北京市第八中学2020届高三下学期自主测试（二）数学试题

北京市第八中学2020届高三下学期自主测试（二）数学试题

北京八中高三数学学习质量自我检测（二）20203.21‎ 一.选择题（本大题共10道小题，每道小题4分，共40分）‎ ‎1.已知集合，则集合（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析】‎ 根据并集的定义求解即可.‎ ‎【详解】‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查了求两个集合的并集，属于基础题.‎ ‎2.在复平面内，复数对应的点位于（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：，在复平面内对应的点的坐标为，位于第三象限，故选C.‎ 考点：1.复数的乘法运算；2.复数的几何意义 ‎3.已知命题p：∀x∈R+，lnx＞0，那么命题为（ ）‎ A. ∃x∈R+，lnx≤0 B. ∀x∈R+，lnx＜0‎ C. ∃x∈R+，lnx＜0 D. ∀x∈R+，lnx≤0‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可.‎ ‎【详解】因为特称命题的否定是全称命题，‎ 故命题“p：∀x∈R+，lnx＞‎0”‎的否定为：∃x∈R+，lnx≤0.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定，要注意两个方面的变化：1.量词，2.结论，属于基础题.‎ ‎4.设，且，则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 取特殊值排除A，B，C，根据函数的单调性即可得出正确答案.‎ ‎【详解】对A项，当时，，故A错误；‎ 对B项，取，时，，不满足，故B错误；‎ 对C项，取，时，，不满足，故C错误；‎ 对D项，函数在上单调递增，，则，故D正确;‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查了不等式的性质，属于基础题.‎ ‎5.已知函数的图象与函数的图象关于轴对称，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由点是函数上任意一点，则点在函数的图像上，列出方程，即可得到正确答案.‎ ‎【详解】设点是函数上任意一点，则点在函数的图像上 即 所以函数的解析式为：‎ 故选：A ‎【点睛】本题主要考查了函数图像对称性，属于中档题.‎ ‎6.已知向量若与共线，则实数（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量共线的坐标表示即可求解.‎ ‎【详解】‎ 因为与共线，所以，解得：‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查了向量共线求参数，属于基础题.‎ ‎7.已知双曲线的离心率为，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据双曲线的性质求出，，根据离心率列出等式求解即可.‎ ‎【详解】，‎ 因为双曲线的离心率为，所以 ‎ 解得：‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查了已知离心率求双曲线方程，属于基础题.‎ ‎8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三视图对应的直观图，结合棱柱的体积公式即可求解.‎ ‎【详解】该三视图对应直观图是三棱柱，如下图所示 所以 ‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查了已知三视图求几何体体积，属于中档题.‎ ‎9.设为非零向量，则“，”是“”的（ ）‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用向量的运算性质不等式的性质证明充分性以及必要性即可.‎ ‎【详解】证充分性 所以，即充分性成立 证必要性 因为 所以，即 则向量反向，即存在，使得 由，则 所以，，即必要性成立 所以 “，”是“”的充分必要条件 故选：C ‎【点睛】本题主要考查了证明充分必要条件等，属于中档题.‎ ‎10.为配合“2019双十二”促销活动，某公司的四个商品派送点如图环形分布，并且公司给四个派送点准备某种商品各50个.根据平台数据中心统计发现，需要将发送给四个派送点的商品数调整为40，45，54，61，但调整只能在相邻派送点进行，每次调动可以调整1件商品.为完成调整，则（ ）‎ A. 最少需要16次调动，有2种可行方案 B. 最少需要15次调动，有1种可行方案 C. 最少需要16次调动，有1种可行方案 D. 最少需要15次调动，有2种可行方案 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意得出有两种可行的方案，即可得出正确选项.‎ ‎【详解】根据题意A，B两处共需向C，D两处调15个商品，这15个商品应给D处11个商品，C处4个商品，按照调动次数最少的原则，有以下两种方案：‎ 方案一：A调动11个给D，B调动1个给A，B调动4个给C，共调动16次；‎ 方案二：A调动10个给D，B调动5个给C，C调动1个给D，共调动16次；‎ 故选：A ‎【点睛】本题主要考查了学生的推理能力，属于中档题.‎ 二、填空题（本大题共5道小题，每道小题5分，共25分）‎ ‎11.在的展开式中，的系数为________．（用数字作答）‎ ‎【答案】40‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据二项式展开定理求解即可.‎ ‎【详解】展开的通项为 ‎ 时，‎ 此时的系数为 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查了由二项式定理求指定项的系数，属于基础题.‎ ‎12.各项均为正数的等比数列中, ,则_______ .‎ ‎【答案】9‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出公比，根据等比数列的前项和公式即可求解.‎ ‎【详解】设等比数列的公比为 因为，所以 ，解得(舍)，‎ ‎ ，‎ 则 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查了求等比数列的前项和公式，属于基础题.‎ ‎13.抛物线上一点到焦点的距离等于4，则=_____；点的坐标为______ .‎ ‎【答案】 (1). 2 (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据焦点坐标求出，根据抛物线的定义求出点M坐标即可.‎ ‎【详解】因为焦点，所以 设点，根据抛物线的定义得：，解得 所以点的坐标为 故答案为：2；‎ ‎【点睛】本题主要考查了求抛物线的标准方程以及考查了抛物线的定义，属于基础题.‎ ‎14.在中, ,则_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据正弦定理角化边以及余弦定理即可求解.‎ ‎【详解】由正弦定理可得 由余弦定理可得 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查了正弦定理角化边以及余弦定理，属于基础题.‎ ‎15.已知函数.‎ ‎①的最大值为________ ；‎ ‎②设当时，取得最大值，则______.‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由辅助角公式以及正弦函数的性质得到的最大值；根据①的结果以及诱导公式化简即可求解.‎ ‎【详解】①， (其中 ，)‎ 当，即时，取最大值 ‎②由题意可知 故答案为：；‎ ‎【点睛】本题主要考查了求正弦型函数的最值等，属于中档题.‎ 三、解答题（本大题共6道小题，共85分）‎ ‎16.已知函数其中.‎ ‎（1）若函数最小正周期为，求的值；‎ ‎（2）若函数在区间上的最大值为，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用倍角公式以及辅助角公式化简函数，根据周期公式求出的值；‎ ‎(2)利用求出，结合正弦函数的性质列出不等式即可求解.‎ ‎【详解】（1）因为 ‎. ‎ 因为的最小正周期为，即 所以.‎ ‎（2）因为，‎ 所以.‎ 若在区间上取到最大值，只需，‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题主要考查了由正弦型函数的周期求值以及由正弦型函数的最值求参数范围，属于中档题.‎ ‎17.为了提高学生的身体素质，某校高一、高二两个年级共336名学生同时参与了“我运动，我健康，我快乐”的跳绳、踢毽等系列体育健身活动.为了了解学生的运动状况，采用分层抽样的方法从高一、高二两个年级的学生中分别抽取7名和5名学生进行测试.下表是高二年级的5名学生的测试数据（单位：个/分钟）：‎ ‎（1）求高一、高二两个年级各有多少人？‎ ‎（2）设某学生跳绳个/分钟，踢毽个/分钟.当，且时，称该学生为“运动达人”.‎ ‎①从高二年级的学生中任选一人，试估计该学生为“运动达人”的概率；‎ ‎②从高二年级抽出的上述5名学生中，随机抽取3人，求抽取的3名学生中为“运动达人”的人数的分布列和数学期望.‎ ‎【答案】（1）196人，140人；（2）①；②分布列见解析，‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)按照比例求解即可；‎ ‎(2) ①根据题意找出高二学生中的“运动达人”的个数，根据概率公式即可求解；‎ ‎②找出可能的取值，算出相应的概率，列出分布列，即可得到的期望.‎ ‎【详解】（1）设高一年级有人，高二年级有人.‎ 采用分层抽样，有.‎ 所以高一年级有人，高二年级有人. ‎ ‎（2）从上表可知，从高二抽取的5名学生中，编号为1，2，5的学生是“运动达人”.‎ 故从高二年级的学生中任选一人，该学生为“运动达人”的概率估计为.‎ ‎（3）的所有可能取值为. ‎ ‎,,.‎ 所以分布列为 ‎ 故的期望.‎ ‎【点睛】本题主要考查了分层抽样各层个数的求法以及求离散型随机变量的均值，属于中档题.‎ ‎18.已知在四棱锥中，底面是边长为的正方形，是正三角形，CD^平面PAD，E,F,G,O分别是PC,PD,BC,AD 的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：PO^平面；‎ ‎（Ⅱ）求平面EFG与平面所成锐二面角的大小；‎ ‎（Ⅲ）线段上是否存在点，使得直线与平面所成角为，若存在，求线段的长度；若不存在，说明理由．‎ ‎【答案】（Ⅰ）证明见解析 （Ⅱ）（Ⅲ）不存在，见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）正三角形中，由平面得到，所以得到面；（Ⅱ）以点为原点建立空间直角坐标系，根据平面的法向量，和平面 的法向量，从而得到平面与平面所成锐二面角的余弦值，再得到所求的角；（Ⅲ）线段上存在满足题意的点，直线与平面法向量的夹角为，设，，利用向量的夹角公式，得到关于的方程，证明方程无解，从而得到不存在满足要求的点.‎ ‎【详解】（Ⅰ）证明:因为△是正三角形，‎ 是的中点，‎ 所以 .‎ 又因为平面，平面，‎ 所以.‎ ‎，平面，‎ 所以面.‎ ‎（Ⅱ）如图，以点为原点分别以、、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.‎ 则，‎ ‎，，‎ 设平面的法向量为 所以，即 令，则 ， ‎ 又平面的法向量，‎ 设平面与平面所成锐二面角为，‎ 所以.‎ 所以平面与平面所成锐二面角为. ‎ ‎（Ⅲ）假设线段上存在点，‎ 使得直线与平面所成角为，‎ 即直线与平面法向量所成的角为，‎ 设，，‎ ‎，‎ 所以 所以，‎ 整理得，‎ ‎，方程无解，‎ 所以，不存在这样的点.‎ ‎【点睛】本题考查线面垂直的性质和判定，利用空间向量求二面角，利用空间向量证明存在性问题.‎ ‎19.已知椭圆：的两个焦点是，点在椭圆上，且.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设点关于轴的对称点为，是椭圆上一点，直线和与轴分别交于点为原点，证明：为定值.‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：（1）由椭圆的定义得，将点的坐标代入椭圆方程，解得即可求得椭圆的方程；（2）由题意可知设，则有，写出直线的方程，求出其与轴的交点，从而表示出，同理即可求得，利用整体代换则可得.‎ 试题解析：（1）由椭圆的定义，得，，将点的坐标代入，得，解得：，所以，椭圆的方程是.‎ ‎（2）证明：依题意，得，设，则有，，，直线的方程为，令，得，所以.直线的方程为，令，得，所以.‎ 所以，所以为定值.‎ ‎20.已知函数.‎ ‎（1）求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（2）求的单调区间；‎ ‎（3）若对于任意，都有，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）的单调递增区间是；的单调递减区间是（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先求得导函数，由导数的几何意义求得切线的斜率，再求得切点坐标，即可由点斜式得切线方程；‎ ‎（2）求得导函数，并令求得极值点，结合导函数的符号即可判断函数单调区间；‎ ‎（3）将不等式变形，并分离参数后构造函数，求得并令求得极值点，结合极值点左右两侧的单调性和端点求得最值，即可确定的取值范围.‎ ‎【详解】（1）因为函数，‎ 所以，.‎ 又因为，则切点坐标为，‎ 所以曲线在点处的切线方程为.‎ ‎（2）函数定义域为，‎ 由（1）可知，.‎ 令解得.‎ 与在区间上的情况如下：‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 所以，的单调递增区间是；‎ 的单调递减区间是.‎ ‎（3）当时，“”等价于“”.‎ 令，，，.‎ 令解得，‎ 当时，，所以在区间单调递减.‎ 当时，，所以在区间单调递增.‎ 而，.‎ 所以在区间上的最大值为.‎ 所以当时，对于任意，都有.‎ ‎【点睛】本题考查了导数的几何意义，切线方程的求法，由导函数求函数的单调区间，分离参数法并构造函数研究参数的取值范围，由导数求函数在闭区间上的最值，属于中档题.‎ ‎21.已知由n（n∈N*）个正整数构成的集合A＝{a1，a2，…，an}（a1＜a2＜…＜an，n≥3），记SA＝a1+a2+…+an，对于任意不大于SA的正整数m，均存在集合A的一个子集，使得该子集的所有元素之和等于m.‎ ‎（1）求a1，a2的值；‎ ‎（2）求证：“a1，a2，…，an成等差数列”的充要条件是“”；‎ ‎（3）若SA＝2020，求n的最小值，并指出n取最小值时an的最大值.‎ ‎【答案】（1）a1＝1，a2＝2；（2）证明见解析；（3）n最小值为11，an的最大值1010‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）考虑元素1，2，结合新定义SA，可得所求值；‎ ‎（2）从两个方面证明，结合等差数列的性质和求和公式，即可得证；‎ ‎（3）由于含有n个元素的非空子集个数有2n﹣1，讨论当n＝10时，n＝11时，结合条件和新定义，推理可得所求.‎ ‎【详解】（1）由条件知1≤SA，必有1∈A，又a1＜a2＜…＜an均为整数，a1＝1，‎ ‎2≤SA，由SA的定义及a1＜a2＜…＜an均为整数，必有2∈A，a2＝2；‎ ‎（2）证明：必要性：由“a1，a2，…，an成等差数列”及a1＝1，a2＝2，‎ 得ai＝i（i＝1，2，…，n）此时A＝{1，2，3，…，n}满足题目要求，‎ 从而；‎ 充分性：由条件知a1＜a2＜…＜an，且均为正整数，可得ai≥i（i＝1，2，3，…，n），‎ 故，当且仅当ai＝i（i＝1，2，3，…，n）时，上式等号成立.‎ 于是当时，ai＝i（i＝1，2，3，…，n），从而a1，a2，…，an成等差数列.‎ 所以“a1，a2，…，an成等差数列”的充要条件是“”；‎ ‎（Ⅲ）由于含有n个元素的非空子集个数有2n-1，故当n＝10时，210﹣1＝1023，‎ 此时A的非空子集的元素之和最多表示1023个不同的整数m，不符合要求.‎ 而用11个元素的集合A＝{1，2，4，8，16，32，64，128，256，512，1024}的非空子集的元素之和 可以表示1，2，3，…，2046，2047共2047个正整数.‎ 因此当SA＝2020时，n的最小值为11.‎ 记S10＝a1+a2+…+a10，则S10+a11＝2020并且S10+1≥a11.‎ 事实上若S10+1＜a11，2020＝S10+a11＜‎2a11，则a11＞1010，S10＜a11＜1010，‎ 所以m＝1010时无法用集合A的非空子集的元素之和表示，与题意不符.‎ 于是2020＝S10+a11≥‎2a11﹣1，得，，所以a11≤1010.‎ 当a11＝1010时，A＝{1，2，4，8，16，32，64，128，256，499，1010}满足题意，‎ 所以当SA＝2020时，n的最小值为11，此时an的最大值1010.‎ ‎【点睛】本题考查新定义的理解和运用，考查等差数列的性质和求和公式的运用，考查化简运算能力和推理能力，属于难题.‎