2018-2019学年广东省佛山市第一中学高二上学期第一次段考数学（理）试题 解析版

2018-2019学年广东省佛山市第一中学高二上学期第一次段考数学（理）试题 解析版

绝密★启用前 广东省佛山市第一中学 2018-2019 学年高二上学期第一次段 考数学（理）试题 评卷人 得分 一、单选题 1．设 是空间中不同的直线， 是不同的平面，则下列说法正确的是 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 由题意逐一分析所给选项是否正确即可. 【详解】 逐一分析所给的选项： A. 有可能 ，不一定有 ，题中的说法错误； B.在如图所示的正方体 中，取 为直线 ， 为平面 ，满足 但是不满足 ，题中的说法错误； C.若 ， ，不一定有 ，题中的说法错误； D.由面面垂直的性质定理可得：若 ，题中的说法正确. 本题选择 D 选项. 【点睛】 本题考查了空间几何体的线面位置关系判定与证明： （1）对于异面直线的判定要熟记异面直线的概念：把既不平行也不相交的两条直线称 为异面直线； （2）对于线面位置关系的判定中，熟记线面平行与垂直、面面平行与垂直的定理是关 键. 2．下列命题中不正确的是（ ） A． 平面 ∥平面 ，一条直线 平行于平面 ，则 一定平行于平面 B． 平面 ∥平面 ，则 内的任意一条直线都平行于平面 C． 一个三角形有两条边所在的直线分别平行于一个平面，那么该三角形所在的平面与 这个平面平行 D． 分别在两个平行平面内的两条直线只能是平行直线或异面直线 【答案】A 【解析】 【分析】 逐一考查所给的选项是否正确即可. 【详解】 逐一考查所给的选项： A. 平面 ∥平面 ，一条直线 平行于平面 ，可能 a 在平面 内或与 相交， 不一定平行 于平面 ，题中说法错误； B. 由面面平行的定义可知：若平面 ∥平面 ，则 内的任意一条直线都平行于平面 ， 题中说法正确； C. 由面面平行的判定定理可得：若一个三角形有两条边所在的直线分别平行于一个平 面，那么该三角形所在的平面与这个平面平行，题中说法正确； D. 分别在两个平行平面内的两条直线只能是平行直线或异面直线，不可能相交，题中 说法正确. 本题选择 A 选项. 【点睛】 本题考查了空间几何体的线面位置关系判定与证明： （1）对于异面直线的判定要熟记异面直线的概念：把既不平行也不相交的两条直线称 为异面直线； （2）对于线面位置关系的判定中，熟记线面平行与垂直、面面平行与垂直的定理是关 键. 3．半径为 的半圆卷成一个圆锥，则它的体积是(　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 首先求得底面半径和圆锥的高，然后求解其体积即可. 【详解】 设圆锥的底面半径为 ，由题意可得： ，解得： ， 圆锥的高 ， 则圆锥的体积： . 本题选择 C 选项. 【点睛】 本题主要考查圆锥的体积公式，空间几何体的结构特征等知识，意在考查学生的转化能 力和计算求解能力. 4．圆台上、下底面面积分别是 、 ，侧面积是 ，这个圆台的体积是 　　 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 首先求得底面半径和圆台的高，然后求解其体积即可. 【详解】 由于圆台上、下底面面积分别是 、 ，故上下底面半径为 , 由侧面积公式可得： ，则圆台的母线 ，圆台的高 ， 这个圆台的体积： . 本题选择 D 选项. 【点睛】 本题主要考查圆台的结构特征，圆台的体积公式等知识，意在考查学生的转化能力和计 算求解能力. 5．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图中 是边长为 的正三角形，俯视图 为正六边形，那么该几何体的侧视图的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 分析：首先由三视图还原几何体，然后结合几何体的空间结构整理计算即可求得最终结 果. 详解：由三视图可知该几何体为正六棱锥，其底面边长为 1，高为 ， 则侧视图的底面边长为 ， 侧视图的面积为： . 本题选择 A 选项. 点睛：本题主要考查三视图还原几何体的方法，椎体的空间结构等知识，意在考查学生 的转化能力和计算求解能力. 6．某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是（ ） A． B．4 C． D．6 【答案】A 【解析】 试题分析：由三视图可知，四棱台的上底是边长为 1 的正方形，下底是边长为 2 的正方 形，棱台高为 2． 设 棱 台 上 底 面 积 为 ， 下 底 面 积 为 ， 所 以 棱 台 体 积 为 ．故 A 正确． 考点：1 三视图；2 棱台体积． 7．如图，正方体 的棱长为 1，线段 上有两个动点 ，且 ,则 下列结论中错误的是 ( ) A． B． ∥平面 C． 三棱锥 的体积为定值 D． 与 的面积相等 【答案】D 【解析】 【分析】 由题意逐一分析所给的选项是否正确即可. 14 3 16 3 1 1 1 1S = × = 2 2 2 4S = × = ( )1 141 1 4 4 23 3V = + × + × = 【详解】 逐一分析所给的选项： 由正方体的性质可知 平面 ，而 在平面 内，故 ，选项 A 正确； 平面 平面 ， 在平面 内，故 ∥平面 ，选项 B 正确； △BEF 的面积为定值，点 A 到平面 BEF 的距离即点 A 到平面 的距离也是定值， 故三棱锥 的体积为定值 ，选项 C 正确； 与 的底 EF 长度相等，但是高不相同，故 与 的面积不相等，选 项 D 错误. 本题选择 D 选项. 【点睛】 本题主要考查空间几何体的结构特征，线面平行的判定定理，棱锥体积的计算公式等知 识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 8 ． 三 棱 锥 的 所 有 顶 点 都 在 球 的 表 面 上 ， ， ， 又 ，则球 的表面积为 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 首先确定外接球半径，然后求解其表面积即可. 【详解】 设球 的半径为 ，由题意可得： , 即 ，球 的表面积为 . 本题选择 C 选项. 【点睛】 与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点 和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体， 切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的 顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径. 9．三棱柱 底面为正三角形，侧棱与底面垂直，若 ，则点 到平 面 的距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 由题意利用体积相等求解点面距离即可. 【详解】 由题意可得三棱锥 的体积： ， 由几何关系可得： ， 则等腰三角形 中，点 到底面的距离： ， 设点 到平面 的距离为 ， 由题意可得三棱锥 的体积为： ， 利用等体积法可得： ， 解得： ，即点 到平面 的距离为 . 本题选择 B 选项. 【点睛】 本题主要考查点面距离的计算，空间几何体的结构特征等知识，意在考查学生的转化能 力和计算求解能力. 10．在长方体 中， ， 与平面 所成的角为 ，则该长 方体的体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 首先找到线面角，然后结合几何关系求得长方体的高，最后利用体积公式求解长方体的 体积即可. 【详解】 如图所示，连结 ，由题意可得 为 与平面 所成的角， 即 ，则 ， 在 中，由勾股定理可得： ， 长方体的体积： . 【点睛】 本题主要考查长方体的几何特征，线面角的概念及其应用等知识，意在考查学生的转化 能力和计算求解能力. 11．三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥外接球的体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 由题意首先求得外接球的半径，然后求解其体积即可. 【详解】 三棱锥的直观图如图，以△PAC 所在平面为球的截面， 则截面圆 O1 的半径为 ， 以△ABC 所在平面为球的截面， 则截面圆 O2 的半径为 ， 球心 H 到△ABC 所在平面的距离为 ， 则球的半径 R 为 ， 所以球的体积为 . 本题选择 A 选项. 【点睛】 与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点 和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体， 切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的 顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径. 12．如图，各棱长均为 的正三棱柱 ， ， 分别为线段 ， 上的动 点，若点 ， 所在直线与平面 不相交，点 为 中点，则 点的轨迹的长度是 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 首先确定轨迹方程，然后求解轨迹的长度即可. 【详解】 如图,任取线段 A1B 上一点 M,过 M 作 MH∥AA1,交 AB 于 H,过 H 作 HG∥AC 交 BC 于 G， 过 G 作 CC1 的平行线,与 CB1 一定有交点 N,且 MN∥平面 ACC1A1，即题中的 MN 有无数 个。 为对应棱上的中点，由对称性可知，中点 为 的边 边上的中线， 据此可得， 点的轨迹的长度是 . 本题选择 B 选项. 【点睛】 本题主要考查棱柱的几何特征，空间轨迹问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算 求解能力. 第 II 卷（非选择题） 请点击修改第 II 卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 13．有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如 图), ， ， ， ，则这块菜地的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】 首先由斜二测图形还原平面图形，然后求解其面积即可. 【详解】 由几何关系可得，斜二测图形中： ， 由斜二测图形还原平面图形，则原图是一个直角梯形，其中上下底的长度分别为 1,2， 高为 ，其面积 . 【点睛】 本题主要考查斜二测画法，梯形的面积公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求 解能力. 14．下列说法中正确的是_____________ ．(填序号) ①棱柱的面中，至少有两个面互相平行； ②以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥； ③用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台； ④有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱； ⑤圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线. 【答案】①⑤ 【解析】 【分析】 逐一考查所给命题是否正确即可. 【详解】 逐一考查所给命题： ①棱柱的面中，至少有上下两个底面互相平行，原命题正确； ②以直角三角形的一边直角边为轴旋转所得的旋转体是圆锥，原命题错误； ③用一个平行于底面的平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台，原命题错误； ④如图所示，有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体不一定是棱柱，原命题 错误； ⑤圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线，原命题正确. 综上可得：所给说法中正确的是①⑤. 【点睛】 本题主要考查棱柱、圆锥、圆台的定义与几何特征等知识，意在考查学生的转化能力和 计算求解能力. 15．如图，在各小正方形边长为 的网格上依次为某几何体的正视图，侧视图与俯视 图，其中正视图为等边三角形，则此几何体的体积为 ____________ . 【答案】 【解析】 【分析】 首先分析几何体的空间特征，然后结合体积公式求解其体积即可. 【详解】 由题意,几何体是底面为等腰直角三角形(其直角边长为 2)的三棱锥和一个半圆锥(圆锥 底面半径为 1)的组合体,组合体的高为 ， 其体积 . 【点睛】 (1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及 直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积 不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解． 16．如图，在正方体 中，点 为线段 的中点.设点 在线段 上，直线 与平面 所成的角为 ，则 的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】 由题意可得直线 OP 于平面 A1BD 所成的角 α 的取值范围是 ，再 利用正方体的性质和直角三角形的边角关系即可得出取值范围． 【详解】 由题意可得：直线 OP 于平面 A1BD 所成的角 α 的取值范围是 ， 不妨取 AB=2．在 Rt△AOA1 中，sin∠AOA1= ， sin∠C1OA1= ， ∴ 的取值范围是 . 【点睛】 本题考查了正方体的性质和直角三角形的边角关系即可、线面角的求法，考查了推理能 力，属于中档题． 评卷人 得分 三、解答题 17．在正方体 中， ， 分别是 的中点. （1）求证： 平面 ； （2）求 所成的角. 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】 (1)连接 A1D,AD1,结合几何性质和线面平行的判定定理即可证得 OM∥平面 AA1D1D (2)由题意 AD1∥BC1，OM∥A1D,通过平移直线即可求得 所成的角. 【详解】 (1)连接 A1D,AD1,∵M,O 分别是 A1B，AC 的中点， ∴OM∥A1D， ∵A1D⊂平面 A1ADD1，OM 平面 AA1D1D ∴OM∥平面 AA1D1D (2)由题意 D1C1∥AB， ∴D1C1BA 为平行四边形, ∴AD1∥BC1， 由(1)OM∥A1D,且 A1D⊥AD1， ∴OM⊥BC1 ∴ 所成的角为 90˚ 【点睛】 对于异面直线的判定要熟记异面直线的概念：把既不平行也不相交的两条直线称为异面 直线. 18．如图，在四棱锥 中，已知底面 为矩形， 平面 ,点 为棱 的中 点. （1）求证： 平面 （2）直线 上是否存在一点 ，使平面 平面 ？ 若存在，请给出证明；若不存 在，请说明理由. 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】 (1)由题意利用线面垂直的判定定理证明题中的结论即可； （2）延长 到点 ,使 ,此时平面 平面 . 利用几何关系结合面面平行的判 定定理即可证得题中的结论. 【详解】 (1)由线面垂直的定义可得： ，由矩形的性质可得： ， 且 是平面 内的两条相交直线，故 平面 . （2）延长 到点 ,使 ,此时平面 平面 . 证明如下：连接 ， ∵ ，∴点 为 的中点， 又∵点 为棱 的中点， ∴ 又 底面 为矩形， 又∵点 为 延长线上的点, ∴四边形 为平行四边形 又 又 ∴平面 平面 【点睛】 本题主要考查线面垂直的判定定理，面面平行的判定定理等知识，意在考查学生的转化 能力和计算求解能力. 19 ． 如 图 ， 在 侧 棱 垂 直 底 面 的 四 棱 柱 中 ， , ， 是 的中点， 是平面 与 直线 的交点． （1）证明： ； （2）求点 到平面 的距离． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】 （1）由题意利用线面平行的性质可证得 C1B1∥EF，据此即可得到题中的结论； （2）首先求得 和 的值，然后利用体积相等求解点 到平面 的距离即可. 【详解】 （1）∵C1B1∥A1D1，C1B1 平面 ADD1A1，A1D1 平面 ADD1A1 ∴C1B1∥平面 A1D1DA．又∵平面 B1C1EF∩平面 A1D1DA=EF， ∴C1B1∥EF， ∴A1D1∥EF． （2）连接 BF、BE，由（1）知 A1D1∥EF. 又∵四边形 A1D1DA 为矩形，∴EF=AD=2，同理，BB1=AA1=2，B1C1=BC=4. ∴ ∴ ∴ 又 设求点 到平面 的距离为 ，则 ，即点 到平面 的距离为 【点睛】 本题主要考查线面平行的性质定理，点面距离的计算方法等知识，意在考查学生的转化 能力和计算求解能力. 20．如图，在四棱锥 中， ， ， ， ， ， ． （1）求棱锥 的体积； （2）在线段 上是否存在一点 ，使 ？若存在，求出 的值；若不存在， 说明理由． 【答案】（1） ；（2）见解析 【解析】 【分析】 （1）由题意，分别求得底面积和高，然后利用体积公式求解棱锥 的体积即可. （2） 结论：在线段 上存在一点 ，且 ，使 ． 由题意结合几何性质和线面平行的判断定理即可证得题中的结论. 【详解】 （1）在 中， ． 因为 ， 所以棱锥 的体积为 ． （2） 结论：在线段 上存在一点 ，且 ，使 ． 设 为线段 上一点，且 ， 过点 作 交 于 ，则 ． 因为 ， ， 所以 ． 又因为 ，所以 ， ， 所以四边形 是平行四边形， 则 ． 又因为 ， ，所以 ． 【点睛】 本题主要考查棱锥的体积公式，线面平行的判定定理等知识，意在考查学生的转化能力 和计算求解能力. 21．如图，在 中， ， ， ， 分别是 ， 上的点，且 ，将 沿 折起到 的位置，使 ，如图． （1）求证： ； （2）若 ，求 与平面 所成角的正弦值； （3）当 点在何处时， 的长度最小，并求出最小值． 【答案】（1）见解析；（2） ；（3）见解析 【解析】 【分析】 （1）由题意利用线面垂直的判断定理可证得 ， 据此可得 ． （2）连接 ,首先利用体积相等求得点 到平面 的距离为 ，然后求解 与平面 所成角的正弦值即可； （3） 设 ，则 ，结合集合性质得到关于 长度的长度表达式， 结合二次函数的性质确定点 D 的位置即可. 【详解】 （1） 在 中， ， ，所以 ，所以 ． 又 ， ，所以 ， 由 ，所以 ． 又 ， ，所以 ． （2）连接 , , ∵ ， ， , 由（1）知， ，则 , 设点 到平面 的距离为 ，∵ ， ， ， 又 ，设 与平面 所成角为 ，则 与平面 所成角的正弦值为 （3） 设 ，则 ，连接 ， 在 中， ， 由（Ⅰ）知 ， 故 ，故 ． 当 时， 有最小值 ，故 长度的最小值为 ， 此时 ，即 为 的中点． 【点睛】 本题主要考查线面垂直的判定定理，线面角的计算等知识，意在考查学生的转化能力和 计算求解能力. 22 ． 如 图 ， 正 方 体 的 棱 长 为 ， 分 别 为 上 的 点 ， 且 ． 　（1）当 为何值时，三棱锥 的体积最大？ 　（2）求异面直线 与 所成的角的取值范围． 【答案】（1） ；（2） 【解析】 【分析】 （1）首先得到体积函数，然后利用均值不等式确定取得最值时 x 的值即可； （2）首先作出异面直线 与 所成的角，然后结合余弦定理求得角的余弦值取值范 围，最后利用余弦值的范围确定异面直线 与 所成的角的取值范围. 【详解】 （1） ， 当 时，三棱锥 的体积最大．　 （2）在 AD 上取点 H 使 AH ＝BF＝AE，则 ， ， ，所以 （或补角）是异面直线 与 所成的角 在 Rt△ 中， ， 在 Rt△ 中， ， 在 Rt△HAE 中， ， 在△ 中， 因为 ， 所以 ， ， ， 【点睛】 本题主要考查三棱锥体积的计算，异面直线所成的角等知识，意在考查学生的转化能力 和计算求解能力.