2017-2018学年辽宁省本溪满族自治县高级中学高二下学期第二次月考数学（文）试题（解析版）

2017-2018学年辽宁省本溪满族自治县高级中学高二下学期第二次月考数学（文）试题（解析版）

‎2017-2018学年辽宁省本溪满族自治县高级中学高二下学期第二次月考数学（文）试题 一、单选题 ‎1．已知函数，则这个函数的导函数为（ ）‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：根据函数的求导法则求导即可.‎ 详解： ‎ 故答案为：C.‎ 点睛：本题考查了两个函数相乘的求导法则，以及对数的求导法则，较为基础.‎ ‎2．函数从1到的平均变化率为，则实数的值为（ ）‎ A． 10 B． 9 C． 8 D． 7‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：从1到的平均变化率为，解方程即可.‎ 详解：从1到的平均变化率为，解得实数的值为9.‎ 故答案为：B.‎ 点睛：这个题目考查了平均变化率的定义，根据定义写出表达式即可得到结果.‎ ‎3．函数的递增区间为（ ）‎ A． ， B． ‎ C． ， D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：直接对函数求导，令导函数大于0，即可求得增区间.‎ 详解：，， 增区间为.‎ 故答案为：A.‎ 点睛：本题考查了导数在研究函数的单调性中的应用，需要注意的是函数的单调区间一定是函数的定义域的子集，因此求函数的单调区间一般下，先求定义域；或者直接求导，在定义域内求单调区间.‎ ‎4．若，则实数的值为（ ）‎ A． B． 2 C． D． 3‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：根据题意分别利用公式求得左右两侧的原函数，进而得到积分值，利用积分值相等求得参数值.‎ 详解： ， ‎ 故答案为：A.‎ 点睛：这个题目考查了积分的应用，注意积分并不等于面积，解决积分问题的常见方法有：面积法，当被积函数为正时积分和面积相等，当被积函数为负时积分等于面积的相反数；应用公式直接找原函数的方法；利用被积函数的奇偶性得结果.‎ ‎5．若点为曲线上任意一点，且曲线在点处的切线的倾斜角为，则的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为，‎ 所以 选B.‎ ‎6．曲线与直线所围成图形的面积为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由得 因此曲线与直线所围成图形的面积为，‎ 选D.‎ 点睛：1.求曲边图形面积的方法与步骤 ‎(1)画图，并将图形分割为若干个曲边梯形；‎ ‎(2)对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上、下限；‎ ‎(3)确定被积函数；‎ ‎(4)求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和．‎ ‎2．利用定积分求曲边图形面积时，一定要找准积分上限、下限及被积函数．当图形的边界不同时，要分不同情况讨论．‎ ‎7．已知的图象如图所示，其中是的导函数，则下列关于函数说法正确的是（ ）‎ A． 仅有2个极值点，一个是极大值点，一个是极小值点 B． 因为有四个根，故函数有四个极值点 C． 有2个极大值点，3个极小值点 D． 没有极值 ‎【答案】A ‎【解析】分析：根据极值点的定义和的图象得出结论．‎ 详解：若是的极值点，则，且在两侧异号， 由的图象可知共有4解， 其中只有两个零点的左右两侧导数值异号， 故有2个极值点． 故选A．‎ 点睛：本题考查了极值点的定义，属于中档题．‎ ‎8．若函数在区间上递减，则的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意得在区间上恒成立，即在区间上恒成立，‎ 因此 ；选D.‎ ‎9．已知直线与曲线相切，则的值为（ ）‎ A． B． C． 1 D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】设切点为，则因为，所以，‎ 因为，所以 选A.‎ ‎10．若，恒成立，则正数的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为，所以，‎ 当时，‎ 当时，的最小值，‎ 令，则，‎ 当时，；当时，；所以当时，；‎ 综上，正数的取值范围为，选C.‎ 点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.‎ ‎11．对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：对任意的θ∈（0，），sin2θ+cos2θ=1，可得=（sin2θ+cos2θ）（）=5+，利用基本不等式的性质可得其最小值M．由不等式≥|2x﹣1|恒成立，可得M≥|2x﹣1|，解出即可得出．‎ 详解：∵对任意的θ∈（0，），sin2θ+cos2θ=1，‎ ‎∴=（sin2θ+cos2θ）（）=5+≥5+2×2=9，当且仅当时取等号．‎ ‎∵不等式≥|2x﹣1|恒成立，‎ ‎∴9≥|2x﹣1|，‎ ‎∴﹣9≤2x﹣1≤9，‎ 解得﹣4≤x≤5，‎ 则实数x的取值范围是[﹣4，5]．‎ 故选：D．‎ 点睛：本题考查了三角函数求值、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题；在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.‎ ‎12．定义在上的函数满足，且，则不等式的解集为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：根据题意构造函数对该函数求导研究单调性，进而得到解集.‎ 详解：不等式可化为，设， 故函数在R上单调递减，又因为，故 的解集为，即解集为.‎ 故答案为：B.‎ 点睛：这个题目考查了导数的应用，构造函数的应用，一般解不等式的问题，且原函数的表达式不易求解，此时，可以采用构造函数，求导，研究函数的单调性和奇偶性，以及零点问题，进而得到解集.‎ 二、填空题 ‎13．已知函数，则__________．‎ ‎【答案】-2‎ ‎【解析】分析：对函数求导，将x=1代入导函数即可求得结果.‎ 详解：函数，= ‎ 解得-2.‎ 故答案为：-2.‎ 点睛:‎ 这个题目考查了导数的几何意义，导数几何意义指的是在曲线上任意一点处的切线的斜率.‎ ‎14．将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同的产品，需要对原油进行冷却和加热.若在第时，原油的温度（单位：）为，则在第时，原油温度的瞬时变化率为__________．‎ ‎【答案】-1‎ ‎【解析】分析：任意时刻的原油的温度（单位：）为，由导数的几何意义得到 详解：根据题意得到，任意时刻的原油的温度（单位：）为，由导数的几何意义得到 ‎ 故答案为：-1.‎ 点睛：这个题目考查的是导数的几何意义，以及导数的实际应用，导数几何意义指的是在曲线上任意一点处的切线的斜率.‎ ‎15．设，，给出下列四个结论：‎ ‎①；②；③；④.‎ 正确结论的序号是__________（写出所有正确的序号）．‎ ‎【答案】①②③‎ ‎【解析】分析：①做差和0比较；②应用幂函数的单调性；③利用对数函数的单调性；④利用不等式的性质.‎ 详解：①,,故=，故，正确. ②构造函数在大于0的范围内是减函数，而故.‎ ‎③设,,故正确；‎ ‎④ ,故错误.‎ 故答案为：①②③.‎ 点睛：这个题目考查的是应用不等式的性质和指对函数的单调性比较大小，两个式子比较大小的常用方法有：做差和0比，作商和1比，或者直接利用不等式的性质得到大小关系，有时可以代入一些特殊的数据得到具体值，进而得到大小关系.‎ ‎16．若函数仅在处有极值，则实数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：由条件知导函数有唯一的变号根0，可得到方程无解，令判别式小于等于0即可.‎ 详解：因为函数仅在处有极值，故导函数有唯一的变号根0，将函数因式分解后得到，可得到方程无解，即 ‎ 故答案为：.‎ 点睛：这个题目考查了导数在研究函数的极值的应用，极值点即导函数的零点，但是必须是变号零点，即在零点两侧正负相反；极值即将极值点代入原函数取得的函数值，注意分清楚这些概念，对函数求完导如果出现二次，则极值点就是导函数的两个根，可以结合韦达定理应用解答。‎ 三、解答题 ‎17．已知函数.‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若当时，恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）①当时，无解；②当时，解集为；③当时，解集为；（2）.‎ ‎【解析】分析：（1）将二次不等式因式分解，结合二次函数的图像和两根关系得到解集；（2）由可化为：，开口向上的二次函数，只需要判别式小于等于0即可.‎ 详解：‎ ‎（1）不等式可化为：，‎ ‎①当时，不等式无解；‎ ‎②当时，不等式的解集为；‎ ‎③当时，不等式的解集为.‎ ‎（2）由可化为：，‎ 必有：，化为，解得：.‎ 点睛：本题考查了含有字母系数的不等式的解法与应用问题，是中档题，对于含参的二次不等式问题，先判断二次项系数是否含参，接着讨论参数等于0，不等于0，再看式子能否因式分解，若能够因式分解则进行分解，再比较两根大小,结合图像得到不等式的解集.‎ ‎18．已知函数（为实数）.‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）当时，，求实数的最大值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】分析：（1）不等式整理为去掉绝对值求解即可；（2）整理为，由绝对值三角不等式求解即可.‎ 详解：‎ ‎（1）当时，不等式整理为，‎ 解得或，故不等式的解集为.‎ ‎（2）当时，可化为，‎ 整理为，由，‎ 故只需，‎ ‎①当时，不等式可化为：，不成立；‎ ‎②当时，不等式可化为：，解得.‎ 由上知，故实数的最大值为.‎ 点睛：这个题目考查了不含参的绝对值不等式的解法，以及含参的绝对值不等式的解法，以及绝对值三角不等式的应用，绝对值三角不等式主要可以用于求两个或多个绝对值的和的最值.‎ ‎19．已知函数.‎ ‎（1）求函数的导函数；‎ ‎（2）求过点且与曲线相切的直线方程.‎ ‎【答案】（1） .（2）和.‎ ‎【解析】分析：（1）根据多项式的求导法则求导即可；（2）设切点的坐标为，切线方程为：，将点的坐标代入上述方程可得求得或，进而得到切线方程.‎ 详解：‎ ‎（1）.‎ ‎（2）由，设切点的坐标为，‎ 由所求切线方程为：，‎ 将点的坐标代入上述方程可得：，‎ 整理为：，解得：或，‎ 将或代入切线方程，可求得切线方程为：和.‎ 点睛：这个题目考查了函数的导函数的求法，以及过某一点的切线方程的求法，其中应用到导数的几何意义，一般过某一点求切线方程的步骤为：一：设切点，求导并且表示在切点处的斜率；二：根据点斜式写切点处的切线方程；三：将所过的点代入切线方程，求出切点坐标；四：将切点代入切线方程，得到具体的表达式.‎ ‎20．如图，某城市有一块半径为的半圆形绿化区域（以为圆心，为直径），现计划对其进行改建，在的延长线上取点，，在半圆上选定一点，改建后的绿化区域由扇形区域和三角形区域组成，其面积为.设.‎ ‎（1）写出关于的函数关系式，并指出的取值范围；‎ ‎（2）试问多大时，改建后的绿化区域面积取得最大值.‎ ‎【答案】（1） ；（2）当为时，改建后的绿化区域面积最大.‎ ‎【解析】试题分析：（1）求出扇形区域AOC、三角形区域COD的面积，即可求出S关于x的函数关系式S（x），并指出x的取值范围；（2）求导数，确定函数的单调性，即可得出结论 试题解析：（1）因为扇形 AOC的半径为 40 m，∠AOC＝x rad，‎ 所以 扇形AOC的面积S扇形AOC＝＝800x，0＜x＜π． ………………… 2分 在△COD中，OD＝80，OC＝40，∠COD＝π－x，‎ 所以△COD 的面积S△COD＝·OC·OD·sin∠COD＝1600sin(π－x)＝1600sinx．……………… 4分 从而 S＝S△COD＋S扇形AOC＝1600sinx＋800x，0＜x＜π． ………… 6分 ‎（2）由（1）知，S(x)＝1600sinx＋800x，0＜x＜π．‎ S′(x)＝1600cosx＋800＝1600(cosx＋)． ………… 8分 由 S′(x)＝0，解得x＝．‎ 从而当0＜x＜时，S′(x)＞0；当＜x＜π时， S′(x)＜0 ．‎ 因此 S(x)在区间(0，)上单调递增；在区间(，π)上单调递减． ……………… 11分 所以 当x＝，S(x)取得最大值．‎ 答：当∠AOC为时，改建后的绿化区域面积S最大． ……………… 14分 ‎【考点】函数模型的选择与应用 ‎21．已知函数.‎ ‎（1）讨论函数的单调性；‎ ‎（2）当时，求函数在区间上的最值.‎ ‎【答案】（1）答案见解析；（2）当，；当时，.‎ ‎【解析】分析：（1）对函数求导，将二次不等式因式分解，结合二次函数的图像和两根关系得到解集；（2）根据第一问，得到函数的单调性，进而得到最值.‎ 详解：‎ ‎（1）令 ，‎ ‎①当时，，为常数函数，则在上没有单调性.‎ ‎②当时，，故函数在上单调递增.‎ ‎③当时，令可得：或，则在上递减，在，上递增.‎ ‎④当时，令可得：或，则在上递减，在，上递增.‎ ‎⑤当时，令可得：，故在上递增，在，上递减.‎ ‎（2）①当时，由（1）知函数在区间上单调递增，故 ， . ‎ ‎②当时，由（1）知函数在区间上单调递减，在区间上单调递增；故 ，‎ 由 ，‎ 故当，；‎ 当时，.‎ 点睛：本题考查了新定义和函数的单调性和最值的关系以及不等式恒成立问题，属于中档题。对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于0；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数.‎ ‎22．已知函数.‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）若函数有两个零点，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）当时， 在上递减.当时，在上递增.在上递减.‎ ‎（2）.‎ ‎【解析】分析：（1）对函数求导，通过讨论参数的范围，得到函数的单调；（2）函数有两个零点必需有：，可得：.‎ 详解：‎ ‎（1），‎ 当时，恒成立，则在上递减.‎ 当时，令得，，则在上递增.‎ 令得，，则在上递减.‎ ‎（2）由（1）知，函数有两个零点必需有：，可得：.‎ 由，由常用不等式，可知，有.令，有，令，有，故函数单调递减，则，故，则函数单调递减，有，可得，又由.‎ 由上知：函数有两个零点时实数的取值范围是：.‎ 点睛：对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于0；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数.‎