2013北京卷（理）数学试题

2013北京卷（理）数学试题

‎2013·北京卷(理科数学)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎1． 已知集合A＝{－1，0，1}，B＝{x|－1≤x<1}，则A∩B＝(　　)‎ A．{0} B．{－1，0} C．{0，1} D．{－1，0，1}‎ ‎1．B　[解析] ∵－1∈B，0∈B，1∉B，∴A∩B＝{－1，0}，故选B.‎ ‎2． 在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于(　　)‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎2．D　[解析] (2－i)2＝4－4i＋i2＝3－4i，对应的复平面内点的坐标为(3，－4)，所以选D.‎ ‎3．、 “φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点”的(　　)‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎3．A　[解析] ∵曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点，‎ ‎∴sin φ＝0，∴φ＝kπ，k∈，故选A.‎ ‎4． 执行如图1－1所示的程序框图，输出的S的值为(　　)‎ 图1－1‎ A．1 B. C. D. ‎4．C　[解析] 执行第一次循环时S＝＝，i＝1；第二次循环S＝＝，i＝2，此时退出循环，故选C.‎ ‎5． 函数f(x)的图像向右平移1个单位长度，所得图像与曲线y＝ex关于y轴对称，则f(x)＝(　　)‎ A．ex＋1 B．ex－1 C．e－x＋1 D．e－x－1‎ ‎5．D　[解析] 依题意，f(x)向右平移一个单位长度得到f(x－1)的图像，又y＝ex的图像关于y轴对称的图像的解析式为y＝e－x，所以f(x－1)＝e－x，所以f(x)＝e－x－1.‎ ‎6． 若双曲线－＝1的离心率为，则其渐近线方程为(　　)‎ A．y＝±2x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x ‎6．B　[解析] 由离心率为，可知c＝a，∴c2＝3a2，∴b2＝2a2，∴b＝a，∴双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x.‎ ‎7． 直线l过抛物线C：x2＝4y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于(　　)‎ A. B．2 ‎ C. D. ‎7．C　[解析] 由题意得直线l的方程是y＝1，代入抛物线方程得x＝±2，所以直线l与抛物线C所围成图形的面积S＝4－2dx.‎ ‎8． 设关于x，y的不等式组表示的平面区域内存在点P(x0，y0)，满足x0－2y0＝2，求得m的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D. ‎8．C　[解析] 在直角坐标系中画出可行域，如图所示，由题意可知，可行域内与直线x－2y＝2有交点，当点(－m，m)在直线x－2y＝2上时，有m＝－，所以m<－，故选C.‎ ‎9． 在极坐标系中，点到直线ρsin θ＝2的距离等于________．‎ ‎9．1　[解析] 极坐标系中点的对应直角坐标系中的点的坐标为(，1)，极坐标系中直线ρsin θ＝2对应直角坐标系中直线方程为y＝2，所以距离为1.‎ ‎10． 若等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，则公比q＝________；前n项和Sn＝________．‎ ‎10．2　2n＋1－2　[解析] ∵a3＋a5＝q(a2＋a4)，‎ ‎∴40＝20q，q＝2，‎ 又∵a2＋a4＝a1q＋a1q3＝20，‎ ‎∴a1＝2，∴an＝2n，∴Sn＝2n＋1－2.‎ ‎11． 如图1－2，AB为圆O的直径，PA为圆O的切线，PB与圆O相交于D，若PA＝3，PD∶DB＝9∶16，则PD＝________，AB＝________．‎ 图1－2‎ ‎11.　4　[解析] 由于PD∶DB＝9∶16，设PD＝9a，则DB＝16a，PB＝25a，根据切割线定理有PA2＝PD·PB，∴a＝，∴PD＝，PB＝5.又∵△PBA为直角三角形，∴AB2＋AP2＝PB2，∴AB＝4.‎ ‎12． 将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是________．‎ ‎12．96　[解析] 5张参观券分为4堆，有2个连号有4种分法，然后每一种全排列有A种方法，所以不同的分法种数是4A＝96.‎ ‎13． 向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若＝λ＋μ(λ，μ∈)，则＝________．‎ 图1－3‎ ‎13．4　[解析] 以向量和的交点为原点，水平方向和竖直方向分别为x轴和y轴建立直角坐标系，则＝(－1，1)，＝(6，2)，＝(－1，－3)，则解得所以＝4.‎ 图1－4‎ ‎14． 如图1－4，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，点P到直线CC1的距离的最小值为________．‎ ‎14.　[解析] 以D为原点，DA，DC，DD1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则D1(0，0，2)，E(1，2，0)，C(0，2，0)，C1(0，2，2)，设＝λ＝(λ，2λ，－2λ)，‎ 则＝＋＝(λ－1，2λ，－2λ)，点P到直线CC1的距离d＝‎ ＝‎ ＝.故当λ＝时，距离的最小值为.‎ ‎15．， 在△ABC中，a＝3，b＝2 ，∠B＝2∠A.‎ ‎(1)求cos A的值；‎ ‎(2)求c的值．‎ ‎15．解：(1)因为a＝3，b＝2 ，∠B＝2∠A，‎ 所以在△ABC中，由正弦定理得＝.‎ 所以＝.‎ 故cos A＝.‎ ‎(2)由(1)知cos A＝，所以sin A＝＝.‎ 又因为∠B＝2∠A，所以cos B＝2cos2 A－1＝.‎ 所以sin B＝＝.‎ 在△ABC中，sin C＝sin(A＋B)‎ ‎＝sin AcosB＋cos Asin B ‎＝.‎ 所以c＝＝5.‎ ‎16．，，， 下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．‎ 图1－6‎ ‎(1)求此人到达当日空气重度污染的概率；‎ ‎(2)设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望；‎ ‎(3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结论不要求证明)‎ ‎16．解：设Ai表示事件“此人于3月i日到达该市”(i＝1，2，…，13)．‎ 根据题意，P(Ai)＝，且Ai∩Aj＝∅(i≠j)．‎ ‎(1)设B为事件“此人到达当日空气重度污染”，则B＝A5∪A8.‎ 所以P(B)＝P(A5∪A8)＝P(A5)＋P(A8)＝.‎ ‎(2)由题意可知，X的所有可能取值为0，1，2，且 P(X＝1)＝P(A3∪A6∪A7∪A11)‎ ‎＝P(A3)＋P(A6)＋P(A7)＋P(A11)＝，‎ P(X＝2)＝P(A1∪A2∪A12∪A13)‎ ‎＝P(A1)＋P(A2)＋P(A12)＋P(A13)＝，‎ P(X＝0)＝1－P(X＝1)－P(X＝2)＝.‎ 所以X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P 故X的期望E(X)＝0×＋1×＋2×＝.‎ ‎(3)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大．‎ 图1－7‎ ‎17．，， 如图1－7，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形．平面ABC⊥平面AA1C1C，AB＝3，BC＝5.‎ ‎(1)求证：AA1⊥平面ABC；‎ ‎(2)求二面角A1－BC1－B1的余弦值；‎ ‎(3)证明：在线段BC1上存在点D，使得AD⊥A1B，并求的值．‎ ‎17．解：(1)证明：因为AA1C1C为正方形，所以AA1⊥AC.‎ 因为平面ABC⊥平面AA1C1C，且AA1垂直于这两个平面的交线AC，‎ 所以AA1⊥平面ABC.‎ ‎(2)由(1)知AA1⊥AC，AA1⊥AB.‎ 由题知AB＝3，BC＝5，AC＝4，所以AB⊥AC.‎ 如图所示，以A为原点建立空间直角坐标系A－xyz，则 B(0，3，0)，A1(0，0，4)，B1(0，3，4)，C1(4，0，4)．‎ 设平面A1BC1的一个法向量为＝(x，y，z)，则 即 令z＝3，则x＝0，y＝4，所以＝(0，4，3)．‎ 同理可得，平面B1BC1的一个法向量为＝(3，4，0)．‎ 所以cos〈，〉＝＝.‎ 由题知二面角A1－BC1－B1为锐角，‎ 所以二面角A1－BC1－B1的余弦值为.‎ ‎(3)设D(x，y，z)是直线BC1上一点，且＝λ.‎ 所以(x，y－3，z)＝λ(4，－3，4)．‎ 解得x＝4λ，y＝3－3λ，z＝4λ.‎ 所以＝(4λ，3－3λ，4λ)．‎ 由·＝0，即9－25λ＝0，‎ 解得λ＝.‎ 因为∈[0，1]，所以在线段BC1上存在点D，使得AD⊥A1B.‎ 此时，＝λ＝.‎ ‎18．， 设L为曲线C：y＝在点(1，0)处的切线．‎ ‎(1)求L的方程；‎ ‎(2)证明：除切点(1，0)之外，曲线C在直线L的下方．‎ ‎18．解：(1)设f(x)＝，则f′(x)＝.‎ 所以f′(1)＝1.‎ 所以L的方程为y＝x－1.‎ ‎(2)令g(x)＝x－1－f(x)，则除切点之外，曲线C在直线L的下方等价于 g(x)>0(∀x>0，x≠1)．‎ g(x)满足g(1)＝0，且 g′(x)＝1－f′(x)＝.‎ 当01时，x2－1>0，ln x>0，所以g′(x)>0，‎ 故g(x)单调递增．‎ 所以g(x)>g(1)＝0(∀x>0，x≠1)．‎ 所以除切点之外，曲线C在直线L的下方．‎ ‎19．， 已知A，B，C是椭圆W：＋y2＝1上的三个点，O是坐标原点．‎ ‎(1)当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积；‎ ‎(2)当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由．‎ ‎19．解：(1)椭圆W：＋y2＝1的右顶点B的坐标为(2，0)．‎ 因为四边形OABC为菱形，所以AC与OB相互垂直平分．‎ 所以可设A(1，m)，代入椭圆方程得＋m2＝1，即m＝±.‎ 所以菱形OABC的面积是 |OB|·|AC|＝×2×2|m|＝.‎ ‎(2)假设四边形OABC为菱形．‎ 因为点B不是W的顶点，且直线AC不过原点，所以可设AC的方程为y＝kx＋m(k≠0，m≠0)．‎ 由消y并整理得 ‎(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.‎ 设A(x1，y1)，C(x2，y2)，则 ＝－，＝k·＋m＝.‎ 所以AC的中点为M.‎ 因为M为AC和OB的交点，所以直线OB的斜率为－.‎ 因为，所以AC与OB不垂直．‎ 所以四边形OABC不是菱形，与假设矛盾．‎ 所以当点B不是W的顶点时，四边形OABC不可能是菱形．‎ ‎20．，，， 已知{an}是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为An，第n项之后各项an＋1，an＋2，…的最小值记为Bn，dn＝An－Bn.‎ ‎(1)若{an}为2，1，4，3，2，1，4，3，…，是一个周期为4的数列(即对任意n∈，an＋4＝an)，写出d1，d2，d3，d4的值；‎ ‎(2)设d是非负整数，证明：dn＝－d(n＝1，2，3，…)的充分必要条件为{an}是公差为d的等差数列；‎ ‎(3)证明：若a1＝2，dn＝1(n＝1，2，3，…)，则{an}的项只能是1或者2，且有无穷多项为1.‎ ‎20．解：(1)d1＝d2＝1，d3＝d4＝3.‎ ‎(2)(充分性)因为{an}是公差为d的等差数列，且d≥0，所以a1≤a2≤…≤an≤….‎ 因此An＝an，Bn＝an＋1，dn＝an－an＋1＝－d(n＝1，2，3，…)．‎ ‎(必要性)因为dn＝－d≤0(n＝1，2，3，…)．所以An＝Bn＋dn≤Bn.‎ 又因为an≤An，an＋1≥Bn，‎ 所以an≤an＋1.‎ 于是，An＝an，Bn＝an＋1.‎ 因此an＋1－an＝Bn－An＝－dn＝d，‎ 即{an}是公差为d的等差数列．‎ ‎(3)因为a1＝2，d1＝1，所以A1＝a1＝2，B1＝A1－d1＝1.‎ 故对任意n≥1，an≥B1＝1.‎ 假设{an}(n≥2)中存在大于2的项．‎ 设m为满足am>2的最小正整数，‎ 则m≥2，并且对任意1≤k2，‎ 于是，Bm＝Am－dm>2－1＝1，Bm－1＝min{am，Bm}>1.‎ 故dm－1＝Am－1－Bm－1<2－1＝1，与dm－1＝1矛盾．‎ 所以对于任意n≥1，有an≤2，即非负整数列{an}的各项只能为1或2.‎ 因为对任意n≥1，an≤2＝a1，‎ 所以An＝2.‎ 故Bn＝An－dn＝2－1＝1.‎ 因此对于任意正整数n ，存在m满足m>n，且am＝1，即数列{an}有无穷多项为1.‎