高中数学讲义微专题76 存在性问题

高中数学讲义微专题76 存在性问题

微专题 76 圆锥曲线中的存在性问题 一、基础知识 1、在处理圆锥曲线中的存在性问题时，通常先假定所求的要素（点，线，图形或是参数）存 在，并用代数形式进行表示。再结合题目条件进行分析，若能求出相应的要素，则假设成立； 否则即判定不存在 2、存在性问题常见要素的代数形式：未知要素用字母代替 （1）点：坐标 （2）直线：斜截式或点斜式（通常以斜率为未知量） （3）曲线：含有未知参数的曲线标准方程 3、解决存在性问题的一些技巧： （1）特殊值（点）法：对于一些复杂的题目，可通过其中的特殊情况，解得所求要素的必要 条件，然后再证明求得的要素也使得其它情况均成立。 （2）核心变量的选取：因为解决存在性问题的核心在于求出未知要素，所以通常以该要素作 为核心变量，其余变量作为辅助变量，必要的时候消去。 （3）核心变量的求法： ①直接法：利用条件与辅助变量直接表示出所求要素，并进行求解 ②间接法：若无法直接求出要素，则可将核心变量参与到条件中，列出关于该变量与辅助变 量的方程（组），运用方程思想求解。 二、典型例题： 例 1：已知椭圆 的离心率为 ，过右焦点 的直线 与 相交于 两点，当 的斜率为 时，坐标原点 到 的距离为 。 （1）求 的值 （2） 上是否存在点 ，使得当 绕 旋转到某一位置时，有 成立？若存在， 求出所有的 的坐标和 的方程，若不存在，说明理由 解：（1）  0 0,x y   2 2 2 2: 1 0x yC a ba b    3 3 F l C ,A B l 1 O l 2 2 ,a b C P l F OP OA OB    P l 3 : : 3 : 2 :13 ce a b ca    则 ，依题意可得： ，当 的斜率为 时 解得： 椭圆方程为： （2）设 ， 当 斜率存在时，设 联立直线与椭圆方程： 消去 可得： ，整理可得： 因为 在椭圆上 当 时， ， 当 时， ， 当斜率不存在时，可知 ， ，则 不在椭圆上 3 , 2a c b c   ,0F c l 1 : 0l y x c x y c      2 22O l cd    1c  3, 2a b   2 2 13 2 x y   0 0,P x y    1 1 2 2, , ,A x y B x y l  : 1l y k x  OP OA OB     0 1 2 0 1 2 x x x y y y       2 2 1 2 3 6 y k x x y     y  22 22 3 1 6x k x    2 2 2 23 2 6 3 6 0k x k x k     2 1 2 2 6 3 2 kx x k      3 1 2 1 2 2 2 6 42 23 2 3 2 k ky y k x x k kk k         2 2 2 6 4,3 2 3 2 k kP k k       P 2 22 2 2 6 42 3 63 2 3 2 k k k k                    2 24 2 2 2 2 272 48 6 3 2 24 3 2 6 3 2k k k k k k         2 224 6 3 2 2k k k      2k   : 2 1l y x  3 2,2 2P     2k    : 2 1l y x   3 2,2 2P      : 1l x  2 3 2 31, , 1,3 3A B            2,0P 综上所述： ， 或 ， 例 2：过椭圆 的右焦点 的直线交椭圆于 两点， 为其左焦 点，已知 的周长为 8，椭圆的离心率为 （1）求椭圆 的方程 （2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆 恒有两个交点 ，且 ？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由 解：（1）由 的周长可得： 椭圆 （2）假设满足条件的圆为 ，依题意，若切线与椭圆相交，则圆应含在椭圆内 若直线 斜率存在，设 ， 与圆相切 即 联立方程：   : 2 1l y x  3 2,2 2P      : 2 1l y x   3 2,2 2P        2 2 2 2: 1 0x y a ba b     2F ,A B 1F 1AF B 3 2   ,P Q OP OQ 1AF B 4 8 2a a   3 32 ce ca     2 2 2 1b a c    2 2: 14 x y   2 2 2x y r  0 1r   PQ :PQ y kx m     1 1 2 2, , ,P x y Q x y PQ  2 2 2 2 1 1O l md r m r k k       0OP OQ OP OQ     1 2 1 2 0x x y y  2 24 4 y kx m x y       2 2 21 4 8 4 4 0k x kmx m     2 1 2 1 22 2 8 4 4,4 1 4 1 km mx x x xk k           2 2 1 2 1 2 1 2 1 2y y kx m kx m k x x km x x m           2 2 1 2 1 2 1 2 1 21x x y y k x x km x x m       对任意的 均成立 将 代入可得： 存在符合条件的圆，其方程为： 当 斜率不存在时，可知切线 为 若 ，则 符合题意 若 ，同理可得也符合条件 综上所述，圆的方程为： 例 3：已知椭圆 的左右焦点分别为 ，短轴两个端点为 ，且 四边形 是边长为 2 的正方形 （1）求椭圆的方程 （2）若 分别是椭圆长轴的左，右端点，动点 满足 ，连接 ，交椭圆于点 ，证明 是 定值 （3）在（2）的条件下，试问 轴上是否存在异于点 的定 点 ，使得以 为直径的圆恒过直线 的交点。若 存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由 解：（1） 四边形 是边长为 2 的正方形  2 2 2 2 2 4 4 814 1 4 1 m kmk km mk k             2 2 2 5 4 4 4 1 m k k    2 25 4 4 0m k    ,m k  2 2 2 1m r k     2 2 25 1 4 1 0r k k      2 25 4 1 0r k    2 4 5r   2 2 4 5x y  PQ PQ 2 55x   2: 55PQ x  2 5 2 5 2 5 2 5, , ,5 5 5 5P Q             0OP OQ    2: 55PQ x  2: 55PQ x   2 2 4 5x y    2 2 2 2 1 0x y a ba b    1 2,F F ,A B 1 2F AF B ,C D M MD CD CM P OM OP  x C Q MP ,DP MQ Q  1 2F AF B 可得： 椭圆方程为 （2）由椭圆方程可得： ，由 可设 ， ，与椭圆方程联立可得： 由韦达定理可知： 代入直线 可得： 　　　　　 设 若以 为直径的圆恒过直线 的交点，则 恒成立，　　　 存在定点  2b c  2 2 2 4a b c     2 2 14 2 x y     2,0 , 2,0C D MD CD  02,M y  1 1,P x y   0 00 2 2 4CM y yk      0: 24 yCM y x     2 2 2 2 2 20 0 00 2 4 1 11 4 08 2 224 x y y x y x yyy x                  2 20 0 1 12 2 0 0 1 4 2 82 81 8 C y y x x xy y        CM 0 1 2 0 8 8 yy y   2 0 0 2 2 0 0 2 8 8,8 8 y yP y y         2 2 0 0 0 0 2 2 2 2 0 0 0 0 2 8 8 4 82, ,8 8 8 8 y y y yDP y y y y                    ,0Q m  02,MQ m y    MP ,DP MQ 0DP MQ       2 0 0 2 2 0 0 4 82 08 8 y ym yy y        2 0 2 0 4 08 y m y  0m   0,0Q 例 4 ：设 为椭圆 的右焦点，点 在椭圆 上，直线 与以原点为圆心，以椭圆 的长半轴长为半径的圆相切 （1）求椭圆 的方程 （2）过点 的直线 与椭圆相交于 两点，过点 且平行于 的直线与椭圆交于另一点 ，问是否存在直线 ，使得四边形 的对角线互相平分？若存在，求出 的方程；若不 存在，说明理由 解：（1） 与圆相切 将 代入椭圆方程 可得： 椭圆方程为： （2）由椭圆方程可得： 设直线 ，则 联立直线 与椭圆方程： 消去 可得： 同理： 联立直线 与椭圆方程： 消去 可得： F   2 2 2 2: 1 0x yE a ba b    31, 2P     E 0 :3 4 10 0l x y   E E F l ,A B P AB Q l PABQ l 0l 10 25O ld r    2a  31, 2P     2 2 2 14 x y b  3b   2 2 14 3 x y   1,0F  : 1l y k x   3: 12PQ y k x   l   2 2 1 3 4 12 y k x x y      y  2 2 2 24 3 8 4 12 0k x k x k         22 2 2 2 1 8 4 4 3 4 12 144 144k k k k        2 12 2 1 2 2 2 12 1 1 1 4 3 4 3 k AB k x x k k k          PQ   2 2 31 2 3 4 12 y k x x y        y    2 2 2 24 3 8 12 4 12 3 0k x k k x k k       因为四边形 的对角线互相平分 四边形 为平行四边形 解得： 存在直线 时，四边形 的对角线互相平分 例 5：椭圆 的左右焦点分别为 ，右顶点为 ， 为椭圆 上任意一点，且 的最大值的取值范围是 ，其中 （1）求椭圆 的离心率 的取值范围 （2）设双曲线 以椭圆 的焦点为顶点，顶点为焦点， 是双曲线 在第一象限上任意一 点，当 取得最小值时，试问是否存在常数 ，使得 恒成立？若存 在，求出 的值；若不存在，请说明理由 解：（1）设 由 可得： 代入可得：     22 2 2 2 2 18 12 4 4 12 3 4 3 144 4k k k k k k k                2 22 2 2 2 1144 41 14 3 4 3 k k PQ k kk k            PABQ  PABQ AB PQ    2 2 2 2 2 114412 1 414 3 4 3 k kk kk k          3 4k   :3 4 3 0l x y   PABQ   2 2 2 2: 1 0x yC a ba b    1 2,F F A P 1C 1 2PF PF  2 2,3c c   2 2c a b  1C e 2C 1C B 2C e  0   1 1BAF BF A         1 2, , ,0 , ,0P x y F c F c    1 2, , ,PF c x y PF c x y         2 2 2 1 2PF PF x y c      2 2 2 2 1x y a b  2 2 2 2 2 by b xa  （2）当 时，可得： 双曲线方程为 ， ，设 ， 当 轴时， 因为 所以 ，下面证明 对任意 点均使得 成立 考虑 由双曲线方程 ，可得： 结论得证 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 21 b cPF PF x y c x b c x b ca a                  ,x a a    2 1 2 max PF PF b    2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 23 3 4 c ac b c c a c c c a            21 1 1 2 4 2 2 2e e      1 2e  2 , 3a c b c   2 2 2 2 13 x y c c     12 ,0 , ,0A c F c  0 0,B x y 0 00, 0x y  AB x 0 02 , 3x c y c  1 3tan 13 cBF A c   1 4BF A   1 2BAF   1 12BAF BF A   2  2  B 1 1BAF BF A   1 0 0 1 1 0 0 tan ,tan2AB BF y yBAF k BF A kx c x c             0 0 01 0 1 2 22 2 1 0 00 0 2 22tantan 2 1 tan 1 y y x cBF A x cBF A BF A x c yy x c               2 2 2 2 13 x y c c  2 2 2 0 03 3y x c        2 22 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 03 3 2 2 4 2 2x c y x c x c x cx c x c c x                   0 0 0 1 1 0 0 0 2tan 2 tan2 2 2 y x c yBF A BAFx c c x c x         1 12BAF BF A   时， 恒成立 例 6：如图，椭圆 的离心率是 ，过点 的动直线 与椭圆 相交于 两点，当直线 平行于 轴时，直线 被椭圆 截得的线段长为 （1）求椭圆 的方程 （2）在平面直角坐标系 中，是否存在与点 不同的定点 ，使得对于任意直线 ， 恒成立？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由 解：（1） 椭圆方程为 由直线 被椭圆 截得的线段长为 及椭圆的对称性可得： 点 在椭圆上 椭圆方程为 （2）当 与 轴平行时，由对称性可得： 即 在 的中垂线上，即 位于 轴上，设 当 与 轴垂直时，则 可解得 或 2  1 1BAF BF A     2 2 2 2: 1 0x yE a ba b    2 2  0,1P l ,A B l x l E 2 2 E xOy P Q l QA PA QB PB Q 2 2 ce a  : : 2 :1:1a b c   2 2 2 2 12 x y b b  l E 2 2  2,1 2 2 2 2 1 1 22 bb b    2 4a   2 2 14 2 x y  l x PA PB 1QA PA QB PB   QA QB Q AB Q y  00,Q y l x    0, 2 , 0, 2A B  2 1, 2 1PA PB     0 02 , 2QA y QB y    0 0 2 2 1 2 12 yQA PA QB PB y       0 1y  0 2y  不重合 下面判断 能否对任意直线均成立 若 直 线 的 斜 率 存 在 ， 设 ， 联立方程可得： 由 可想到角平分线公式，即只需证明 平分 只需证明 ① 因为 在直线 上， 代入①可得： 联立方程可得： 成立 ,P Q 0 2y   0,2Q  0,2Q l : 1l y kx     1 1 2 2, , ,A x y B x y   2 2 2 22 4 1 2 4 2 0 1 x y k x kx y kx           QA PA QB PB QP BQA  0QA QB QA QBk k k k        1 1 2 2, , ,A x y B x y 1 2 1 2 2 2,QA QB y yk kx x          2 1 1 2 2 1 1 2 1 21 2 1 2 1 2 1 2 2 2 22 2 QA QB x y x y x y x y x xy yk k x x x x x x                1 1 2 2, , ,A x y B x y 1y kx  1 1 2 2 1 1 y kx y kx            2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 QA QB x kx x kx x x kx x x xk k x x x x             2 2 2 22 4 1 2 4 2 0 1 x y k x kx y kx           1 2 1 22 2 4 2,1 2 1 2 kx x x xk k       2 2 2 2 42 1 2 1 2 02 1 2 QA QB kk k kk k k          0QA QBk k   平分 由角平分线公式可得： 例 7：椭圆 的上顶点为 ， 是 上的一点，以 为直 径的圆经过椭圆 的右焦点 （1）求椭圆 的方程 （2）动直线 与椭圆 有且只有一个公共点，问：在 轴上是否存在两个定点，它们到直线 的距离之积等于 1？若存在，求出这两个定点的坐标；如果不存在，请说明理由 解：由椭圆可知： 为直径的圆经过 由 在椭圆上，代入椭圆方程可得： 椭圆方程为 （2）假设存在 轴上两定点 ， 设直线 所以依题意： ① QP BQA  QA PA QB PB   2 2 2 2: 1 0x yC a ba b    A 4 ,3 3 bP     C AP C F C l C x l    0, , ,0A b F c AP F FA FP  0FA FP      4, , ,3 3 bFA c b FP c          2 2 24 40 03 3 3 3 b bc c c c           4 ,3 3 bP     2 2 2 2 1 16 1 1 29 9 b aa b      2 2 2 2 2 4 0 13 3 2 bc c b c b c a             2 2 12 x y  x    1 1 2 2,0 , ,0M M   1 2  :l y kx m  1 2 1 2 2 2 , 1 1M l M l k m k md d k k             1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 22 2 111 1M l M l k m k m k km md d kk k                   因为直线 与椭圆相切， 联立方程： 由直线 与椭圆相切可知 化简可得： ，代入①可得： ，依题意可得：无论 为何值，等式均成立 所以存在两定点： 例 8：已知椭圆 的左右焦点分别为 ，点 是 上任意一点， 是坐标 原点， ，设点 的轨迹为 （1）求点 的轨迹 的方程 （2）若点 满足： ，其中 是 上的点，且直线 的 斜率之积等于 ，是否存在两定点，使得 为定值？若存在，求出定点 的坐 标；若不存在，请说明理由 （1）设点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，则 由椭圆方程可得： 且 代入到 可得： l   2 2 2 2 2 2 1 4 2 2 0 2 2 y kx m k x kmx m x y           l     2 2 24 4 2 1 2 2 0km k m      2 22 1m k      2 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 22 2 1 1 2 1 11 k km k k km k kk                       2 1 2 1 21 0k km        ,k m 1 2 1 1 2 2 1 2 1 10 1                    1 21,0 , 1,0M M 2 2 1 : 4 1C x y  1 2,F F P 1C O 1 2OQ PF PF    Q 2C Q 2C T 2OT MN OM ON      ,M N 2C ,OM ON 1 4 TA TB ,A B Q  ,x y P  0 0,x y 2 2 0 04 1x y  1 2 3 3,0 , ,02 2F F             1 2OQ PF PF     1 0 0 2 0 0 3 3, , ,2 2PF x y PF x y                      0 02 , 2Q x y   0 0 0 0 2 2 2 2 xxx x y y yy            2 2 0 04 1x y  （2）设点 ， 设直线 的斜率分别为 ，由已知可得： 考虑 是 上的点 即 的轨迹方程为 ，由定义可知， 到椭圆 焦点的距离和为定值 为椭圆的焦点 所以存在定点 例 9：椭圆 的焦点到直线 的距离为 ，离心率为 ，抛物线 的焦点与椭圆 的焦点重合，斜率为 的直线 过 的焦 点与 交于 ，与 交于 （1）求椭圆 及抛物线 的方程 （2）是否存在常数 ，使得 为常数？若存在，求出 的值；若不存在，请说明 理由 2 2 14 x y   ,T x y    1 1 2 2, , ,M x y N x y 2OT MN OM ON              1 2 1 2 1 1 2 2, , 2 , ,x y x x y y x y x y      2 1 2 1 2 2 x x x y y y     ,OM ON ,OM ONk k 2 1 2 1 1 4OM ON y yk k x x    1 2 1 24 0x x y y      2 22 2 2 1 2 14 2 4 2x y x x y y        2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 24 4 4 4 16x y x y x x y y      ,M N 2C 2 2 1 1 2 2 2 2 4 4 4 4 x y x y      2 24 4 4 4 20x y      T 2 2 120 5 x y  T 2 2 120 5 x y  ,A B    15,0 , 15,0A B  ,A B   2 2 2 2: 1 0x yE a ba b    3 0x y  10 5 2 5 5  2: 2 0G y px p  E k l G E ,A B G ,C D E G  1 AB CD   解：（1）设 的公共焦点为 （2）设直线 ， 与椭圆联立方程： 直线与抛物线联立方程： 是焦点弦 若 为常数，则 例 10：如图，在平面直角坐标系 中，椭圆 的离心率为 ， 直线 与 轴交于点 ，与椭圆 交于 两点，当直线 垂直于 轴且点 为椭圆 的右 ,E G  ,0F c 10 2510F l cd c     2 5 55 ce aa     2 2 2 1b a c    2 2: 15 xE y   2 8y x   : 2l y k x         1 1 2 2 3 3 4 4, , , , , , ,A x y B x y C x y D x y    2 2 2 2 2 2 2 5 1 20 20 5 0 5 5 y k x k x k x k x y            2 2 1 2 1 22 2 20 20 5,1 5 1 5 k kx x x xk k         2 22 1 2 1 2 2 2 5 1 1 4 1 5 k AB k x x x x k            2 2 2 2 2 2 4 8 4 0 8 y k x k x k x k y x          2 3 4 2 4 8kx x k    CD  2 3 4 2 8 1 4 k CD x x k                 22 2 2 2 22 2 2 4 20 51 1 5 4 20 5 8 12 5 1 8 5 1 8 5 1 kk k k k AB CD kk k k                1 AB CD  20 5 4  16 5 5   xOy   2 2 2 2: 1 0x yC a ba b    6 3 l x E C ,A B l x E C 焦点时，弦 的长为 （1）求椭圆 的方程 （2）是否存在点 ，使得 为定值？若存在， 请求出点 的坐标，并求出该定值；若不存在，请说明理 由 解：（1）依题意可得： 当 与 轴垂直且 为右焦点时， 为通径 （2）思路：本题若直接用用字母表示 坐标并表示 ，则所求式子较为复杂， 不易于计算定值与 的坐标。因为 要满足所有直线，所以考虑先利用特殊情况求出 点及 定值，再取判定（或证明）该点在其它直线中能否使得 为定值。 解：（2）假设存在点 ，设 若直线 与 轴重合，则 若直线 与 轴垂直，则 关于 轴对称 设 ，其中 ，代入椭圆方程可得： AB 2 6 3 C E 2 2 1 1 EA EB E 6 3 ce a  : : 3 :1: 2a b c  l x E AB 22 2 6 3 bAB a   6, 2a b   2 2 16 2 x y   , ,A E B ,EA EB E E E 2 2 1 1 EA EB E  0,0E x AB x    6,0 , 6,0A B 0 06 , 6EA x EB x           2 0 2 2 2 2 22 00 0 1 1 1 1 2 12 66 6 x EA EB xx x        AB x ,A B x     0 0, , ,A x y B x y 0y  2 2 2 0 01 26 2 3 x y xy     2 02 3 xEA EB    ，可解得： 若存在点 ，则 。若 ，设 设 ，与椭圆 联立方程可得： ，消去 可得： ，同理： 代入 可得： 所以 为定值，定值为 若 ，同理可得 为定值 综上所述：存在点 ，使得 为定值 2 2 2 2 0 0 1 1 2 6 62 3 x xEA EB            2 22 2 20 0 0 02 22 00 2 12 6 2 6 6 6 666 x x x xxx        0 3x   2 2 2 0 1 1 6 26 xEA EB     E  3,0E   3,0E    1 1 2 2, , ,A x y B x y : 3AB x my  C 2 23 6 3 x y x my      y    2 2 2 23 3 6 3 2 3 3 0my y m y my        1 2 1 22 2 2 3 3,3 3 my y y ym m          2 2 2 2 2 2 22 1 1 11 1 1 1 1 1 13 m y y m yEA x y       2 2 2 2 1 1, 1m yEB             22 2 1 2 1 21 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 21 1 1 1 1 1 1 1 y y y yy y m y m y m y y m y yEA EB            1 2 1 22 2 2 3 3,3 3 my y y ym m                   2 22 222 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 12 6 32 3 32 33 31 1 18 18 2 9 1 9 131 3 3 m mm mm m m m mEA EB m m m                            2 2 1 1 EA EB  2  3,0E  2 2 1 1 EA EB  2  3,0E  2 2 1 1 EA EB  2 三、历年好题精选 1、已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆 过点 ， 离心率为 ，过直线 上一点 引椭圆 的两条切线，切点分别是 （1）求椭圆 的方程 （2）若在椭圆 上的任一点 处的切线方程是 ， 求证：直线 恒过定点 ，并求出定点 的坐标 （3）是否存在实数 ，使得 恒成立？（点 为直线 恒过的定 点），若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由 2、已知椭圆 的一个焦点与抛物线 的焦点重合， 是椭圆 上的一点 （1）求椭圆 的方程 （2）设 分别是椭圆 的左右顶点， 是椭圆 上异于 的两个动点，直线 的斜率之积为 ，设 与 的面积分别为 ，请问：是否存在常数 ，使得 恒成立？若存在，求出 的值，若不存在，请说明理由 3、已知椭圆 经过点 ，离心率为 ，左，右焦点分别为 和 （1）求椭圆 的方程 （2）设椭圆 与 轴负半轴交点为 ，过点 作斜率为 的直线 ，交椭圆 于 两点（ 在 之间）， 为 中点，并设直线 的斜率为 ① 证明： 为定值 ② 是否存在实数 ，使得 ？如果存在，求直线 的方程；如果不存在，请说明理 由   2 2 2 2: 1 0x yE a ba b    33, 2P      1 2 : 4l x  M E ,A B E   2 2 2 2 1 0x y a ba b     0 0,N x y 0 0 2 2 1x x y y a b  AB C C  AC BC AC BC   C AB    2 2 2 2: 1 0x yC a ba b    2 4y x 31, 2D     C C ,A B C ,P Q C ,A B ,AP AQ 1 4 APQ BPQ 1 2,S S  R   1 2S S    2 2 2 2 1 0x y a ba b     0, 3 1 2  1 ,0F c  2 ,0F c C C x A  4,0M   0k k  l C ,B D B ,M D N BD ON 1k 1k k k 1F N AD l 4、已知圆 ，定点 ，点 为圆 上的动点，点 在 上，点 在 上，且满足 （1）求点 的轨迹 的方程 （2）过点 作直线 ，与曲线 交于 两点， 是坐标原点，设 ，是 否存在这样的直线 ，使得四边形 的对角线相等（即 ）？若存在，求出直 线 的方程；若不存在，试说明理由 5、（2014，福建）已知双曲线 的两条渐近线分别为 ， （1）求双曲线 的离心率 （2）如图， 为坐标原点，动直线 分别交直线 于 两点（ 分别在第一、 四象限），且 的面积恒为 8，试探究：是否存在总与直 线 有且只有一个公共点的双曲线 ？若存在，求出双曲线 的方程；若不存在请说明理由 习题答案： 1、解析：（1）  2 2: 5 36M x y    5,0N P M Q NP G MP 2 , 0NP NQ GQ NP      G C  2,0 l C ,A B O OS OA OB    l OASB OS AB l   2 2 2 2: 1 0, 0x yE a ba b    1 : 2l y x 2 : 2l y x  E O l 1 2,l l ,A B ,A B OAB l E E 1 : : 2 : 3 :12 ce a b ca    椭圆过点 ，再由 可解得： 椭圆方程为： （2）设切点坐标为 ，直线上一点 ，依题意可得： 两条切线方程为： ，由切线均过 可得： 均在直线 上 因为两点唯一确定一条直线 ，即过定点 ，即点 的坐标为 （3） 联立方程： ，不妨设 ，使得 恒成立  33, 2P      2 2 3 3 14a b   : : 2 : 3 :1a b c  2, 3a b   2 2 14 3 x y     1 1 2 2, , ,A x y B x y  4,M t 1 1 2 2 14 3 14 3 x x y y x x y y       M 1 1 2 2 13 13 y tx y tx          1 1 2 2, , ,A x y B x y 13 tx y  : 13 tAB x y    1,0 C  1,0 1 1AC BCAC BC AC BC AC BC AC BC          2 2 2 2 1 12 6 27 03 3 4 12 tyx t y ty x y            1 2 1 22 2 6 27,12 12 ty y y yt t      1 20, 0y y      2 2 2 22 2 1 1 1 2 2 2 9 91 , 13 3 t tAC x y y BC x y y           2 2 12 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 3 1 1 3 3 9 9 9 y yy y AC BC y y y y y yt t t                   2 2 2 2 2 2 2 6 108 12 123 1 144 9 144 4 27 9 39 9 12 t t t t t t t               4 3  AC BC AC BC   2、解析：（1）抛物线 的焦点为 依题意可知： 椭圆方程为： （2）由（1）可得： ，若直线 斜率存在 设 ， 到直线 的距离 到直线 的距离 联立方程： （*） ，代入到（*）可得： 或 当 时， ，交点与 重合，不符题意 ，代入到 可得： 2 4y x  1,0 1c  2 22 2 2 2 2 1 9 1 4, 34 1 a ba b a b c            2 2 14 3 x y     2,0 , 2,0A B PQ :PQ y kx m     1 1 2 2, , ,P x y Q x y A PQ 1 2 2 1 k md k    B PQ 2 2 2 1 k md k   1 1 1 2 2 2 1 22 1 2 2 PQ d k mS d S d k mPQ d         2 2 2 2 2 3 4 8 4 12 0 3 4 12 y kx m k x kmx m x y           2 1 2 1 22 2 8 4 12,4 3 4 3 km mx x x xk k         1 2 1 2 1 2 1 2 1 4 2 2 02 2 4AP AQ y yk k y y x xx x                2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 3 12 4 3 m ky y kx m kx m k x x km x x m k               2 2 1 2 1 2 1 2 2 16 16 42 2 2 4 4 3 k km mx x x x x x k          2 2 2 2 2 16 16 32 0 2 04 3 m km k m km kk        2m k  m k  2m k  : 2 2PQ y kx k k x    A m k   1 2 S S ，即 3、解：（1）依题意可知： 可得： 椭圆方程为： ，代入 可得： 椭圆方程为： （2）① 证明：设 ，线段 的中点 设直线 的方程为： ，联立方程： 化为： 由 解得： 且 ② 假设存在实数 ，使得 ，则 即 因为 在椭圆上，所以 ，矛盾 所以不存在符合条件的直线 1 1 2 2 3 3 3kS S SS k     3  1 2 ce a  : : 2 : 3 :1a b c   2 2 2 2 14 3 x y c c   0, 3 1c   2 2 14 3 x y     1 1 2 2, , ,B x y D x y BD  0 0,N x y l  4y k x    2 2 4 3 4 12 y k x x y       2 2 2 23 4 32 64 12 0k x k x k     0  2 1 4k  2 2 1 2 1 22 2 32 64 12,4 3 4 3 k kx x x xk k      2 1 2 0 2 16 2 4 3 x x kx k       0 0 2 124 4 3 ky k x k    0 1 0 3 4 yk x k    1 3 3 4 4k k kk      k 1F N AD 1 1F N ADk k   1 20 2 2 0 2 12 43 4 161 1 413 4 F N k y kkk kx k k        22 2 2 4 2 2AD k xyk x x      1 2 2 2 44 11 4 2F N AD k xkk k k x        2 2 2 2 2 2 2 24 16 4 1 8 2 2 8 2k x k k x k x k           D  2 2,2x   l 4、解析：（1）由 可得 为 的中点，且 为 的中垂线 点的轨迹是以 为焦点的椭圆，其半长轴长为 ，半焦距 轨迹方程为： （2）因为 四边形 为平行四边形 若 ，则四边形 为矩形，即 ① 若直线 的斜率不存在，则 联立方程： ，即 故 不符合要求 ② 若直线 的斜率存在，设 由 ，解得： 所以存在 或 ，使得四边形 的对角线相等 2 , 0NP NQ GQ NP      Q PN GQ PN GQ PN PG GN  6GN GM MP    G ,M N 3a  5c  2 2 2 4b a c     2 2 19 4 x y  OS OA OB     OASB OS AB OASB 0OA OB   l : 2l x  2 2 22 2 519 4 3 xx x y y          2 5 2 52, , 2,3 3A B           16 09OA OB     : 2l x  l      1 1 2 2: 2 , , , ,l y k x A x y B x y       2 2 2 22 2 2 9 4 36 36 1 0 19 4 y k x k x k x kx y             22 1 2 1 22 2 36 136 ,9 4 9 4 kkx x x xk k            2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 202 2 2 4 9 4 ky y k x k x k x x x x k             OA OB 0OA OB     2 2 1 2 1 2 2 2 36 1 20 09 4 9 4 k kOA OB x x y y k k            3 2k   : 3 2 6 0l x y   3 2 6 0x y   OASB 5、解析：（1）由双曲线方程可知，渐近线方程为 （2）若直线 不与 轴垂直，设 联立方程： ，同理可得 设直线 与 轴交于 即 由直线 与渐近线的交点 分别在第一、四象限可知： 由（1）可得双曲线方程为： 联立 与双曲线方程： 因为 与双曲线相切 整理可得： 所以 双曲线方程为： 存在一个总与 相切的双曲线 ，其方程为 by xa  2 2b b aa    2 2 2 25c a b a    5ce a   l x    1 1 2 2: , , , ,l y mx t A x y B x y  1 1 1 2 2 2 1 2 txx my t m y x ty m          1 1 1 2 2 2 1 2 txx my t m y x ty m            l x  ,0C t 1 2 1 2OABS OC y y     2 21 2 2 8 4 1 42 1 2 1 2 t tt t mm m      l ,A B 1 1 12 2 2mm      21 4 0m    2 24 1 4t m   2 2 2 2 14 x y a a  l    2 2 2 2 2 2 2 4 1 8 4 0 4 4 x my t m y mty t a x y a           l     2 2 2 28 16 4 1 0mt t a m          2 2 2 2 2 24 4 1 4 0 1 4 4 0m a m a m a        2 4a   2 2 14 16 x y   l E 2 2 14 16 x y 