2021届课标版高考理科数学大一轮复习课件：2-2 函数的基本性质（讲解部分）
考点一 函数的单调性及最值
考点清单
考向基础
1.函数的单调性
增函数
减函数
定义
一般地,设函数
f
(
x
)的定义域为
I
.区间
D
⊆
I
,如果对于任意
x
1
,
x
2
∈
D
,且
x
1
<
x
2
都有
f
(
x
1
)<
f
(
x
2
)
都有
f
(
x
1
)>
f
(
x
2
)
函数
f
(
x
)在区间
D
上是
增函数
函数
f
(
x
)在区间
D
上是
减函数
图象描述
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
注意
(1)单调函数的定义有以下两种等价形式:
∀
x
1
,
x
2
∈[
a
,
b
],且
x
1
≠
x
2
,
(i)
>0
⇔
f
(
x
)在[
a
,
b
]上是增函数;
<0
⇔
f
(
x
)在[
a
,
b
]上是减函数.
(ii)(
x
1
-
x
2
)[
f
(
x
1
)-
f
(
x
2
)]>0
⇔
f
(
x
)在[
a
,
b
]上是增函数;
(
x
1
-
x
2
)[
f
(
x
1
)-
f
(
x
2
)]<0
⇔
f
(
x
)在[
a
,
b
]上是减函数.
(2)单调区间
只能用区间表示
,当一个函数的增区间(或减区间)有多个时,
不
能用“
∪
”连接
,而
应该用“和”或“,”连接
.例如:
y
=
的单调减区间为
(-
∞
,0)和(0,+
∞
),但不能写成(-
∞
,0)
∪
(0,+
∞
).
2.函数的最值
前提
一般地,设函数
y
=
f
(
x
)的定义域为
I
,如果存在实数
M
满足
条件
(1)对于任意的
x
∈
I
,都有
f
(
x
)
≤
M
(2)存在
x
0
∈
I
,使得
f
(
x
0
)=
M
(1)对于任意的
x
∈
I
,都有
f
(
x
)
≥
M
(2)存在
x
0
∈
I
,使得
f
(
x
0
)=
M
结论
M
是
f
(
x
)的
最大
值
M
是
f
(
x
)的
最小
值
考向突破
考向一 函数单调性的判断
例1
(2019广东潮州期末教学质量检测,5)下列函数在区间(0,1)上为单调
递增函数的是
( )
A.
y
=-
x
3
+1 B.
y
=cos
x
C.
y
=lo
x
D.
y
=
x
-
解析
y
=-
x
3
+1,
y
=cos
x
,
y
=lo
x
在(0,1)上都为单调递减函数,
y
=
x
-
在(0,1)上
为单调递增函数.故选D.
答案
D
考向二 函数单调性的应用
例2
(2019广东清远期末,7)已知函数
f
(
x
)在R上单调递减,且
a
=3
3.1
,
b
=
,
c
=ln
,则
f
(
a
),
f
(
b
),
f
(
c
)的大小关系为
( )
A.
f
(
a
)>
f
(
b
)>
f
(
c
) B.
f
(
b
)>
f
(
c
)>
f
(
a
)
C.
f
(
c
)>
f
(
a
)>
f
(
b
) D.
f
(
c
)>
f
(
b
)>
f
(
a
)
解析
因为
a
=3
3.1
>3
0
=1,0<
b
=
<
=1,
c
=ln
f
(
b
)>
f
(
a
),故选D.
答案
D
考点二 函数的奇偶性
考向基础
函数奇偶性的定义及性质
前提(必
要条件)
奇偶性
满足的充要条件
图象特征
特性
单调性
函数
f
(
x
)的定义域关于原点
对称
奇函数
对定义域中任意的
x
, 都有
f
(-
x
)
=-
f
(
x
)
关于原点
对称
(1)如果定义域中包含0,那么
f
(0)=0.
(2)若函数在关于原点对称的区域上有最值,
则
f
(
x
)
max
+
f
(
x
)
min
=0
在关于原点对称的区间上单调性
相同
偶函数
对定义域中任意的
x
, 都有
f
(-
x
)=
f
(
x
)
关于
y
轴
对称
f
(
x
)=
f
(|
x
|)
在关于原点对称的区间上单调性
相反
注意
既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型,即
f
(
x
)=0,
x
∈
D
.其中定
义域
D
是关于原点对称的非空数集.
考向突破
考向一 奇偶性的判断
例1
(2018河南郑州第二次质量预测,9)已知
y
=
f
(
x
)满足
f
(
x
+1)+
f
(-
x
+1)=2,则
以下四个选项一定正确的是
( )
A.
f
(
x
-1)+1是偶函数
B.
f
(-
x
+1)+1是奇函数
C.
f
(
x
+1)+1是偶函数
D.
f
(
x
+1)-1是奇函数
解析
根据题中条件可知函数
f
(
x
)的图象关于点(1,1)中心对称,故
f
(
x
+1)的
图象关于点(0,1)中心对称,则
f
(
x
+1)-1的图象关于点(0,0)中心对称,所以
f
(
x
+
1)-1是奇函数.故选D.
答案
D
考向二 函数的奇偶性及其应用
例2
(2018安徽合肥第二次教学质量检测,6)已知函数
f
(
x
)=
是奇函
数,则
f
(
a
)的值等于
( )
A.-
B.3 C.-
或3 D.
或3
解析
因为
f
(
x
)为奇函数,所以
f
(-
x
)=-
f
(
x
),
即
=-
,
整理可得
=
,
即(
a
2
-1)·2
x
=0,则
a
2
=1,∴
a
=
±
1.
当
a
=1时,函数的解析式为
f
(
x
)=
,
f
(
a
)=
f
(1)=
=-
;
当
a
=-1时,函数的解析式为
f
(
x
)=
,
f
(
a
)=
f
(-1)=
=3.
综上可得,
f
(
a
)的值等于-
或3.
答案
C
考点三 函数的周期性
考向基础
1.周期函数的概念
对于函数
f
(
x
),如果存在一个非零常数
T
,使得当
x
取定义域内的任何值时,都
有
f
(
x
+
T
)=
f
(
x
)
,那么函数
f
(
x
)叫做周期函数,非零常数
T
叫
f
(
x
)的周期.如果所
有的周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫
f
(
x
)的最小正周
期.
注意
并不是所有的周期函数都有最小正周期,如
f
(
x
)=5.
2.关于函数周期性的几个常用结论
(1)若
f
(
x
+
a
)=
f
(
x
+
b
)(
a
≠
b
),则
f
(
x
)的周期是
T
=|
a
-
b
|
.
(2)若
f
(
x
+
a
)=-
f
(
x
),则
f
(
x
)的周期是
T
=2|
a
|
.
(3)若
f
(
x
+
a
)=
或
f
(
x
+
a
)= -
,其中
f
(
x
)
≠
0,则
f
(
x
)的周期是
T
=2|
a
|
.
(4)设
f
(
x
)是R上的偶函数,且图象关于直线
x
=
a
(
a
≠
0)对称,则
f
(
x
)是周期函数,
2|
a
|是它的一个周期.
(5)设
f
(
x
)是R上的奇函数,且图象关于直线
x
=
a
(
a
≠
0)对称,则
f
(
x
)是周期函数,
4|
a
|是它的一个周期.
考向突破
考向 函数的周期性及其应用
例
(2019江西临川第一中学期末,4)已知函数
f
(
x
)是定义在R上的奇函数,
对任意的实数
x
,
f
(
x
-2)=
f
(
x
+2),当
x
∈(0,2)时,
f
(
x
)=-
x
2
,则
f
=
( )
A.-
B.-
C.
D.
解析
因为
f
(
x
-2)=
f
(
x
+2),所以
f
(
x
)=
f
(
x
+4),所以
f
(
x
)是周期为4的函数,所以
f
=
f
=
f
,又函数
f
(
x
)是定义在R上的奇函数,所以
f
=-
f
=
-
=
, 所以
f
=
.故选D.
答案
D
方法1
函数单调性的判定及应用问题的解题方法
1.函数单调性的判断方法
(1)利用已知函数的单调性.
(2)定义法:先求定义域,再利用单调性的定义判断.
(3)图象法:如果
f
(
x
)是以图象形式给出的,或
f
(
x
)的图象易作出,可由图象的
直观性写出它的单调区间.
(4)导数法:利用导数取值的正负确定函数的单调区间.
(5)复合函数
y
=
f
(
g
(
x
))的单调性根据“同增异减”判断.
方法技巧
(6)利用函数的性质:在公共定义域内,若
y
=
f
(
x
),
y
=
g
(
x
)都为增(减)函数,则
y
=
f
(
x
)+
g
(
x
)为增(减)函数;
在公共定义域内,若
y
=
f
(
x
)为增函数,
y
=
g
(
x
)为减函数,则
y
=
f
(
x
)-
g
(
x
)为增函数,
y
=
g
(
x
)-
f
(
x
)为减函数.
2.函数单调性应用问题的常见类型及解题策略
(1)比较大小:比较函数值的大小,应将自变量转化到同一个单调区间内,然
后利用函数的单调性解决.
(2)解不等式:在求解与抽象函数有关的不等式时,往往是利用函数的单调
性将“
f
”符号脱掉,使其转化为具体的不等式求解.此时应特别注意函数
的定义域.
(3)利用单调性求参数:视参数为已知数,依据函数的图象或单调性定义,确
定函数的单调区间,与已知单调区间比较求参数.
例1
(1)(2019河北唐山摸底考试,7)设函数
f
(
x
)=
x
(e
x
+e
-
x
),则
f
(
x
)
( )
A.是奇函数,且在(0,+
∞
)上是增函数
B.是偶函数,且在(0,+
∞
)上是增函数
C.是奇函数,且在(0,+
∞
)上是减函数
D.是偶函数,且在(0,+
∞
)上是减函数
(2)(2019河南郑州第一次(1月)质量预测,8)设函数
f
(
x
)=2ln(
x
+
)+3
x
3
(-2
<
x
<2),则使得
f
(2
x
)+
f
(4
x
-3)>0成立的
x
的取值范围是
( )
A.(-1,1) B.
C.
D.
解析
(1)易知
f
(
x
)的定义域为R,则
f
(-
x
)=-
x
(e
-
x
+e
x
)=-[
x
(e
-
x
+e
x
)]=-
f
(
x
),
∴
f
(
x
)是奇函数.
易证
y
=
x
在(0,+
∞
)上是增函数,
y
>0,
y
=e
x
+e
-
x
在(0,+
∞
)上是增函数,
y
>0,
∴
f
(
x
)在(0,+
∞
)上是增函数,故选A.
(2)由题意知
f
(
x
)的定义域关于原点对称.
f
(-
x
)=2ln(-
x
+
)-3
x
3
=-
f
(
x
),
所以
f
(
x
)为奇函数,
当
x
∈(0,2)时,易知函数
f
(
x
)=2ln(
x
+
)+3
x
3
是增函数,∴函数
f
(
x
)在(-2,2)
上是增函数.
不等式
f
(2
x
)+
f
(4
x
-3)>0可转化为
f
(2
x
)>
f
(3-4
x
),由函数
f
(
x
)在(-2,2)上是增函数
得到
解得
<
x
<1,故选B.
答案
(1)A (2)B
方法2
函数奇偶性的判定及应用问题的解题方法
1.判断函数奇偶性的方法
(1)定义法:利用奇、偶函数的定义或定义的等价形式
=
±
1(
f
(
x
)
≠
0)判
断函数的奇偶性.
(2)图象法:利用函数图象的对称性判断函数的奇偶性.
(3)验证法:判断
f
(
x
)
±
f
(-
x
)是不是0.
2.函数奇偶性的应用
(1)求函数值
将所求函数值对应的自变量利用奇偶性转化到已知解析式的区间中求解.
(2)
求函数解析式
将待求区间上的自变量转化到已知区间上
,
再利用奇偶性求出
,
或充分利用
奇偶性构造关于
f
(
x
)
的方程
(
组
),
从而得到
f
(
x
)
的解析式
.
(3)求函数解析式中参数的值
利用
f
(
x
)
±
f
(-
x
)=0得到关于待求参数的恒等式,由待定系数法求得参数的值
或列方程(组)求参数的值.
例2
(2018江西赣州5月适应性考试,5)已知函数
f
(
x
)=
x
2
-
,则下列判断
正确的是
( )
A.
f
(
x
)是偶函数不是奇函数
B.
f
(
x
)是奇函数不是偶函数
C.
f
(
x
)既是偶函数又是奇函数
D.
f
(
x
)既不是偶函数也不是奇函数
解析
该函数的定义域为R,
f
(-
x
)=(-
x
)
2
-
=
x
2
-
=
=
=
=-
x
2
+
=-
f
(
x
),所以函数
f
(
x
)是奇函数.
f
(1)=1-
=
,
f
(-1)=1-
=-
,则
f
(1)
≠
f
(-1),所以函数
f
(
x
)不是偶函数,故选B.
答案
B
方法3
函数值域的求解方法
1.基本函数法
对于基本函数的值域问题,可通过基本函数的图象、性质直接求解.
2.配方法
对于形如
y
=
ax
2
+
bx
+
c
(
a
≠
0)或
F
(
x
)=
a
[
f
2
(
x
)+
bf
(
x
)+
c
](
a
≠
0)类的函数的值域
问题,可用配方法求解.
3.换元法
利用代数或三角换元,将所给函数转化成易求值域的函数,形如
y
=
的函
数,令
f
(
x
)=
t
;形如
y
=
ax
+
b
±
(
a
,
b
,
c
,
d
均为常数,
ac
≠
0)的函数,令
=
t
;含
结构的函数,可利用三角代换,令
x
=
a
cos
θ
,
θ
∈[0,π]或令
x
=
a
sin
θ
,
θ
∈
.
4.分离常数法
对于形如
y
=
(
ac
≠
0)的函数的值域问题,均可采用此法,将其转化为基
本初等函数,进而求解.
5.基本不等式法
利用基本不等式法求函数值域时,要注意条件“一正、二定、三相等”.如
利用
a
+
b
≥
2
求某些函数值域(或最值)时应满足三个条件:①
a
>0,
b
>0;
②
a
+
b
(或
ab
)为定值;③取等号的条件为
a
=
b
.三个条件缺一不可.
6.函数的单调性法
确定函数在定义域(或定义域的子集)上的单调性,从而求出函数的值域,例
如
f
(
x
)=
ax
+
(
a
>0,
b
>0),当利用基本不等式法等号不能成立时,可考虑用函
数的单调性求解.
例3
求下列函数的值域:
(1)
y
=
;(2)
y
=2
x
-1-
.
解析
(1)分离常数法:
y
=
=
=-1+
,
∵1+2
x
>1,∴0<
<2,
∴-1<-1+
<1,即-1<
<1,
∴函数
y
=
的值域为(-1,1).
(2)解法一:换元法.
令
=
t
,则
t
≥
0,
x
=
,
于是
y
=
g
(
t
)=2·
-1-
t
=-
t
2
-
t
+
=-
(
t
+1)
2
+6,
显然函数
g
(
t
)在[0,+
∞
)上是单调减函数,
所以
g
(
t
)
≤
g
(0)=
,因此原函数的值域是
.
解法二:单调性法.
易知函数的定义域是
.
易证函数
y
=2
x
-1-
在其定义域上是一个单调增函数,所以当
x
=
时,函
数取得最大值
,
故原函数的值域是
.
