2012年福建高考试题（文数解析版）

2012年福建高考试题（文数解析版）

‎2012年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）‎ 数学（文科）‎ ‎【整理】佛山市三水区华侨中学 骆方祥 第I卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ 1. 复数等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ 考点：复数的运算。‎ 难度：易。‎ 分析：本题考查的知识点为复数的计算，直接套用复数运算公式即可。‎ 解答：‎ ‎。‎ 2. 已知集合，，下列结论成立的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 考点：集合交并补的定义。‎ 难度：易。‎ 分析：本题考查的知识点为集合交集、并集的定义，直接根据定义选择即可。‎ 解答：，。‎ 3. 已知向量，，则的充要条件是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 考点：平面向量的垂直。‎ 难度：易。‎ 分析：本题考查的知识点为平面向量的垂直，若非零向量，，‎ 则。‎ 解答：非零向量。‎ ‎。‎ 1. 一个几何体的三视图形状都相同，大小均等，那么这个几何体不可以是（ ）‎ A．球 B．三棱锥 C．正方体 D．圆柱 ‎ 考点：空间几何体的三视图。‎ 难度：易。‎ 分析：本题考查的知识点为空间几何体的三视图，直接画出即可。‎ 解答：圆的正视图（主视图）、侧视图（左视图）和俯视图均为圆；‎ 三棱锥的正视图（主视图）、侧视图（左视图）和俯视图可以为全等的三角形；‎ 正方体的正视图（主视图）、侧视图（左视图）和俯视图均为正方形；‎ 圆柱的正视图（主视图）、侧视图（左视图）为矩形，俯视图为圆。‎ 2. 已知双曲线的右焦点为，则该双曲线的离心率等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ 考点：双曲线的离心率。‎ 难度：易。‎ 分析：本题考查的知识点为圆锥曲线的性质，利用离心率即可。‎ 解答：双曲线中，。‎ 3. 阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出值等于（ ）‎ A． B． C．0 D． ‎ 考点：算法初步。‎ 难度：易。‎ 分析：本题考查的知识点为算法中流程图的读法，直接根据箭头的指向运算即可。‎ 解答： ；‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎；‎ 结束。‎ 1. 直线与圆相交于两点，则弦的长度等于（ ）‎ A． B． C． D．1‎ 考点：直线和圆。‎ 难度：中。‎ 分析：本题考查的知识点为直线被圆所截的弦长，利用几何意义，。‎ 解答： 图形如图所示，‎ 圆心为，半径为2，‎ 圆心到直线的距离，‎ 所以 ‎。‎ 2. 函数的图像的一条对称轴是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 考点：三角函数的对称性。‎ 难度：中。‎ 分析：本题考查的知识点为三角函数的性质，熟记三角函数的对称轴的公式即可。‎ 解答：令，‎ 则,‎ 当时，。‎ 3. 设，，则值为（ ）‎ A．1 B．‎0 ‎‎ C． D．‎ 考点：分段函数。‎ 难度：中。‎ 分析：本题考查的知识点为分段函数的理解，直接应用即可。‎ 解答：令。‎ 1. 若直线上存在点满足约束条件，则实数的最大值为（ ）‎ A． B．‎1 C． D．2‎ 考点：线性规划。‎ 难度：中。‎ 分析：本题考查的知识点为含参的线性规划，需要画出可行域的图形，含参的直线要能画出大致图像。‎ 解答：可行域如下：‎ 所以，若直线上存在点满足约束条件，‎ 则，即。‎ 2. 数列的通项公式，其前项和为，则等于（ ）‎ A．1006 B．‎2012 ‎‎ C．503 D．0‎ 考点：数列和三角函数的周期性。‎ 难度：中。‎ 分析：本题考查的知识点为三角函数的周期性和数列求和，所以先要找出周期，然后分组计算和。‎ 解答： ，‎ ‎ ，‎ ‎ ，‎ ‎，‎ 所以。‎ 即。‎ 1. 已知，且，现给出如下结论：‎ ‎①；②；③；④。‎ 其中正确结论的序号是（ ）‎ A．①③ B．①④ C．②③ D．②④‎ 考点：导数。‎ 难度：难。‎ 分析：本题考查的知识点为导数的计算，零点问题，要先分析出函数的性质，结合图形来做。‎ 解答：，‎ ‎ ‎ ‎ 导数和函数图像如下：‎ 由图，‎ ‎，‎ 且，‎ 所以。‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在答题卡的相应位置。‎ 1. 在中，已知，，，则_______。【】‎ 考点：正弦定理。‎ 难度：易。‎ 分析：本题考查的知识点为三角形中正弦定理的应用。‎ 解答：在中，，‎ 所以 解得。‎ 2. 一支田径队有男女运动员98人，其中男运动员有56人。按男女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，那么应抽取女运动员人数是_______。【12】‎ 考点：分成抽样。‎ 难度：易。‎ 分析：本题考查的知识点为统计中的分层抽样，直接按成比例计算即可。‎ 解答：分层抽样， ，‎ 所以。‎ 3. 已知关于的不等式在R上恒成立，则实数的取值范围是_________。【】‎ 考点：一元二次不等式。‎ 难度：易。‎ 分析：本题考查的知识点为一元二次函数的图像，开口朝上，无根即可。‎ 解答：令，‎ 所以。‎ 4. 某地图规划道路建设，考虑道路铺设方案，方案设计图中，求表示城市，两点之间连线表示两城市间可铺设道路，连线上数据表示两城市间铺设道路的费用，要求从任一城市都能到达其余各城市，并且铺设道路的总费用最小。例如：在三个城市道路设计中，若城市间可铺设道路的路线图如图1，则最优设计方案如图2，此时铺设道路的最小总费用为10。‎ 现给出该地区可铺设道路的线路图如图3，则铺设道路的最小总费用为____________。【16】‎ 考点：演绎推理。‎ 难度：中。‎ 分析：本题考查的知识点为演绎推理，理解题意，直接计算最小值即可。‎ 解答：题目要求联通所有的城市，且费用最小，则首先连接费用最小的城市，‎ ‎ 连接方法如下：‎ （1） 连接，此时联通两个城市，费用为；‎ （2） 再连接，此时联通三个城市，费用为；‎ （3） 再连接，此时联通四个城市，费用为；‎ （4） 再连接，此时联通五个城市，费用为；‎ （5） 再连接，此时联通六个城市，费用为；‎ （6） 再连接，此时联通七个城市，费用为。‎ 所以铺设道路的最小总费用为16。‎ 三、解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。‎ 1. ‎（本小题满分12分）‎ ‎ 在等差数列和等比数列中，，的前10项和。‎ ‎（Ⅰ）求和；‎ ‎（Ⅱ）现分别从和的前3项中各随机抽取一项写出相应的基本事件，并求这两项的值相等的概率。‎ 考点：等差数列，等比数列，古典概型。‎ 难度：易。‎ 分析：本题考查的知识点为演绎推理，等差等比数列的定义和通项公式，前项和公式和古典概型，直接应用。‎ 解答：‎ ‎（Ⅰ）设等差数列的公差为，等比数列的公比为 ‎ 则 ‎ ‎ ‎ 得：‎ ‎（Ⅱ），各随机抽取一项写出相应的基本事件有 ‎ 共个 ‎ 符合题意有共个 ‎ 这两项的值相等的概率为 1. ‎（本小题满分12分）‎ 某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：‎ ‎（I）求回归直线方程，其中 ‎（II）预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从（I）中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？（利润=销售收入—成本）‎ 考点：线性回归，二次函数。‎ 难度：易。‎ 分析：本题考查的知识点为线性回归中回归直线的求解及二次函数的最值。‎ 解答：‎ ‎（I）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（II）工厂获得利润 ‎ 当时，（元）‎ ‎ ‎ 1. ‎（本小题满分12分）‎ 如图，在长方体中，，‎ 为棱上的一点。‎ ‎（I）求三棱锥的体积；‎ ‎（II）当取得最小值时，求证：平面。‎ 考点：立体几何。‎ 难度：中。‎ 分析：本题考查的知识点为棱锥的体积，和垂直的判定。‎ 解答：‎ ‎（I）点到面的距离为 ‎ 得：三棱锥的体积 ‎（II）将矩形饶按逆时针旋转展开，与矩形共面 ‎ ，当且仅当点是棱的中点时，取得最小值 ‎ 在中，‎ ‎ 得：‎ ‎ 同理：面 2. ‎（本小题满分13分）‎ 某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数。‎ ‎（1）；‎ ‎（2）；‎ ‎（3）；‎ ‎（4）；‎ ‎（5）。‎ ‎ （I）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；‎ ‎（II）根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论。‎ 考点：三角恒等变换。‎ 难度：中。‎ 分析：本题考查的知识点恒等变换公式的转换及其应用。‎ 解答：‎ ‎（I）选择（2）：‎ ‎（II）三角恒等式为：‎ ‎ ‎ 1. ‎（本小题满分12分）‎ 如图，等边三角形的边长为，且其三个顶点均在抛 物线上。‎ ‎（I）求抛物线的方程；‎ ‎（II）设动直线与抛物线相切于点，与直线相交于 点。证明：以为直径的圆恒过轴上某定点。‎ 考点：圆锥曲线的定义，直线和圆锥曲线的位置关系，定值的证明。‎ 难度：难。‎ 分析：本题考查的知识点为抛物线方程的求解，直线和圆锥曲线的联立，定值的表示及计算。‎ 解答：‎ ‎（I）设；则 ‎ ‎ ‎ 得：点关于轴对称（lfxlby）‎ ‎ ‎ ‎ 代入抛物线的方程得：抛物线的方程为 ‎ （II）设；则 ‎ 过点的切线方程为即 ‎ 令 ‎ 设满足：及 ‎ 得：对均成立 ‎ ‎ ‎ 以为直径的圆恒过轴上定点 1. ‎（本小题满分14分）‎ 已知函数且在上的最大值为。‎ ‎（I）求函数的解析式；‎ ‎（II）判断函数在内的零点个数，并加以证明。‎ 考点：导数，函数与方程。‎ 难度：难。‎ 分析：本题考查的知识点为导数的计算，利用函数与方程的思想解决根个数的问题。‎ 解答：‎ ‎（I）在上恒成立，且能取到等号 ‎ 在上恒成立，且能取到等号 ‎ ‎ ‎ 在上单调递增 ‎ （lfxlby）‎ ‎（II）‎ ‎ ①当时，在上单调递增 ‎ 在上有唯一零点 ‎ ②当时，当上单调递减 ‎ 存在唯一使 ‎ ‎ ‎ 得：在上单调递增，上单调递减 ‎ ‎ ‎ 得：时，，‎ 时，，在上有唯一零点 ‎ 由①②得：函数在内有两个零点。（lfxlby）‎