‎ 因此可取.‎ 设是平面的法向量，则 ‎，可取，所以.‎ 故二面角的余弦值为.‎ ‎【点睛】本题考查了用向量法证明面面垂直、求二面角的大小，考查了推理能力和数学运算能力.‎ ‎21.如图，在底面是菱形四棱锥中，，，，点在上，且.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）求以为棱，与为面的二面角的大小 ‎（3）在棱上是否存在一点，使平面？证明你的结论.‎ ‎【答案】（1）证明见解析.（2）.（3）存在；证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据菱形的性质，结合勾股定理的逆定理、线面垂直的判定定理进行证明即可；‎ ‎（2）作交于，根据平行线的性质可以得到平面.‎ 作于，连结.，即为二面角的平面角，通过正切的定义求解即可；‎ ‎（3）以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过点且垂直于面的直线为轴，建立空间直角坐标系，可知轴垂直平分，利用空间向量的共线向量的定义，结合线面垂直的判定定理和性质定理进行求解即可.‎ ‎【详解】（1）证明：因为底面是菱形，，所以.‎ 在中，由，知.同理，.所以平面；‎ ‎（2）解：作交于，由平面，知平面.‎ 作于，连结.因为平面，所以，而，所以平面，而平面，‎ 则，即为二面角的平面角.‎ 又，所以，，.‎ 从而，；‎ ‎（3）由（1）知平面，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过点且垂直于面直线为轴，建立空间直角坐标系，可知轴垂直平分.‎ 则，，，.‎ 设；‎ ‎∴.‎ 设为平面的法向量，‎ 则有：.‎ 令得.‎ 若平面，则有，‎ ‎∴.‎ 解得，此时为的中点.‎ 因此在棱上存在一点，使平面.‎ ‎【点睛】本题考查了线面垂直的证明，考查了二面角的求法，考查了线面平行的判断，考查了数学推理认证能力和数学运算能力.‎ ‎22.已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在轴上,椭圆C上的点到焦点的距离的最大值为3,最小值为1.‎ ‎(I)求椭圆C的标准方程;‎ ‎(II)若直线与椭圆C相交于A,B两点(A,B不是左右顶点),且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点.求证:直线过定点,并求出该定点的坐标.‎ ‎【答案】(I)‎ ‎(II) 直线过定点，定点坐标为 ‎【解析】‎ 解：(I)由题意设椭圆的标准方程为 ‎，‎ ‎(II)设，由得 ‎，‎ ‎，.‎ 以AB为直径的圆过椭圆的右顶点，‎ ‎，，‎ ‎，‎ ‎，解得 ‎，且满足.‎ 当时，，直线过定点与已知矛盾；‎ 当时，，直线过定点 综上可知，直线过定点，定点坐标为 ‎ ‎